过程式板书：让数学核心问题留痕

张卫星

（浙江省台州市仙居县田市镇中心小学）

数学板书主要呈现数学核心知识点。在提倡数学核心素养落地的当下，数学板书的引领作用显得越来越重要。数学核心问题既为核心知识点的落实服务，也为学生核心素养的生成服务。从教学方法和教学目标的角度来说，数学板书和数学核心问题的目的是一致的，那就是为学生的学习服务。如果能将核心问题与数学板书融为一体（过程式板书），那么对学生学习的促进作用就更大。

过程式板书既要呈现学习过程，又要呈现核心问题的引领过程，既要呈现核心知识点，又要呈现这个知识点的产生过程。我探究了过程式板书的设计，并通过设计让数学核心问题留痕，让课堂学习更有效。

一、凸显知识本质：在比较中留痕

比较是数学中常见的思想方法之一，是促进学生思维发展的手段。比较还是学习数学的重要方式，通过比较，可以凸显知识本质，便于学生更清晰地掌握，而渗透比较思想的核心问题可以更好地引领学生展开学习。因此，借助比较让，核心问题在板书上留痕，既可以提升学生的学习效果，又可以让学生感悟比较的数学思想。

人教版《义务教育教科书·数学》四年级上册“画垂线”是一节典型的技能课。画垂线的技能如果能够通过比较的方式呈现出来，那么学生的感悟效果也就更加明显。我在分析教材后提炼出了“画垂线”的核心问题：如何画垂线？能画几条？垂线和距离有什么异同？为了突出这几个核心问题，我设计了五次比较的场景：一是画点在直线上的垂线的范式和变式；二是画点在直线外的垂线的范式和变式；三是画同一条直线上的不同垂线；四是过一点画直线的几条线段；五是画平行线之间的几条垂线。通过这样五次比较并且在黑板上留下痕迹（如图1），学生就可以清晰地知道垂线的画法，过一点只能画一条垂线，一条直线上的所有垂线互相平行，从一点到直线的垂直线段最短，平行线之间的距离处处相等。这也是核心问题引领学生学习的一种新方式。

图1

人教版《义务教育教科书·数学》四年级上册“笔算除法”一课，教材安排了两课时进行教学，第一课时教学四舍法试商，第二课时教学五入法试商。我认为，把这两个课时整合在一起教学更有利于学生的比较，从而让学生真正掌握四舍法和五入法试商的特征。为此，我设计了这一节整合课的核心问题：四舍法试商可能会发生什么现象？五入法试商可能会发生什么现象？两者有何不同？借助板书，学生容易理解四舍法试商，初商容易变大，要调小；五入法试商，初商容易偏小，要调大。最后的验算方法，学生基本都能理解。把两种试商方法放在一起比较，学生能够更好地理解两种试商方法的特征和优势，便于学生深刻领会。事实上，板书（如图2）的过程就是核心问题引领下学生学习的过程。

图2

二、积累活动经验：在体验中留痕

体验是个体主动亲历或虚拟地亲历某件事并获得相应的认知和情感的直接经验的活动。数学体验式学习是指学生在教师的组织、引导和合作下，在一定的情境下参与特定的数学活动，经历数学知识的形成和应用过程，从而积累数学活动经验，更好地获取知识、应用知识、解决问题。因此，数学核心问题应努力把学生的数学学习引向体验式学习，让学生在自主体验中真正感悟数学知识的本质。在板书中，可以通过示意图建立数学模型、通过流程图进行清淅展示来留下体验的痕迹。

人教版《义务教育教科书·数学》四年级上册“烙饼问题”是一节经典的数学思维课，我连续四年任教这一内容，之前三年都着眼于例题，努力建构烙饼模型：“烙饼的最短时间=饼的张数×烙一面的时间”。这一模型在“每次最多烙两张饼”这一条件下普适性很强，但如果这一条件发生改变，就没有了普适性，又要重新建构模型。前三年中，我都要建两个烙饼模型，使得自己很辛苦，也使得有些学稀里湖涂。今年，我进行了教学改进，着力建立一个普适的模型。基于此，我设计了如下的核心问题：烙3张饼，如何最省时？烙饼时间和烙饼次数有什么关系？烙饼次数如何算？在烙2张饼的时候，让学生感受同时烙可以节省时间，当然应该在板书上留下痕迹。烙3张饼是本课的核心内容，必须安排学生动手体验，让学生积累烙饼经验，真正感受到同时烙的优势，利用示意图留下痕迹。在此基础上，引导学生顺势推导出烙4张饼、5张饼、6张饼的时间，然后引导学生通过观察得出如下这些结论：烙饼次数=烙饼张数（每次烙2张饼时）；烙饼次数=饼的张数×2÷每次烙几个面；烙饼的最短时间=烙饼次数×烙一面的时间。当我把这些模型留在黑板上时（如图3），这样的板书既呈现出烙饼过程，又呈现出核心问题的引领过程，让学生真正经历了烙饼及思考的过程。

图3

人教版《义务教育教科书·数学》四年级数学上册《合理安排时间》，是一节适合学生自己探索、自己体验的思维活动课，前提是要事先给予学生安排整理的方法——画流程图，还要事先提醒学生同时做的事情可以放在流程图的同一个框内（如图4）。为此，笔者设计了如下的核心问题：你能利用流程图将下面的事情有序安排，保证所花时间最少吗？如何合理安排，可以节省时间？当学生在经历思考和画流程图后，会你一言、我一句地总结出合理安排时间的两条原则：一是要关注事情的先后顺序，二是要关注能同时做的事情同时做。只有这两条原则都符合了，所花的时间就是最少且最合理。当然，黑板的清晰展示，可以给学生一个较好的示范。最后的板书既是核心问题的清晰呈现，更是学生体验过程的展示，让学生清晰地感悟合理安排时间的窍门所在。

图4

三、亲历合情推理：在归纳中留痕

归纳推理是从特殊到一般的推理方法，即依据一类事物中部分对象的相同性质推出该类事物都具有这种性质的一般性结论的推理方法。归纳推理往往是在人们实践经验的基础上得出结论的，是合情推理的一种常见方式，在小学数学教学中经常用到。因此，教师在遇到需要归纳推理的内容时，一定要精心设计好核心问题，然后引领学生投入到归纳推理中。当学生亲历这个过程时，就亲历了合情推理，学生的数学思维就能得到一次深度发展。

人教版《义务教育教科书·数学》四年级上册“除法的规律”一课，教材涉及三种除法规律，即除数不变规律、被除数不变规律、商不变规律。而要在一节课内发现这三种规律对于四年级学生来说还是比较困难的，即使能发现，在综合运用时也容易混淆。如何清晰归纳出这三种规律呢？我设计了如下这组核心问题：结合黑板上的三组算式，想一想除数不变的时候，被除数和除数如何变化？被除数不变的时候，除数和商如何变化？商不变的时候，被除数和除数到底发生什么变化？设计时直接指向黑板上事先写好的三组算式，做到数形结合，让学生的思维有所依靠。借助这三组算式，选取从上往下和从下往上两个视角，学生会在不断交流中初步归纳推理出这三种规律。在此基础上，我继续引导学生关注相应的关键词和条件，学生基本上能够理解这三种规律（如图5）。这样，每一种规律都是师生共同归纳推理出来的，板书也是师生一起完成的，学生对这三种规律就会有一种亲切感，能够把握其实质。

图5

人教版《义务教育教科书·数学》四年级上册“田忌赛马”这一课，教材首先让学生通过有序排列感受田忌和齐王赛马的所有方式（一共6种），田忌获胜的次数为什么只有1次？这1次获胜的原因是什么？从而使学生明白田忌获胜的理由：一是让对方先出马；二是以弱胜强，即用最差的马和齐王最好的马比赛。为此，我设计了如下这组核心问题：田忌和齐王对阵一共有几种方式？请有序排列出来。为什么田忌获胜的次数只有1次？田忌获胜的理由是什么？其实，当学生有序地排列出各种对阵的方式并且在黑板上呈现出来时（如图6），就有了共同观察、思考、讨论的素材。学生就很容易就能得出获胜的理由，而这理由就是本节课所渗透的策略思想。罗列对阵方式是一种排列的过程，而后续的分析讨论则是归纳推理的过程。由于注重过程，既实现了目标，又在黑板上留下了痕迹，还便于学生及时回顾巩固。

图6

四、构建知识体系：在沟通中留痕

逻辑性强、连贯紧密是数学的特点之一。沟通知识之间的内在联系，使学生获得知识、形成技能，并不断将这些知识和技能纳入原有的知识体系，是数学教学的价值追求。在教学中，我们不能单一、孤立地教给学生知识和技能，而是要将已学知识和技能进行系统化、整体化，注意知识和技能间的内在联系，形成良好的认知结构，引导学生从不同的角度利用多种方法去思考问题、解决问题。因此，在设计核心问题和数学板书时，要根据教学内容适时沟通知识之间的关系，引导学生建构起一个逻辑紧密的知识体系，便于学生顺利感悟。

人教版《义务教育教科书·数学》四年级上册“平行四边形的认识”一课，其主要教学目标是引导学生建立平行四边形的观念，使他们学会画平行四边形底边上的高，沟通平行四边形和长方形及正方形之间的关系，在操作中感悟平行四边形容易变形的特性以及变形过程中的变与不变。为此，我设计了如下的核心问题：利用手中的学具探索平行四边形有什么特点？平行四形和长方形及正方形之间有什么关系？如何画平行四边形的高？把长方形学具拉成平行四边形，什么变了？第一个问题，学生借助手中的学具，再加上课件的动态演示，能够比较清晰地得出平行四边形的三大特征：对边平行、对边相等、对角相等。第二个问题，我先出示一组四边形让学生判断是不是平行四边形，然后揭示平行四边形的概念，接着引领学生沟通平行四边形和长方长及正方形之间的关系，最后在学生充分说理后用集合图表示出它们之间的关系。第三个问题，我先和学生一起画高，接着让学生说一说高的特点，最后揭示高的概念，强调画高的要点。第四个问题同样要让学生先操作，在操作基础上提出问题，引领学生思考。借助学具，学生基本上能够得出变与不变的内容。这样一来，既让核心问题的引领作用充分发挥，同时又把相应的提炼和沟通过程在黑板上呈现了出来（如图7），让学生真正感受到了数形结合的巨大魅力，真正厘清了知识的本质。

图7

人教版《义务教育教科书·数学》四年级上册“商不变规律的运用”一课，教学目的之一是利用商不变规律让计算简便。教材呈现了三种类型：一是被除数和除数的末尾都有0，但没有余数；二是被除数和除数的末尾都有0，但有余数；三是把除数转化成整十、整百的数，被除数发生相应变化。为此，我设计了如下这组核心问题：为什么被除数和除数要划掉相同个数的0？有余数的时候怎么处置？如果用递进等式计算，如何简便？教学时，我先把这四个算式事先在黑板上写好，然后和学生一起经历计算的过程，在相互交流、反思、纠正中得到了正确答案。最后，将其过程在黑板上留下来（如图8）。第一个问题，重在让学生理解划掉相同个数的0的理由；第二个问题，重在通过验算让学生明白余数如何处置，自己总结出“商不变，余数要变”的结论。第三个问题，重在运用商不变规律，把除数变成整十、整百的数，然后被除数发生相同变化。事实表明，通过这样的方式，学生的学习兴趣较高，知识点的落实效果较好。

图8

总之，核心问题导学的实质是用少数几个精准的问题引领学生展开数学学习，而选择性板书则将核心问题导学的痕迹留在黑板上。事实证明，选择性板书既可以让学生的学习思路更加清晰，又可以让学生的思维有所依托。更为重要是，可以把学生的学习过程呈现出来，让学生的学习兴趣明显增强，让数学学习向深度发展，从而让数学核心素养真正落地。