基于非对称GH-Copula函数推求珠海市设计暴雨过程线*

陈子燊，李鸿皓

（1. 中山大学新华学院，广东广州510520；2. 中山大学地理科学与规划学院，广东广州510275；3. 珠海市公共气象服务中心，广东珠海51900）

设计典型暴雨过程线是制定排水防洪系统设计时需要考虑的关键问题，可为市政排水系统的规划和管理、与城市雨洪分析计算提供科学依据。一些研究人员从城市应对极端天气事件与防灾减灾的风险管理角度对雨型作了探索。蒋明［1］指出，雨型是描述降雨过程和降雨强度在时间尺度上的分配过程，是径流过程计算的基础。成丹等［2］把设计雨型作为制定排水防涝系统设计时的重要因素，应用于城市市政排水系统的规划和管理及排水分析，为城市流域雨洪调度计算提供科学依据。叶姗姗等［3］选取宿迁市实测的主副型雨峰偏后的暴雨雨型，对其降雨过程进行同频率分时段缩放，采用Copula 函数的风险联合概率模型分析了不同的两时段之间出现的暴雨风险。杨星等［4］利用深圳雨量站34 年实测逐时降雨资料，对比了不同典型暴雨设计雨型研究方面的差异，按构建的两变量Copula 推求了深圳市不同重现期雨型的风险率和典型暴雨的特征。陈子燊等［5］使用珠海市32 年不同历时暴雨组合推算排水排涝两级标准衔接的设计暴雨水平，分析各历时暴雨组合的遭遇概率，推算各组合的设计暴雨值。

Grimaldi & Serincesco［6］、Ganguli & Reddy［7］、Zhang & Singh［8］、陈子燊等［9］分别采用非对称的阿基米德Copulas 构建了不对称三变量洪水要素联合分布模型推算设计洪水，尝试应用于洪水风险规划管理。肖义等［10］、李天元等［11］则分别采用两变量和三变量的Copula 函数建立了联合分布的设计洪水过程线的推求方法，为城市设计暴雨过程线提供了一种新思路。

华南雨水非常丰沛，汛期降雨可分为以锋面雨为主的前汛期与台风雨为主的后汛期。由于城市化进程加速，城市建设管网等排水系统滞后于城市发展，设计标准偏低，导致城市排水系统的排洪能力低下。近年来一些城市内涝问题日显突出，衍生的灾害对城市经济社会发展带来了重大的负面影响。本研究以珠海市近数十年来的逐时雨量数据，采用非对称阿基米德Copulas(Asym⁃metric Archimedean Copulas)构建典型设计暴雨过程线，可为城市防洪排涝工程设计和防灾减灾的风险管理提出新思路。

1 三变量Copula函数

1.1 Copula函数的定义

设随机变量Xi(i= 1，2，…，n)的边缘分布函数分别为FXi(xi)=P(Xi≤xi)，其中n为随机变量的个数，xi为随机变量Xi的值。依Sklar 理论，对于连续分布函数FXi(xi)，存在唯一的联合分布函数［12］：

利用Copula 函数构造联合概率分布，使得变量的所有信息都存在于边缘分布函数里，不会在转换过程中产生信息失真。因此，Copula函数理论是构建多变量水文联合概率分布的理想工具。

1.2 三变量Archimedean Copula

三变量对称的Archimedean Copula 单参数形式［13］为：

式 中，u1，u2，u3为 边 缘 分 布，u1=FX1(x1)，u2=FX2(x2)，u3=FX3(x3)，u1，u2，u3∈［0，1］；φθ为Ar⁃chimedean copula 的生成元；θ为参数；φ−1θ为φθ的反函数。对称的GH−Copula为：

三变量非对称Archimedean Copula两参数形式为［13］：

式中，符号“∘”表示函数组合。非对称的GH−Copula为：

2.3 三变量联合重现期

3 实例研究

3.1 基本数据

本文根据珠海市气象站1961～2018 年逐时降水记录数据，在提取历年最大24 h 雨量基础上，再分别提取雨峰和连续最大6 h 雨量数据，构成最大1 h 雨量(R1)、最大6 h 雨量(R6)和最大24 h雨量(R24)作为分析样本。其中，珠海最大24 h出现在2000 年4 月13 日19 时～4 月14 日18 时，累计降雨630.3 mm，出现在第13 h 的雨峰，雨量为89.3 mm。次最大24 h雨量出现在1994年7月22日7 时～7 月22 日6 时，累计降雨572.6 mm，雨峰靠前，出现在第4 h，雨量102 mm。二者分别作为前汛期和后汛期的代表性极端降水过程，以此构建2000 年和1994 年3 个时段雨量联合分布的两场典型设计暴雨过程线。

3.2 边缘分布与联合分布

三个样本的边缘分布均采用广义极值(GEV)分布函数：

式中，ξ，β，μ分别为形态参数、尺度参数和位置参数。

采用广义极值分布(GEV)对R1、R6和R24样本加以拟合。参数估计使用线性矩(L−矩)方法。经验频率分布使用Gringorten 公式计算。拟合结果采用均方根误差(RMSE)和概率点据相关系数(PPCC)检验其拟合优度。拟合结果(表1)表明，GEV 分布适用于3 个极端降雨尺度R1、R6和R24的边缘分布。

计算的R1、R6和R24两两间的Kendall 相关系数表明不同历时暴雨间存在较高的相关性，其中R1和R6最大，τ=0.576；R1和R24之间的相关系数为0.303；R6和R24相关系数为0.543。采用Kendall 相关系数与Copula 参数的关系式，构建非对称三变量GH−Copula［10］。为了对比，通过MLM 法计算了三变量对称GH−Copula 的参数θ。采用Akaike 信息准则(AIC)和最小OLS 准则验证理论联合分布函数与经验联合分布函数的拟合程度，结果见表2。可见以二维GH−Copula 的三维非对称形式的GH−Copula 的OLS 和AIC 值最小，表明非对称Copula 略优。Nelson［12］和Salvadori 等［13］证明当且仅当边缘分布和Copula 函数均为极值分布时，构造的联合分布才是极值分布，而GH−Copula 是Archimedean copula 函数族中的唯一多变量极值Copula 函数，适用于极端事件的频率分析。考虑到R1、R6和R24之间的相关性存在较大差别，因此选用非对称GH−Copula构建珠海雨量站历年最大24 h暴雨量三个历时R1、R6和R24之间的联合分布：

表1 三变量暴雨样本的GEV分布参数与优度检验值Table 1 The parameters of the marginal distribution and the values of goodness of fit test

图1 降雨尺度R1、R6和R24的GEV分布Fig.1 GEV distribution of R1,R6 and R24rainfall scales

表2 非对称和对称三维GH−Copula参数估计及拟合优度评价Table 2 Results of parameter estimation and goodness of fit tests for three dimensional asymmetric and symmetric GH−Copulas

3.4 典型设计暴雨过程线

典型暴雨过程线的选择采用以下原则：1)分别选择峰高量大具有一定代表性的实测暴雨过程线暴雨过程；2)设计暴雨过程线采用同频率放大法，以降水主峰对城市内涝形成为首要影响因子，选定时段为1 h 的设计雨峰作为设计标准，放大出来的过程线形状能与原来的典型过程一致。

珠海前、后汛期典型年的24 h 暴雨过程线如图2 显示，1994 年最大24 h 暴雨过程存在主副峰，主峰靠前。2000 年最大24 h 暴雨过程同样为主副峰雨型，主峰大致位于最大24 h 暴雨的中间时刻。两个典型暴雨R1、R6、R243 个时段最大降水量及重现期见表3。

图2 两个典型年暴雨过程Fig.2 Rainstormhydrograph of two typical year

从表3 可见，1994 年和2000 年的R1−R6−R24组合雨量的“或”联合重现期小于单一时段雨量重现期，此说明考虑多时段组合条件下单一时段雨量即可致灾的可能性最高，同时出现三时段组合雨量的“且”联合重现期明显超过“或”联合重现期，属于可能性小的事件。表4为不同时段雨量组合的“或”联合重现期，同样可见同频率下R1−R6−R24三时段组合雨量的“或”联合重现期小于两时段组合雨量的“或”联合重现期。因此，如果以三时段雨量组合的“或”联合重现期更适用于应对珠海市的内涝风险。

3.5 同频率法推求设计暴雨过程线

按照同频率放大法的思路，假定3个时段降雨变量R1、R6、R24同频率，令u1=u2=u3，可得到基于某一联合重现期Tu1，u2，u3的频率组合(u1，u2，u3)。根据此组合，按照各变量的边缘分布函数反推可得到三变量不同时段雨量的联合设计值组合(r1，r2，r3)，再以此设计值组合放大典型暴雨过程，即得到基于三变量联合分布的设计暴雨过程线。非对称GH−Copula 推算的R1、R6、R24三变量同频率分布联合设计值为［10］：

表3 两个典型年R1、R6、R24最大降水量及重现期Table 3 Maximum precipitation and return period of R1，R6，R24 of two typical years

表4 不同时段雨量组合的“或”联合重现期Table 4 ‘OR’joint return periods of rainstorm in different time interval

同 理 可 分 别 推 算 两 变 量(u1，u2) 的Tu1，u2和(u1，u3)的Tu1，u3的同频率联合设计值。

选取当地实测的典型暴雨，对其降雨过程进行同频率分时段缩放。放大系数公式K=X设计/X典型。式中X设计为不同重现期的设计降雨量；X典型为典型暴雨降雨量。以雨峰同频率放大方法求重现期200 年(P=0.05%)R1−R6−R24三时段联合分布的设计暴雨过程线。为了比较，另推求了R1−R6和R1−R24两变量联合分布以及以雨峰R1单变量同频率放大的设计暴雨过程线(图3)。多变量同频率设计值计算结果见表5。

多变量方法与单变量方法所推求的200年一遇设计暴雨过程线的比较显示，考虑了变量之间的相关性的多变量联合重现期设计值大于单变量同频率设计值，即多变量方法放大的过程线对于城市防雨洪设计偏安全或保险。以多变量联合重现期作为城市排水防涝标准更安全，传统的单变量同频率方法则达不到标准。因此，得到的典型设计暴雨过程线更符合城市水文的内在规律和排水防涝工程设计的要求，由此设计的暴雨过程线更适用于应对城市内涝风险。

图3 典型暴雨三时段组合、两时段组合和单一时段方法推求的200年一遇设计暴雨过程线的对比Fig.3 Comparison among the design rainstorm hydrograph with return period 200 years of a typical rainstorm to three and two durations

表5 单变量暴雨设计值和多变量同频率联合设计值Table 5 Univariate and multivariate storm design value combined with same frequency

4 结 论

本文将不同历时雨量之间具有相关关系的暴雨过程简化为雨峰、6 h 雨量和24 h 雨量三变量联合分布，采用非对称GH−copula 构建珠海市典型暴雨过程线，并与由两个时段和由单一雨峰的同频率设计暴雨过程线方法进行了比较。研究结果有以下结论：

1)多变量联合分布模型合理地拓展了Copula函数在城市水文工程中的实际应用。1994 年和2000 年两个典型年的R1−R6−R24三个时段雨量联合分布的“或”联合重现期都小于单一时段雨量重现期，危险率最大。三个时段雨量联合分布的“或”联合重现期更适用于应对城市雨洪风险。

2)采用三个历时雨量联合分布推求的珠海市设计暴雨值大于两个时段和单一时段设计暴雨值，由此放大的设计暴雨过程线，整体效果相对最优，对设计暴雨过程线的研究方法提供了新思路。按同频率放大的典型设计暴雨过程线可作为前汛期和后汛期排水防涝工程设计的参考依据。

3)与1994年主峰靠前的暴雨过程比较，主峰居中的2000 年的暴雨过程危险率更大，对珠海市内涝具有更大的威胁，构建的典型设计暴雨过程线更具代表性。