数学抽象的认知机制及教学反思

姚春颖

[摘  要] 对数学抽象的认识水平决定着数学抽象教学的高度以及深度，而数学抽象的认识也就亟需要从经验角度切换到认知角度. 之所以强调从认知角度对数学抽象进行解析，一个重要原因是因为认知心理学作为解释学生学习过程的最佳理论之一，在我国的学科教学中一直发挥着重要的作用. 数学抽象的起始阶段是知觉抽象，数学抽象的必经阶段是数量抽象，数学抽象的较高水平是概念抽象. 具体可以包括这样的几个步骤：一是给学生提供思维素材，以促使学生完成知觉抽象;二是引导学生进行思维，以完成数量抽象;三是概念抽象过程中完成数列概念的建立.

[关键词] 高中数学;数学抽象;认知机制;教学反思

数学抽象是数学学科异于其他学科的基本特征之一，作为抽象的下位概念，数学抽象的特征在于从数学的角度进行抽象，因而其保留的是与数学学科相关的元素，去除的则是与数学学科无关的元素. 从抽象结果的角度来看，数学抽象之后得出的往往都是具有模型意义的数学、规律、法则等，从这个意义上来看，数学抽象可以理解为数学建模过程中的一个重要环节，由此也可以看出数学抽象在数学知识建构过程中的重要地位. 对数学抽象的认识水平决定着数学抽象教学的高度以及深度，而数学抽象的认识也就亟须从经验角度切换到认知的角度. 之所以强调从认知角度对数学抽象进行解析，一个重要原因是因为认知心理学作为解释学生学习过程的最佳理论之一，在我国的学科教学中一直发挥着重要的作用，即使今天热门的脑科学研究，某种程度上也是以认知解释作为参考的. 同时，认知角度的数学抽象研究又是比較薄弱的，尽管国内有教学专家以及教研员等对此开展过研究，但从推广应用的角度来看，还存在不小的空间. 在核心素养的背景之下，可以肯定这一思路是正确的，那么在具体的教学实践过程中，教师就要认真探究，认真总结. 此思路即是有同行提出的：对抽象的高中数学知识感、悟、学，从基于感性的学习到基于理性的思考，将数学抽象如何形成的过程在课堂教学中层层展现，同时思考核心素养在一线教学实践中如何落地. 本文就此话题谈谈笔者的一些理解与反思，以期与同行进行切磋，为数学学科核心素养的落地提供一份有价值的参考.

高中数学抽象的认知机制初梳理

从认知机制的角度认识数学抽象，首先需要研究数学抽象的发生过程，有研究者认为学生在数学抽象的过程中，要经历“数学现象——心象——抽象——操作”这样一个过程，并简称其为“三‘象一‘作过程”，并认为这是一种可应用于中学数学教学的“数学认知过程”. 进一步的研究则表明，这种过程源自认知心理学与教育研究，基本上体现了反映论的观点，而强调“数学现象”的概念和观点，对数学教育与教学具有重要意义. 笔者通过梳理发现，这个意义在认知视角下至少可以从这样的几个方面进行理解：

一是数学抽象的起始阶段是知觉抽象. 众所周知，数学抽象的对象是比较形象的生活实例，而学生对生活实例信息获取的第一通道就是感觉与知觉，其中感觉是直觉性的，知觉则具有一定的思维加工特征. 比如学生在建立“数列”概念的时候，教师提供给学生的往往都是一些生活中的数列实例，如笔者让学生思考“堆钢管”的例子，具体可以借助于照片来打开学生的视觉通道，相应的学生的第一反应就是“越往上钢管数量越少”，这就是感觉;其后则会认识到“每向上一层，钢管的数量就会少一根”，这就是知觉. 正是知觉发挥了作用，所以学生认识到钢管规程的时候，数量关系表现为n，n-1，n-2，…，于是一个数列的形象就初步建立了起来. 需要指出的是，知觉抽象中存在一类图形抽象，这主要是面向几何知识的学习而进行的，当学生的知觉开始加工图形对象时，图形便由线、角、数量特征等进行表征，相应的图形抽象结果或表象就会形成.

二是数学抽象的必经阶段是数量抽象. 一般认为，数学是研究空间关系与数量关系的学科，其中数量关系非常重要，其也是描述空间关系的重要工具，因此对数量关系把握到位了，那么数学学习就是成功的. 认知视角下的数量抽象，主要表现在从数量及数量关系的角度去对研究对象进行表征，数形结合这一重要的数学思想方法背后，其实就普遍存在着数量抽象.

三是数学抽象的较高水平是概念抽象. 这里所说的概念是广义角度的概念，凡是凝聚了数学内涵并以精练的数学语言描述的，均可称之为数学概念. 数学概念不仅涉及了数学抽象的过程，还涉及了抽象结果的表征，对学生的思维水平要求较高. 例如，“数列”并不只是“一列数”，而是“按照一定顺序排列着的数”，显然，对“顺序”的理解才是数列概念建构的关键，同时也是数学抽象的关键.

认知指引下的高中数学抽象教学

从上述理解可以看出，认知视角下的数学抽象的最大价值在于，可以赋予学生一个更符合学习规律的数学抽象过程，学生在这样的过程中，数学抽象意识以及数学抽象的能力都可以得到切实的培养. 从这个角度来看，对数学抽象的认识就有了两个层次：一是数学抽象能够简化学生对所研究数学对象的认知，是一种抛弃数学对象一切外在物理属性的思维过程;二是数学抽象的认知解读能够让数学抽象的过程变得更加合理，学生可以在数学抽象的过程中更好地把握数学抽象的本质.

仍然以“数列”概念的教学为例，通过数学抽象得出数列的概念，对于相当一部分高中学生而言非常必要，因为数学本身比较抽象，尤其是后续的数列的通项式求解、数列求和等，都是高度抽象的产物. 因此在数列概念建立的时候，要认真设计一个能够让学生充分体验数学抽象的过程，具体可以包括这样几个步骤：

一是给学生提供思维素材，以促使学生完成知觉抽象. 比如上面所举的堆钢管的例子，在生活中有很多变式，教师提供给学生的可以是一个实物图，也可以是一个抽象图（如图1）. 但需要强调的是，必须以“图”的形式来引入，也就是说必须让学生在这个环节实现思维对图形的加工，学生很容易实现由“图”向“数”的转化，于是抽象就进入下一个阶段.

二是引导学生进行思维，以完成数量抽象. 数量抽象不只是完成由“图”向“数”的转化，还需要寻求数量之间的关系，尤其是对于数列概念的建构而言，只有发现数之间的关系，数列概念才有可能形成. 如图1之中，得到的数是“1，3，6， 10，…”，那么这些数之间的关系是什么？这才是数量抽象这一环节的本质. 这个过程中，学生的思维很难一下子逻辑化，因为学生一下子发现不了这些数字之间的逻辑关系，因此学生的思维必然要试错，即猜想基础上的判断. 如有学生认为3是1+2的结果，而6是3+3的结果，10则是6+4的结果，于是规律就若隐若现，探究也就进一步深入……随着探究的深入，抽象的水平其实也就越来越高，数量抽象同样也就越来越充分.

三是概念抽象过程中完成数列概念的建立. 如同上面所说的一样，数列概念建立的关键是“一定顺序”的理解，这个理解实际上是建立在上述数量抽象的基础之上的，但在建立概念的时候，要进行一定程度上的变式，要让学生对“按一定顺序排列着的一列数”产生非常直观的感觉，这是概念建立的认知基础.

事实证明，通过上述教学设计与实施，学生对数列的认识是深刻的，所理解的数列概念，可以支撑起后续知识的学习.

基于数学抽象研究教育理论

笔者一直认为，高中数学教学作为一门具有高度重要性的基础性学科，担负着发展学生思维、培养学生核心素养的重要作用. 对于这门学科的教学，不能只满足于应试，不能只从分数这一个角度去判断自己的教学过程. 核心素养虽然与考试评价分属学生的当前与未来两个维度，但是数学教师就是要同时关注学生当下与未来的发展，而要做到这一点，除了日常教学中积累教学经验之外，还需要进行必要的理论研究.

从数学抽象的背景、产生、内容、方法和形式等方面探讨数学抽象活动的过程与结果、形式与实质之间的思辨关系是深化数学教育理论研究的需要. 笔者以为，作为一线数学教师，要研究的更多的理论应当是符合当下学生成长需要的（如核心素养理论），同时是对学生的学业的成绩有发展、有促进作用的，如见之于常见教育期刊上的同行文章等. 认知视角下的数学抽象研究，就是笔者在这一思路下进行的初步尝试. 实践之后发现，虽然整个认知理论比较繁杂，但从中選择最基本的部分，来解释高中数学教学，还是非常恰当的，尤其是对数学学科核心素养的要素研究，都能够带来新的启发. 认知视角下的数学抽象研究是笔者进行的第一个研究，后面笔者还将继续努力.