中小学圆形知识分布的研究现状及研究意义

马小丽

摘 要：几何课程与教学改革一直是数学教育研究的热点，其在培养学生三维空间能力、形象思维能力、合情推理、解析几何观念的树立等方面发挥着重要作用。圆形是贯穿义务教育阶段和高中阶段的几何课程内容中的重点内容之一，历来有很多研究者对其进行了多角度、多层面、多维度的研究和论述，但总体来看，在现有的聚焦平面几何中圆形知识的研究成果中，大多是从几何学的整体角度出发对整个平面几何开展的研究，鲜少出现具体的、有针对性地、专门性地对中小学圆形知识展开详尽的、系统的、专门的研究。

本文重在介绍几何课程在国内外研究的历史和现状，在详实阐述和归类关于几何研究的文献综述的基础上，提出了本文拟研究的问题，阐明了研究的目的与意义，介绍了研究的方法与框架。

关键词：义务教育阶段;平面几何;中小学;圆形;呈现方式

中小学圆形知识分布的研究现状及研究意义

数学中以空间形式（简称形）为研究对象的分支，叫做几何学。

斯托利亚尔曾指出：“几何教学问题是中等数学教育现代化的最复杂的问题之一，它引起了广泛的、世界性的争论”[1]。作为理性思维培养最好的载体的几何课程，成为国际上历次数学课程改革的焦点。

圆形是贯穿中小学平面几何课程的重要内容，圆形是一种基本的几何图形，圆形是在环绕中心旋转时唯一一种自己能沿着自己滑行的曲线，而且，圆形物体在生活中时时、处处存在。

笔者在阅览国内外大量文献资料的基础上，对有关几何课程和圆知识的相关研究和有关文献资料整理归纳如下：

（一）关于几何思维水平分析的理论

1.范希尔理论

对充足的一线教学经验进行理论层面的概括和提升的范希尔理论，被国外许多国家引为数学课程编写的依据来设计几何课程，该理论的主要观点是：几何思维水平有五个层次[2]，如图所示：

2.李秉德教授的具体与抽象关系的理论

该理论指出：人类随着年龄的增长，思维中的具体成分和抽象成分是此消彼长的关系。在中小学生求学阶段，尤其是小学学习阶段，由于小学生心智水平的不成熟和不稳定性等因素的局限，小学生思维的主体就是具体成分;但到了中学阶段乃至以后，中学生和高中生的思维中尽管思维中的抽象特质已经具备，但其思维中的具体成分依然大量存在[3]。如图所示：

3. SOLO分类理论

在皮亚杰的发展阶段论的基础上，彼格斯（John B. Biggs）教授经过长期的研究和探索，形成了评测某人回答问题时所展现的思维结构的SOLO分类评价理论，即 “可观察的学习成果结构”（structure of the observed learning outcome），英文缩写为SOLO，意为：观察到的学习成果的结构。

（二）关于几何教学的教学研究及实践调查研究

1.教学研究方面

这方面的学术成果有：刘春晓的在评述义务教育阶段几何课程改革的基础上，重点分析了数学史指导下的几何教学的途径及在几何教学中运用数学史的具体方案;王静和张和平则分别在阐明几何教学生活化和几何直观性水平的内涵和特点的基础上，总结出初中几何教学生活化的有效策略和几何直观性教学原则，对一线教育者有效开展几何教学提供了指导。不仅如此，有学者还从几何教学的工具开发和技术支撑方面的问题进行了探索，如江锡晨的《小学几何教学支撑工具的设计和开发》和刘君红的关于“几何画板”在高中数学课堂中的引入的文章，探讨了如何在教学中生动形象地呈现几何图形的问题;再则，聚焦几何教学中某一领域的问题，如几何解题和几何符号教学等方面，有代表性的文章有：张杰的《关于中学数学几何机械化解题的教学研究》和徐媛的《义务教育阶段数学符号教学的研究》。

2.实践调查研究方面

调查研究应能采集有代表性的样本和较强的操作性，得出的结论令人信服。华东师范大学于晓晖在甄别空间能力、空间想象力等概念的基础上，开展调查研究，经过数据整理与分析，考虑了空间观念的六个方面对学生空间观念的发展影响，发现大部分学生能够形成表象并能在头脑中对表象进行操作，进而给教师的几何实际教学提出了一些建议。

（三）课标解读及课标视角下对几何教学某一角度的研究

现今时代日新月异的信息技术是教育的现代化在教育领域的卓越表现，而这也在一定程度上促进了数学课程改革的步伐。文化是社会进步的先导，课标是教育的先导，在这方面，国外的很多国家，尤其是美国，走在了教育改革的最前方。日本也不甘落后，努力使自己在课程编排和指导思想上与时俱进。世界各国纷纷推出了数学课程标准来适应新时代的数学教育需求。

在我国，课标改革也在如火如荼地进行着。2001年，教育部颁布了《基础教育课程改革纲要（试行）》。2011年经教育部批准，《义务教育数学课程标准（2011年版）》在全国范围内实行。

相应的，在学术领域，出现很多解读新课标的著述和文章。孔凡哲等人立足国内外中小学数学課程标准及各种版本的数学教材的对比分析，并结合新课标的深入剖析，认为：义务教育阶段几何教学旨在使学生在空间观念、合情推理和演绎论证等方面获得发展。

与此同时，涌现出了许多从新课标的视角对数学中“空间与图形”的研究和教学方式的实践研究的文章，系统分析了新课标中几何教学的理念和要求，对教师几何语言的运用、几何教学内容的整合、教学方法的策略等方面都提供了可行性的建议。

（四）不同版本数学教材中几何内容的比较研究

在课标的指导下，各地结合自身的教学实际和教学资源，开拓了不同版本的数学教材：人教版、北师大版、苏教版、湘教版等，这些版本的数学教材在几何知识呈现方式、课程的编写体例、课程难易程度和教学顺序的设置等方面都有所不同。很多学者和教师亦对以上不同版本的数学教材中的几何内容从不同角度给予研究，如学者周远方对比分析了四套高中数学教材的结构方式，经过客观对比分析后，针砭指出各个版本的数学教材的长处和不足，为高中数学教材的编排出谋献策。

（五）以“圆”作为分析载体的研究

总体来看，国内外的文献资料中对平面几何中的“圆”进行专题研究的著述并不多，但以圆形作为研究分析的载体的范例却时有出现，如有用“圆”章节体现数学史运用途径的研究;有以“圆”概念的教学引出概念图教学应用性研究等。

（六）与圆知识有关的教学案例及教学实录

在有关“圆”知识的文献资料中，最多的莫过于与圆形知识有关的教学案例和教学实录方面的资料。这些资料大都通过真实的课堂教学活动设计，展现教学互动，体现知识生成过程，从而彰显教师的教学风格，并有注重几何知识源于生活，密切联系生活的特征。

综观中小学数学教材中的几何知识，圆形是每个学段都需学习的重要的几何课程内容，是几何部分中重中之重的内容，但在现有研究中，并未涉及到对圆形知识展开系统深入的探讨，更没有对在学段时间方面和学生认知结构方面都具有较强衔接性和连贯性的中小学阶段圆形知识的分布情况和分布特征等方面的系统分析。

毕达格拉斯说：“一切平面图形中最美的是圆”[4]。圆是一种基本的、和谐的、美丽的、具有同一形状的特殊的几何图形。其作为几何图形之一，有独特的区别与其他几何图形的特性。同时，圆知识也是贯穿义务教育和高中教育的几何课程内容，在平面几何占有举足轻重的地位。

回顾之前数学学者及教育从业者的研究，基本上是从总体上对平面几何知识进行探讨与研究，并没有学者对具体的圆形知识进行系统的研究，本文拟通过对圆形知识的系统研究和分析，希望通过对圆形知识在不同学段的知识特征的研究，结合学生的几何思维水平，进一步分析学生该怎样更好地学习圆形知识，老师应如何高效地教授圆形知识，进而将研究成果和结论拓展和应用到一般的平面几何课程内容的实际教学过程中。