关于Lagrange插值公式教学的体会

陈浩　王小丽

摘 要：给出一种基于质心形式的Lagrange插值公式及其推导，其实现更加快速且数值上更稳定. 其丰富了多项式插值的内容，对于在数值分析的學习中提高学生的认识和兴趣很有意义.

关键词：Lagrange插值公式 质心公式

在数值分析的教学中，Lagrange插值类问题是一个难点. 数值分析教材广泛认为，Lagrange插值公式形式优美但其数值实现有一定的不足. 笔者认为，通过引入Lagrange插值公式的一种质心表示形式，可以克服其数值实现的困难. 同时，这不仅给学生们提供了解决插值问题的一类新思路，提高了学习效率，也提高了学生的认识，是值得尝试的.

设 为 个横坐标互不相同的插值节点. 令 为所有不超过 ，次的多项式的集合. 则经典的插值问题为：求一多项式 使其通过所有的插值节点，即： 该问题的解是存在唯一的且其解的Lagrange形式为[1]：

Lagrange插值公式的优点在于其形式优美且利于理论分析，其不足之处主要在其数值实现方面[2]，如：

1.计算 需要 次加法和乘法运算；

2.增加一个新节点 需要重新计算；

3.数值不稳定性.

在数值实现方面，数值分析教材一般建议利用Newton插值公式与秦九韶算法结合[1]来实现，其计算 仅需要 次加法和乘法运算且增加新节点 不需要重复计算.

为得到Lagrange插值公式的等价形式，我们先将Lagrange插值基函数改写.令 并定义质心权系数

此质心公式为Lagrange插值公式的等价形式，但其具有特殊且优美的对称性. 其计算 需要 次加法和乘法运算且为了增加一个新节点 而更新权系数 仅需要 次运算，同时其具备优良的稳定性[2].

Lagrange质心公式（3）相比Newton插值公式的好处之一是其避免了差商表的计算. 此外，Lagrange质心公式不依赖插值节点的排列顺序，而Newton插值公式中差商表的计算非常依赖插值节点的排序，尤其当 很大时很多排序会导致数值不稳定性.

参考文献

[1] 李庆杨，王能超，易大义. 数值分析[M]. 5版. 北京：清华大学出版社，2008.

[2] J. Berrut， L. N. Trefethen. Barycentric Lagrange interpolation [J]. SIAM Review， 2004， 46：501-517.

作者简介

陈浩（1986.02—），男，湖北潜江人，博士，重庆师范大学数学科学学院，研究方向：数值分析。

王小丽（1987.11—），女，山西临县人，硕士，重庆师范大学地理与旅游学院，研究方向：教育教学方向