基于高阶距离场的椭球面内插方法研究

2020-10-20刘云冯俊蒉露超

科学与信息化 2020年22期

关键词：插值

刘云　冯俊　蒉露超

摘要由于传统的内插方法大多基于欧式平面，在地球投影至平面的过程中，往往会产生裂缝和变形。在较大范围的地理空间内，这些误差会对内插结果造成较大的影响。本文针对这一情况，基于反距离加权法设计插值算法设计了针对椭球面的插值算法，并与原有几种插值算法进行了精度的比较。

关键词等值线;距离场;插值

1研究背景和意义

根据已观测点的测值对未观测点的测值进行估算的方法为插值。过去通过地面实时测量空间数据的方法已无法满足对广大区域范围进行数据获取的需求，而现阶段大范围数据采集方式如卫星遥感雷达观测等虽然可以对较大地理范围进行实时观测，但仍旧不可避免会因噪声而影响观测结果。插值正是解决这一问题较为有效的途径。

目前为止，已经出现了各种各样的内插算法，每种方法都有其各自的适用领域和优缺点.但这些算法大多基于欧式平面，针对较小地域范围内进行插值时，其结果较为精确[1]。但针对经纬度跨度较大时，由地图投影导致的变形愈发明显。在针对等值线数据时，等值线与待内插点之间的距离计算则较为复杂，计算效率较低。

为解决以上两个问题，需要设计一种适应于研究区域为大范围椭球面，数据类型为等值线的插值算法，较为高效率和准确地获取待内插点的插值。

2研究现状

内插算法发展至今，已出现多种多样的内插算法。根据数据源不同将内插方法分为离散点插值、离散点等值线共同插值和等值线插值等。

离散点内插方法主要包括根据采样点的值赋予采样区域内所有点的值泰森多边形法[2]样点的距离为权重进行插值的反距离加权法、构造采样点的多阶导数连续的曲面函数进行内插的样条函数法[3-4]、以到采样点的距离和数据点之间的整体排列作为权重，用半变异函数模型代表空间中随距离变化的函数求出内插值的克里金插值法[5-6]等算法。而等值线内插法则主要包括将等值线转化为等指点进行内插的方法、和借助辅助线生成新等值线的辅助线法以及综合了局部内插和整体插值有点的ANUDEM法[7-9]。每一种算法都有其优缺点，和适用范围，因此针对以上算法存在的不足，国内外很多学者都对其进行了改进，在保留其优势的同时，对其劣势进行了补足。

3高阶距离场内插

3.1 算法原理

本文研究的数据类型为等值线数据。等值线，一般为线上所有值相等，且连续、闭合的曲线。根据这一特性，可以将等值线间的区域视作为一块整体。相邻等值线间的待内插点，仅受这两条等值线间的影响，其数值则与等值线到该点的距离有关。而反距离加权法则可以很好地反映待内插点与数值点之间的距离对内插结果的影响，因此本文设计算法基于反距离加权法。

反距离加权法得优势在于算法较为简单、效率较高且易于实现，能较为直观得反映距离对插值结果得影响，但由于其原本适用于离散点插值，容易受到周围采样点中极值的影响[10]，且在针对等值线内插方面实现较为复杂且效率低下。而这仅是在针对欧式平面下得计算，在进行大地线距离计算时会更复杂。为解决这一问题，需要引入距离变换得方法提高等值线间距离计算的效率。

在地图代数中，距离变换是计算并标识空间点（对参照体）距离的变换或过程。通过对矢量图形进行栅格化处理，以到最近点的距离值作为灰度值获得彩色位图。

以往的距离变换所采用的尺度大多以欧式距离、棋盘距离等为主，而由于本文研究范围较广，直接采用投影到欧式平面上的距离会影响实验结果精度，因此采用大地线距离作为尺度。同时本文采用高阶距离变换，获取任一点到最近的n个数据点的最短大地线距离。根据这一距离作为权重计算待内插点的值。

4实验步骤

本文数据为亚洲地区的真实温度等值线数据，为东经0-180度且北纬0～80度之间的地理范围。数据量较为庞大且复杂，可以较好地反映设计算法的运行效率及精度。

依据等值线与等值线之间的间隔，基于区域大小和特征，选择合适的分辨率对研究区域数据进行栅格化，获取栅格影像。对该栅格影像，以大地线为尺度，进行测地变换，获取研究区域内1至k阶距离场数据。

根据椭球面距离场数据获取待内插点至等值线的大地线距离和等值线所代表的值，以此作为权重，计算得到该点的插值。并通过特征点数据精度比较的方法，与现有的插值算法进行结果的精度比較，评价设计算法的精度。

5实验结果

本文对研究区域内的低中高纬三个区域内随机选取50个采样点进行内插结果的比对，以逼近误差作为评判标准，数值量化比较各内插算法的精度。

通过多种方法对比得到的表 5?1可以发现，TIN法所求得的逼近误差最小值是所有误差方法内最小的，而本文方法的逼近误差的最大值则为最小，由逼近误差的平均值可以从一定程度上体现出ANUDEM和本文方法的误差较小，结果较为精确。但仅从最小值、最大值和平均值很难完全反映出算法的误差，因此将每个点的逼近误差进行汇总，绘制成相应的连线，通过图标的形式更为直观地反映误差分布情况。

从图 5?2中可以看出，克里金插值、TIN法和直接反距离加权法这三种方法的折线离中央位置更远，且在某些点处的值相较于另外几种方法更大。样条法的折线变化情况则相对较为舒缓，但也出现部分偏离的情况。而ANUDEM和本文所用方法则相对平滑，虽然也存在部分误差较大的地方，但更接近于真实数据，体现出本文设计算法精度较高的优点。

6总结与展望

本文算法主要依据现有的反距离加权法进行改进，利用高阶距离场来进行待内插点与等值线间的位置关系来计算内插值。其优点在于针对等值线数据类型，在算法效率方面，利用高阶距离场计算待内插点到等值线的距离，其算法效率仅于分辨率有关，效率优于同等情况下的矢量方法计算。在精度方面，由于采用大地线距离计算，相对于欧式距离，在针对大范围的地理区域时，其精度结果相较于投影到欧式平面的反距离加权法更加接近于真实数据，其精度也较其他的欧式平面下的算法有优势。

但本实验也暴露了设计算法的补足，首先由于本文设计算法仅与区域的分辨率有关，在针对同样分辨率的同一区域下时，数据点数目较少的情况下，其算法效率可能并不比其余算法的效率要高。其次，根据研究区域的不同，采用合适的投影方法可以有效地降低投影导致的误差[11]，在这一情况下，本文算法精度也可能不会优于其他算法。

针对以上不足，在接下来的研究中，会对外推公式进行研究，对极值圈内的结果进行外推，提高极值圈内内插结果的精度，同时也会针对更加复杂的数据，采用更高阶的距离场进行内插，提升在复杂情况下的内插结果精度。

参考文献

[1] 蒋会平，谭树东，胡海，等.基于地图代数的地球椭球面空间分析系统的研究与设计[J].地理信息世界，2015（1）：6-12.

[2] 张子昕，周强波.空间插值算法在GIS中的应用[J].测绘与空间地理信息，2015（2）：103-107.

[3] 黄杏元，汤勤.地理信息系统概论[M].北京：高等教育出版社，1990： 215.

[4] 丁欣，徐以标，周洋，等，基于多段分项式拟合的数字信号插值方法[J].指挥信息系统与技术，2018，9（4）：85-90.

[5] 颜慧敏.空间插值技术的开发与实现[D].成都：西南石油学院， 2005.

[6] 汤新民，陈平，韩云祥，面向航空器战略航迹规划的风场信息插值方法[J].指挥信息系统与技术，2019，10（6）：20-24.

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[8] 胡衛明，吴兵，凌海滨.地图等高线自动内插算法[J].计算机学报，2000（8）：847-851.

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[10] 李新，程国栋，卢玲.空间内插方法比较[J].地球科学进展，2000（3）： 260-265.