直链四角系统的Balaban指标

拉 白 邓 波,2),3) 冶成福 付 凤

( 1) 青海师范大学数学与统计学院, 810008,西宁； 2) 藏文信息处理教育部重点实验室，810008,西宁；3) 广东石油化工学院理学院，525000,广东茂名 )

1 引 言

对简单图G, 其边数和顶点数分别记为m和n. 在图G中,顶点u和v的距离记为dG(u，v),顶点u到其它各顶点的距离之和记为DG(u),即

20世纪80年代， 著名的数学化学家 Balaban提出了一种关于连通图的新的拓扑指标，称为 Balaban 指标 (或简称为J指标)[1,2]:

Balaban指标是一个非常有用的且具有良好性质的分子描述器,被广泛应用于QSAR和QSPR的研究中.通过对含有6至9个碳原子的烷烃同分异构体进行排序,Balaban等人发现,由Balaban指标产生的顺序平行于由 Wiener指标产生的顺序,而且 Balaban 指标具有更好的识别能力, 因此Balaban指标也被称为敏锐的Wiener指标.在生物学上,Balaban指标被用于研究苯磺的碳酸酐酶抑制药的QSAR[3],优化生物活性先导化合物[4],建立转移RNA 的联系[5],确定RNA的结构和识别分类RNA[6]等.

本文比较了直链四角系统和直链四角系统变换的Balaban指标大小,并且建立了直链四角系统Balaban指标的上(下)界.

2 基本定义和引理

四角系统[7]是一个2-连通平面图, 其每个内部面都是单位正方形(又称为细胞), 且每条边至少属于一个正方形.

定义1[8]设G为一个四角系统, 且G中任何4个细胞没有公共顶点, 则称G为渺位或树状四角系统; 以G中所有细胞中心为顶点集,以相邻细胞中心连线为边集的图称为图G的特征图; 如果特征图为一条路,则称G为链状或路状四角系统.

定义2[9]设G为链状四角系统, 如果边e是G中2个细胞的公共边, 则称边e为G的内边,否则称边e为G的外边.

定义3[10-12]设G为含t个细胞的链状四角系统, 如果去掉其所有的2度顶点及其相关联的边后为一条路, 则称G为锯齿链(Zigzagchain)四角系统, 用Zt(t≥1)表示, 简记为Z-四角系统; 而不含4度顶点的链状四角系统称为直链(Straight Chain)四角系统, 用Lt(t≥1)表示,简记为L- 四角系统(图1).

图1 直链四角系统Lt(t≥1)

图2 直链四角系统变换和

3 比较直链四角系统和直链四角系统变换的 Balaban 指标大小

证设V0={u1,u2,…ut,ut+1},V1={v1,v2,…vt,vt+1},E0={ei|ei=uiui+1,ui∈V0},

通过直接计算可得：

当t≥j>i时，

当k≤i时，

当t≥j≥2时，

则

由引理2可得

(1)

同理当v1v2,vivi+1∈E1时,可得

(2)

(3)

当vi-l+3vi-l+2,vlvl+1∈E1时,同理可得

(4)

(5)

(6)

(7)

(8)

=2(i-2l+4)≥0,设

(9)

(10)

(11)

(12)

(13)

(14)

(15)

(16)

<0.

(17)

<0.

(18)

由DLt(uk)=DLt(vk)=(t-k+2)2+k2-1,可得

4 直链四角系统Balaban指标的界

(19)

(20)

由(19)式和(20)式可知