代数与几何的统一结合

冯虎 柳迪 殷航　刘晓帅　秦成远

摘 要：数学的历史和文化博大精深，源远流长。在数学发展的近千年历史中，世界数学先后经历了古代数学时期、初等数学时期、高等数学数学时期以及现代数学时期。数学不是哪一个国家、哪一个时期的发明创造，而是全世界几千年的智慧结晶。如果将整个数学体系比作汪洋大海，我们如今所学的数学知识仅有一勺水之多。回顾数学的发展历程，我们可以感知到螺旋式发展的数学，数学殿堂能如此辉煌，其充满了巧合，也充满了曲折。

关键词：数学文化;数学历史;数学教学

数学史和数学文化的发展主要由四个时期组成。其中包括古代数学时期（数学萌芽时期）、初等数学时期（常量数学时期）、高等数学时期（变量数学时期）以及现代数学时期。在数学体系这四个时期的发展中，涌现了很多的数学家、哲学家甚至是艺术家。

首先我将按照历史的发展顺序，从古代数学时期介绍数学史和数学文化的发展过程。何为古代数学时期？这一时期大概从人类文明的起源到公元前六世纪。古代数学时期主要以非洲尼罗河流域的古埃及文明和亚洲的美索不达米亚平原的古巴比伦文明为载体。通过对古巴比伦遗迹的发掘，人们发现了一种写于泥板书上的文字——楔形文字。通过对这些文字的研究，人们惊奇的发现古巴比伦人竟然使用了60进制计数法，这是有关数学运算最早的记录了。后来研究人员偶然间发现了藏于莫斯科国立艺术馆的古埃及纸莎草书，该书通过象形文字记录了古埃及人验算几何的过程，古埃及人甚至得出了圆周率约为3.1605，这是数学发展的一次伟大壮举。

经过文明交流和不断发展，以古希腊文明为代表的初等数学时期将数学的发展推向了新的高潮。这一时期，古希腊数学家引入了常量的概念。古希腊以其哲学文明于世界，因此其数学家多是哲学家。这些先贤们将哲学与数学结合起来，通过哲学推理数学，数学解释哲学。当然，在这一时期，涌现了很多位有文字记载的哲学和数学大咖，这些大咖们可以说的是同根同源，也是因为如此，古希腊数学得到了一脈相承的发展。说起古希腊哲学家，我们不得不提被誉为“科学与哲学之祖”、“古希腊七贤”之一的泰勒斯，他最早引入了命题证明思想。泰勒斯也以其望星空思索而不慎坠坑的轶事被后人所津津乐道。

毕达哥拉斯师承泰勒斯，被誉为“智慧之神”、“音乐之祖”。其最大成就是成立了毕达哥拉斯学派，该学派影响了古希腊哲学和数学数百年的发展历程。毕达哥拉斯定律想必大家一定不会陌生，其于中国的勾股定理遥相呼应。毕达哥拉斯学派信仰“万物皆数”，他们世界由整数构成，并专攻于整数、三角形、矩形和完全数的研究。这一局限性，也导致后来的希帕苏斯在发现无理数后，被学派长老以诋毁信仰为由投入大海的悲情故事。然而，希帕苏斯虽死，其思想却动摇了毕达哥拉斯学派的信仰，导致了第一次数学危机。由于当时不能合理解释代数和几何中无理数存在的问题，代数和几何分道扬镳独自发展。

代数与几何分离后，毕达哥拉斯学派也就此分为两个派系。一个派系专攻于代数学，另一个派系则专攻于几何学。毕达哥拉斯学派桃李满希腊，柏拉图作为著名的哲学家也为数学的发展挥洒了智慧，柏拉图学成归来，自成一派，称之为“学园派”，他是第一位把严密推理法则加以系统化的人，其开创了演绎法研究。亚里士多德作为柏拉图得意门生，师承学园派探究哲学与真理的思想，提出了逻辑学，其矛盾律和排中律待定了辩证思想的基石。找到了正确的方法，后来的数学家就可以站在了巨人的肩膀上，探索更高更深的成就。“几何之父”欧几里得的《几何原本》、“数学之神”阿基米德、阿波罗尼奥斯的《圆锥曲线轮》，这三驾马车一起将古希腊的几何学，甚至是世界几何学送上了顶峰。自此，与代数相分离的几何近乎到达了顶峰。“代数之父”丢番图的《算术》和托勒密的《大汇编》，也使得古希腊的代数学熠熠生辉。在同时期的古中国，以刘徽、祖冲之、张衡为代表的的数学家，《九章算术》、《周髀算经》和《孙子算法》数学著作也使得数学在中国蓬勃发展。

随着欧洲进入黑暗的中世纪，西方数学仿佛停止了脉搏。公元前六世纪到公元十五之间近两千年时间里，西方数学随着古希腊的兴盛而到达顶峰，随着古希腊的衰败而迅速堕落。中世纪的西方，数学近乎没有发展。到了公元十五时，以达·芬奇等为代表的文艺复兴由意大利席卷欧洲，撼动了神权至上的观念，人们逐渐归于对自然科学的思考。弗朗西斯·培根提出了新哲学，以启迪人们的思想。在新思潮的引领下，数学进入高等数学时期，其也被称为“变量数学时期”。“解析几何之父”笛卡尔最先提出了《解析几何》，有着“业余数学家之王”和“近代数论之父”之称的费马先后提出了《概率论》、《数论》。分离两千多年的代数和几何又重新走到了一起，这一创举推动了数学飞速发展。帕斯卡发明了第一台机械计算器，自此机械和数学产生了千丝万缕的联系。通过对费马著作的研究，帕斯卡提出了“帕斯卡三角形”、完善了《概率论》。通过惠更斯、德萨格、沃利斯以及巴罗等数学家的积淀，已经奠定了高等数学时期辉煌的基础。

随着“最多产数学家”欧拉、拉格朗日、拉普拉斯师徒三人的横空出世，高等数学时期到达了顶峰。数学可以解释几乎但当时一切的问题，如物理学、哲学、天体学以及化学等。“第二多产数学家”柯西提出了《柯西不等式》、《复变函数》，奠定了电磁学发展的基础。高处不胜寒，出道即巅峰。“群之父”伽罗瓦，“最后一个数学全才”庞加莱开拓了数学的边界。数学空前繁荣，再无一人可以改变整个数学体系，也很难在数学的每个分支有所建树。“数学王子”高斯创立了哥廷根学派，提出了“非欧几何”的思想，通往数学殿堂之路，从此高不可攀。

然而，已近乎完美的数学体系在十八世纪的元年出现了危机！在第二次数学家大会上，德国数学家希尔博特提出了二十三个数学问题，这二十三个问题颠覆了数学家们的认知，其“希尔伯特空间”问题是现有数学难以解决的。第二次数学危机就此出现，难道数学将就此止步不前吗？

答案是否定的，历史的车轮滚滚，现代数学时期的数学家们已经在微观数学、宏观数学和宇观数学中有了长足发展。量子力学、非欧几何、相对论，这些不都是数学桂冠上闪耀的宝石吗？

作者简介：

冯虎（1998-），男，民族：汉，籍贯：陕西省汉中市，学历：本科研究方向：机械电子工程。