Hom-李超三系的上同调和形变
2020-10-14郭双建
郭 双 建
(贵州财经大学数学与统计学院,贵阳 550025)
Hom-李代数起源于向量场上李代数的离散型量子q-形变理论,其概念是由Hartwig等学者在研究拟李代数时引进的[1-2]. 随后,Hom-型代数引起大量学者的研究兴趣[3-6],比如,生云鹤教授系统研究了Hom-李代数的表示[7]等. 其一些推广概念,如Hom-李超代数,Hom李着色代数、Hom李三系,3-Hom李代数等相继出现,它们的诸多性质也相继被研究.
李超三系是李三系的自然推广,其最早源于在高能物理场上三元乘法求解Yang-Baxter方程的理论研究[8-9]. 随后,文献[10]刻画了拟-经典李超三系的概念,讨论了其与Yang-Baxter方程的求解的联系,并且给出了若干具体例证. 文献[11]讨论了李超三系的上同调和Nijenhuis 算子. 虽然李超三系的概念引入的时间不长,但是它已经被许多学者接受.但遗憾的是,除了文献[12]刻画了Hom李超三系的导子之外,对Hom李超三系的性质研究还不多,这也是本文的研究出发点.
设T为Hom-李超三系.本文主要刻画其上的若干代数性质,并引入了T的上同调和上边界算子,最后利用上同调方法讨论了T的形变.
1Hom-李超三系的上同调
定义1[12]保积Hom-李超三系(T,[·,·,·])是一个Z2分次向量空间T,伴有三元运算[·,·,·]:T×T×T→T和线性映射φ:T→T,φ([x,y,z])=[φ(x),φ(y),φ(z)]使得下列等式成立
|[x,y,z]|=(|x|+|y|+|z|)(mod 2);
(1)
[y,x,z]=-(-1)|x||y|[x,y,z];
(2)
(-1)|x||z|[x,y,z]+(-1)|y||x|[y,z,x]+
(-1)|z||y|[z,x,y]=0;
(3)
[φ(x),φ(y),[z,u,v]]=
[[x,y,z],φ(u),φ(v)]+
(-1)|z|(|x|+|y|)[φ(z),[x,y,u],φ(v)]+
(-1)(|x|+|y|)(|z|+|u|)[φ(z),φ(u),[x,y,v]].
(4)
其中,齐次元x,y,z,u,v∈T.以|x|表示x的Z2次数. 在本文中,出现|x|时,均默认x为T中的齐次元.
如果三线性映射χ:(T,[·,·,·],φ)→(T′,[·,·,·]′,φ′)为Z2-空间上的态射,且满足χ([x,y,z])=[χ(x),χ(y),χ(z)]′和χφ=φ′χ,则称χ为Hom-李超三系的同态.
定义2设T为保积Hom-李超三系,V为Z2-分次向量空间和A∈End(V). 若双线性映射θ:T⊗T→End(V)满足下列条件: 对任意的x,y,z,u∈T,
θ(φ(x),φ(y))A=Aθ(x,y),
(5)
(-1)(|x|+|y|)(z+|u|)θ(φ(z),φ(u))θ(x,y)-
(-1)|x||y|+|u|(|z|+|x|)θ(φ(y),φ(u))θ(x,z)-
θ(φ(x),[y,z,u])A+
(-1)|x|(|y|+|z|)D(φ(y),φ(z))θ(x,u)=0,
(6)
(-1)(|x|+|y|)(|z|+|u|)θ(φ(z),φ(u))D(x,y)-
D(φ(x),φ(y))θ(z,u)+θ([x,y,z],φ(u))A+
(-1)|z|(|x|+|y|)θ(φ(z),[x,y,u])A=0.
(7)
其中,D(x,y)=(-1)|x||y|θ(y,x)-θ(x,y),则称(V,θ)为T的表示,即V为T-模.
例1设T为保积Hom-李超三系.定义θ:T⊗T→End(V)为
θ(x,y)(z)=(-1)|z|(|x|+|y|)[z,x,y].
易知,D(x,y)(z)=[x,y,z]. 此时,(T,θ)为T的伴随表示.
命题1设T为保积Hom-李超三系,(V,θ)为T的一个表示,则T⊗V为保积Hom-李超三系.
证明对任意的(x,u),(y,v),(z,w)∈T⊗V,定义三线性积[·,·,·]:(T⊗V)⊗(T⊗V)⊗(T⊗V)→(T⊗V)为
[(x,u),(y,v),(z,w)]=
([x,y,z],(-1)|x|(|y|+|z|)θ(y,z)(u)-
(-1)|y||z|θ(x,z)(v)+D(x,y)(w)),
其中,|(x,u)|=|x|.
由于T为保积Hom-李超三系,容易验证(1)成立.
对于(2),令(x,u),(y,v),(z,w)∈T⊗V并计算如下,
-(-1)|x||y|[(y,v),(x,u),(z,w)]=
-(-1)|x||y|([y,x,c],(-1)|y|(|x|+|z|)·
θ(x,z)(v)-(-1)|x||z|θ(y,z)(u)+
D(y,x)(w))=
(-(-1)|x||y|[y,x,c],
-(-1)|y||z|θ(x,z)(v)-
(-1)|x|(|y|+|z|)θ(y,z)(u)-
(-1)|x||y|D(y,x)(w))=
([x,y,z],(-1)|x|(|y|+|z|)·
θ(y,z)(u)-(-1)|y||z|θ(x,z)(v)+
D(x,y)(w))=[(x,u),(y,v),(z,w)],
由于
-(-1)|x||y|[y,x,w]=[x,y,w]=
D(x,y)(w),
所以最后一个等式成立.
对于(3),有
(-1)|x||z|[(x,u),(y,v),(z,w)]+
(-1)|y||x|[(y,v),(z,w),(x,u)] +
(-1)|z||y|[(z,w),(x,u),(y,v)]=
((-1)|x||z|[x,y,z]+(-1)|y||x|[y,z,x]+
(-1)|z||y|[z,x,y],Ω)=(0,Ω),
其中,
Ω=(-1)|x||y|θ(y,z)(u)-
(-1)(|x|+|y|)|z|θ(x,z)(v)+
(-1)|x||z|D(x,y)(w)+
(-1)|y||z|θ(z,x)(v)-
(-1)(|y|+|z|)|x|θ(y,x)(w)+
(-1)|b||a|D(y,z)(u)=
(-1)|x||y|θ(y,z)(u)+
(-1)|y||z|θ(z,x)(v)+
(-1)|z||y|θ(x,y)(w)-
(-1)|x||z|θ(x,y)(w)+
(-1)|y||x|θ(y,z)(u)-
(-1)|y||z|θ(z,x)(v)=0,
则有
(-1)|x||z|[(x,u),(y,v),(z,w)]+
(-1)|y||x|[(y,v),(z,w),(x,u)]+
(-1)|z||y|[(z,w),(x,u),(y,v)]=(0,0).
对于(4),令(x,u),(y,v),(z,w),(s,m),(p,n)∈T⊗V.首先,计算如下,
[[(x,u),(y,v),(z,w)],(φ+A)(s,m),
(φ+A)(p,n)]=[([x,y,z],
(-1)|x|(|y|+|z|)θ(y,z)(u)-
(-1)|y||z|θ(x,z)(v)+D(x,y)(w))·
(φ+A)(s,m),(φ+A)(p,n)] =
([[x,y,z],φ(s),φ(p)],Π1),
其中,
Π1=(-1)(|x|+|y|+|z|)(|s|+|p|)·
(-1)|x|(|y|+|z|)θ(φ(s),φ(p))θ(y,z)(u)-
(-1)(|x|+|y|+|z|)(|s|+|p|)(-1)|y||z|·
θ(φ(s),φ(p))θ(x,z)(v)+
(-1)(|x|+|y|+|z|)(|s|+|p|)·
θ(φ(s),φ(p))D(x,y)(w)-
(-1)|y||z|θ([x,y,z],φ(p))θ(x,z)A(m)+
D([x,y,z],s)A(n),
其次,计算
(-1)|z|(|x|+|y|)(φ+A)[(z,w),
[(x,u),(y,v),(s,m)],(φ+A)(p,n)]=
[(-1)|z|(|x|+|y|)(φ+A)(z,w)·
([x,y,s],(-1)|x|(|y|+|s|)θ(y,s)(u)-
(-1)|y||s|θ(x,s)(v)+D(x,y)(m)),
(φ+A)(p,n)]=
((-1)|z|(|x|+|y|)[φ(z),[x,y,s],φ(p)],Π2),
其中,
Π2=-(-1)(|x|+|y|+|s|)|p|·
(-1)|z|(|x|+|y|)+|x|(|y|+|s|)·
θ(φ(z),φ(p))θ(y,s)(u)+
(-1)(|x|+|y|+|s|)|p|·
(-1)|z|(|x|+|y|)+|y||s|·
θ(φ(z),φ(p))θ(x,s)(v)+
(-1)(|x|+|y|+|s|+|p|)|z|·
(-1)|z|(|x|+|y|)θ([x,y,s],φ(p))A(w)-
(-1)(|x|+|y|+|s|)|p|(-1)|z|(|x|+|y|)·
θ(φ(z),φ(p))D(x,s)(m)+
(-1)|z|(|x|+|y|)D(φ(z),[x,y,s])A(n),
第三,再计算
(-1)(|x|+|y|)(|z|+|s|)·
[(φ+A)(z,w),(φ+A)(s,m),
[(x,u),(y,v),(p,n)]]=
(-1)(|x|+|y|)(|z|+|s|)·
[(φ+A)(z,w),(φ+A)(s,m),
([x,y,p],(-1)|x|(|y|+|p|)·
θ(y,p)(u)-(-1)|y||p|θ(x,p)(v)+
D(x,y)(n))]=
((-1)(|x|+|y|)(|z|+|s|)·
[φ(z),φ(s),[x,y,p]],Π3),
其中,
Π3=(-1)(|x|+|y|)(|z|+|s|)·
(-1)|x|(|y|+|p|)D(φ(z),φ(s))θ(y,p)(u)-
(-1)(|x|+|y|)(|z|+|s|)(-1)|y||p|·
D(φ(z),φ(s))θ(x,p)(v)+
(-1)(|x|+|y|)(|z|+|s|)·
(-1)(|x|+|y|+|p|)|z|θ(φ(s),[x,y,p])A(w)-
(-1)(|x|+|y|)(|z|+|s|)·
(-1)(|x|+|y|+|p|)|s|·
θ(φ(z),[x,y,p])A(m)+
(-1)(|x|+|y|)(|z|+|s|)·
D(φ(z),φ(s))D(x,y)(n),
第四,计算
[(φ+A)(x,u),(φ+A)(y,v),
[(z,w),(s,m),(p,n)]]=
[(φ+A)(x,u),(φ+A)(y,v),
([z,s,p],(-1)|z|(|s|+|p|)·
θ(s,p)(w)-(-1)|s||p|θ(z,p)(m)+
D(z,s)(n))]=([x,y,[z,s,p]],Π4),
其中,
Π4=(-1)|x|(|y|+|z|+|s|+|p|)·
θ(φ(y),[z,s,p])A(u)-
(-1)|y|(|z|+|s|+|p|)θ(φ(x),[z,s,p])A(v)+
(-1)|z|(|s|+|p|)D(α(z),α(s))θ(s,p)(w)-
(-1)|s||p|D(α(z),α(s))θ(z,p)(m)
+D(φ(z),φ(s))D(z,s)(n),
最后,由等式(5),(6)和(7),可得
[[(x,u),(y,v),(z,w)],
(φ+A)(s,m),φ(α+A)(p,n)]+
(-1)|z|(|x|+|y|)[(φ+A)(z,w),
[(x,u),(y,v),(s,m)],(φ+A)(p,n)]+
(-1)(|x|+|y|)(|z|+|s|)[(φ+A)(z,w),
(φ+A)(s,m),[(x,u),(y,v),(s,m)]]=
([[x,y,z],φ(s),φ(p)]+
(-1)|z|(|x|+|y|)[φ(z),[x,y,s],φ(p)]+
(-1)(|x|+|y|)(|z|+|s|)[φ(z),φ(s),
[x,y,p]],Π1+Π2+Π3)=
([φ(x),φ(y),[z,s,p]],Π4)=
[(φ+A)(x,u),(φ+A)(y,v),
[(z,w),(s,m),(p,n)]],
证毕.
定义3设T为保积Hom-李超三系,V为T-模. 如果存在n-线性映射χ:T×T×…×T→T满足下列条件:
Aχ(x1,x2,…,xn)=χ(φ(x1),φ(x2),…,φ(xn)),
(8)
χ(x1,x2,…,x,y,…,xn)=
-(-1)|x||y|χ(x1,x2,…,x,y,…,xn),
(9)
-(-1)|x||z|χ(x1,x2,…,xn-3,x,y,z)+
(-1)|y||x|χ(x1,x2,…,xn-3,x,z,y)+
(-1)|z||y|χ(x1,x2,…,xn-3,z,x,y)=0.
(10)
Φ2n-1χ(x1,…,x2n+1)=
(-1)(|x2n|+|x2n+1|)(|χ|+|x1|+|x2|+…+|x2n-1|)·
θ(φn-1(x2n),φn-1(x2n+1))χ(x1,…,x2n-1)-
(-1)(|x2n-1|+|x2n+1|)(|χ|+|x1|+|x2|+…+|x2n-2|)+|x2n+1||x2n|·
θ(φn-1(x2n-1),φn-1(x2n+1))χ(x1,…,x2n-1,x2n)+
D(φn-1(x2k-1),φn-1(x2k))·
[x2k-1,x2k,xj],…,φ(x2n+1)).
Φ2nχ(x1,…,x2n+1)=
(-1)(|x2n|+|x2n+1|)(|χ|+|y|+|x1|+|x2|+…+|x2n-1|)·
θ(φn(x2n),φn(x2n+1))χ(y,x1,…,x2n-1)-
(-1)(|x2n-1|+|x2n+1|)(|χ|+|y|+|x1|+|x2|+…+|x2n|)·
θ(φn(x2n-1),φn(x2n+1))χ(y,x1,…,x2n-2,x2n)+
D(φn(x2k-1),φn(x2k))·
不难验证Φnχ满足(9)和(10). 要验证Φnχ满足(8),使得Φnχ是良定义的,事实上,只需验证
A(Φ2n-1χ(x1,…,x2n-1))=(Φ2n-1χ(φ(x1),…,
φ(x2n-1))).Φ2n-1χ(φ(x1),…,φ(x2n-1))=
(-1)(|x2n|+|x2n+1|)(|χ|+|x1|+|x2|+…+|x2n-1|)·
θ(φn(x2n),φn(x2n+1))χ(φ(x1),…,φ(x2n-1))-
(-1)(|x2n-1|+|x2n+1|)(|χ|+|x1|+|x2|+…+|x2n-2|)+|x2n+1||x2n|·
θ(φn(x2n-1),φn(x2n+1))χ(φ(x1),…,φ(x2n-2),
(-1)(|x2k-1|+|x2k|)(|χ|+|x1|+|x2|+…+|x2k-2|)·
φ([x2k-1,x2k,xj]),…,φ2(x2n+1))=
(-1)(|x2n|+|x2n+1|)(|χ|+|x1|+|x2|+…+|x2n-1|)·
θ(φn(x2n),φn(x2n+1))A(χ(x1,…,x2n-1))-
(-1)(|x2n-1|+|x2n+1|)(|χ|+|x1|+|x2|+…+|x2n-2|)+|x2n+1||x2n|·
θ(χn(x2n-1),χn(x2n+1))A(χ(x1,…,x2n-1,x2n))+
Aθ(φn-1(x2n),φn-1(x2n+1))(χ(x1,…,x2n-1))-
A(-1)(|x2n|+|x2n+1|)(|χ|+|x1|+|x2|+…+|x2n-1|)·
θ(φn-1(x2n-1),φn-1(x2n+1))(χ(x1,…,x2n-1,x2n))+
D(φn-1(x2k-1),φn-1(x2k))·
A(Φ2n-1χ(x1,…,x2n+1)).
定理1设T为保积Hom-李超三系,V为T-模,则上边界算子Φn满足Φn+2Φn=0.
证明由上边界算子的定义可知,Φ2n+1Φ2n-1=0可推出Φ2n+2Φ2n=0. 因此只需验证Φ2n+1Φ2n-1=0,n=1,2,3,… .
其中,
(-1)(|x2n|+|x2n+1|)(|χ|+|x1|+|x2|+…+|x2n-1|)·
θ(φn-1(x2n),φn-1(x2n+1))χ(x1,…,x2n-1)-
(-1)(|x2n-1|+|x2n+1|)(|f|+|x1|+|x2|+…+|x2n-2|)+|x2n+1||x2n|·
θ(φn-1(x2n-1),φn-1(x2n+1))χ(x1,…,x2n-1,x2n),
χ(x1,…,x2n+3)=
(-1)(|x2n+2|+|x2n+3|)(|χ|+|x1|+|x2|+…+|x2n+1|)·
θ(φn(x2n+2),φn(x2n+3))Φ2n-1χ(x1,…,x2n+1)-
(-1)(|x2n+1|+|x2n+3|)(|χ|+|x1|+|x2|+…+|x2n|)+|x2n+2||x2n+3|·
θ(φn(x2n+1),φn(x2n+3))Φ2n-1χ(x1,…,x2n,x2n+2)+
(-1)(|x2k-1|+|x2k|)(|χ|+|x1|+|x2|+…+|x2k-2|)·
(-1)(|x2n+2|+|x2n+3|)(|χ|+|x1|+|x2|+…+|x2n+1|)·
θ(φn(x2n+2),φn(x2n+3)).
(a1) ((-1)(|x2n|+|x2n+1|)(|χ|+|x1|+|x2|+…+|x2n-1|)·
θ(φn-1(x2n),φn-1(x2n+1))χ(x1,…,x2n-1)
(a2) -(-1)(|x2n-1|+|x2n+1|)(|χ|+|x1|+|x2|+…+|x2n-2|)+|x2n+1||x2n|·
θ(φn-1(x2n-1),φn-1(x2n+1))χ(x1,…,x2n-1,x2n)+
D(φn-1(x2k-1),φn-1(x2k))
(-1)(|x2n+1|+|x2n+3|)(|χ|+|x1|+|x2|+…+|x2n|)+|x2n+2||x2n+3|·
θ(φn(x2n+1),φn(x2n+3))
(a3) (-1)(|x2n|+|x2n+2|)(|χ|+|x1|+|x2|+…+|x2n-1|)·
θ(φn-1(x2n),φn-1(x2n+2))χ(x1,…,x2n-1)
(a4) -(-1)(|x2n-1|+|x2n+2|)(|χ|+|x1|+|x2|+…+|x2n-2|)+|x2n+2||x2n|·
θ(φn-1(x2n-1),φn-1(x2n+2))χ(x1,…,x2n-2,x2n)+
D(φn-1(x2k-1),φn-1(x2k))
…,[x2k-1,x2k,xj],…,φ(x2n),φ(x2n+2))+
D(φn(x2k-1),φn(x2k))
(b3) (-1)(|x2n+2|+|x2n+3|)(|χ|+|x1|+|x2|+…+|x2n+1|)·
(-1)(|x2n+1|+|x2n+3|)(|χ|+|x1|+|x2|+…+|x2n|)+|x2n+2||x2n+3|·
θ(φn-1(x2n+1),φn-1(x2n+3))
D(φn(x2n+1),φn(x2n+2))·
(-1)(|x2n|+|x2n+3|)(|χ|+|x1|+|x2|+…+|x2n-1|)·
θ(φn-1(x2n),φn-1(x2n+3))
(a5)χ((x1,…,x2n-1))-
(-1)(|x2n-1|+|x2n+3|)(|χ|+|x1|+|x2|+…+|x2n-2|)+|x2n||x2n+3|·
θ(φn-1(x2n-1),φn-1(x2n+3))
(-1)(|x2n+2|+|x2n+3|)(|χ|+|x1|+|x2|+…+|x2n+1|)·
θ(φn(x2n+2),φn(x2n+3))
(b6)θ(φn(x2n+2),φn-1[x2k-1,x2k,x2n+3])χ(φ(x1),
(-1)(|x2n|+|x2n+1|+|x2n+2|+|x2n+3|)(|χ|+|x1|+|x2|+…+|x2n-1|)
(a7)θ(φn(x2n),φn-1[x2n+1,x2n+2,x2n+3])χ(φ(x1),
(-1)(|x2n+1|+|x2n+3|)(|χ|+|x1|+|x2|+…+|x2n|)+|x2n+2||x2n+3|·
θ(φn(x2n+1),φn(x2n+3))
(a8)θ(φn(x2n-1),φn-1[x2n+1,x2n+2,x2n+3])χ(φ(x1),…,φ(x2n-2),φ(x2n))
由等式(6)和(8),可知(a1)+···+(a8)=0; 由(7)和(8),可知(b1)+···+(b8)=0;不难验证(c1)+(c2)=(d1)+(d2)=0. 因此
2Hom-李超三系的单参数形式形变
设T为保积Hom-李超三系,k[[t]]为变量t的幂级数环.假设T[[t]]是一组形式级数,其系数是向量空间T的元素.
定义5设T为保积Hom-李超三系,则T的单参数形式形变为一组幂级数
χt:T[[t]]×T[[t]]×T[[t]]→T[[t]]
为
φ(z))=φχt(x,y,z),
(11)
其中,每一个χi为k-三线性映射χi:T×T×T→T和χ0(y1,y2,y3)=[y1,y2,y3],满足下列条件:
|χt(y1,y2,y3)|=|y1|+|y2|+|y3|;
(12)
χt(y1,y2,y3)=
-(-1)|y1||y2|χt(y1,y2,y3);
(13)
-(-1)|y1||y3|χt(y1,y2,y3)+
(-1)|y2||y1|χt(y2,y3,y1)+
(-1)|y3||y2|χt(y3,y1,y2)=0;
(14)
χt(φ(y1),φ(y2),χt(y3,y4,y5))=
(-1)|y3|(|y1|+|y2|)χt(φ(y3),
χt(y1,y2,y4),φ(y5))+
χt(χt(y1,y2,y3),φ(y4),φ(y5))+
(-1)(|y1|+|y2|)(|y3|+|y4|)·
χt(φ(y3),φ(y4),χt(y1,y2,y5)).
(15)
注记1等式(11)~(15)等价于
χt(φ(x),φ(y),φ(z))=φχt(x,y,z);
(16)
|χi(y1,y2,y3)|=|y1|+|y2|+|y3|;
(17)
χi(y2,y1,y3)=-(-1)|y1||y2|χi(y1,y2,y3);
(18)
(-1)|y1||y3|χi(y1,y2,y3)+
(-1)|y2||y1|χi(y2,y3,y1)+
(-1)|y3||y2|χi(y3,y1,y2)=0;
(19)
χi(α(y3),χj(y1,y2,y4),φ(y5))+
χi(χj(y1,y2,y3),φ(y4),φ(y5))+
(-1)(|y1|+|y2|)(|y3|+|y4|)·
χi(φ(y3),φ(y4),χj(y1,y2,y5)).
(20)
χiχj(y1,y2,y3,y4,y5)+
χi(χj(y1,y2,y3),φ(y4),φ(y5))+
(-1)(|y1|+|y2|)(|y3|+|y4|)·
χi(φ(y3),φ(y4),χj(y1,y2,y5)).
当n=1,等式(20)等价于χ0χ1+χ1χ0=0. 当n≥2,等式(20)等价于-(χ0χn+χnχ0)=χ1χn-1+χ1χn-2+…+χn-1χ1.
由χ0(y1,y2,y3)=[y1,y2,y3],有
χ0χ1(y1,y2,y3,y4,y5)=
-D(φ(y1),φ(y2),χ(y3,y4,y5))-
(-1)(|y1|+|y2|)(|y3|+|y5|)+|y4||y5|·
D(φ(y3),φ(y4),χ(y1,y2,y5))+
(-1)(|y1|+|y2|+|y3|)(|y4|+|y5|)·
θ(φ(y4),φ(y5))χ(y1,y2,y3)+
(-1)(|y1|+|y2|)(|y3|+|y4|)·
D(φ(y3),φ(y4),χ(y1,y2,y5))=
-[φ(y1),φ(y2),χ1(y3,y4,y5)]+
(-1)|y3|(|y1|+|y2|)·
[φ(y3),χ1(y1,y2,y4),φ(y5)]+
[χ1(y1,y2,y3),φ(y4),φ(y5)]+
(-1)(|y1|+|y2|)(|y3|+|y4|)·
[φ(y3),φ(y4),χ1(y1,y2,y5)]=
-D(φ(y1),φ(y2),φ(y3,y4,y5))-
(-1)(|y1|+|y2|)(|y3|+|y5|)+|y4||y5|·
D(φ(y3),φ(y4),χ(y1,y2,y5))+
(-1)(|y1|+|y2|+|y3|)(|y4|+|y5|)·
θ(φ(y4),φ(y5))χ(y1,y2,y3)+
(-1)(|y1|+|y2|)(|y3|+|y4|)·
D(φ(y3),φ(y4),χ(y1,y2,y5)),
类似的,有
χ1χ0(y1,y2,y3,y4,y5)=
-χ1(φ(y1),φ(y2),χ0(y3,y4,y5))-
(-1)|y3|(|y1|+|y2|)·
χ1(φ(y3),χ(y1,y2,y4),φ(y5))+
χ1(χ0(y1,y2,y3),φ(y4),φ(y5))+
(-1)(|y1|+|y2|)(|y3|+|y4|)·
χ1(y3,y4,χ0(y1,y2,y5))=
-χ1(φ(y1),φ(y2),[y3,y4,y5])+
(-1)|y3|(|y1|+|y2|)·
χ1(φ(y3),χ0(y1,y2,y4),φ(y5))+
χ1([y1,y2,y3],φ(y4),φ(y5))+
(-1)(|y1|+|y2|)(|y3|+|y4|)·
χ1(φ(y3),φ(y4),y1,y2,y5),
于是
(χ0χ1+χ1χ0)(y1,y2,y3,y4,y5)=
Φ3χ1(y1,y2,y3,y4,y5).
因此,由χ0χ1+χ1χ0=0,可得Φ3χ1=0. 也可得
-Φ3χn=χ1χn-1+χ2χn-2+…+χn-1χ1,
称χ1为χt的无穷小形变.
定义6设T为保积Hom-李超三系.如果存在k[[t]]-模形式同构
其中Ψt∘φ=φ∘Ψt:T→T为k-线性映射使得
∀y1,y2,y3∈T.
特别的,如果χ1=χ2=…=0,则称χ1=χ0为零形变. 如果χt~χ0,则称χt为微小形变. 如果每一个单参数形式形变χt均为微小的,则称T为Hom-分析刚性的.
其中,y1,y2,y3∈T. 比较上述等式两边t1的系数,有
χ1(y1,y2,y3)+Ψ1([y1,y2,y3])=
[y1,Ψ(y2),y3]+[y1,y2,Ψ(y3)],
进一步,
[Ψ1(y1),y2,y3]+[y1,Ψ1(y2),y3]+
[y1,y2,Ψ1(y3)]-Ψ1([y1,y2,y3])=
(-1)|y1|(|y2|+|y3|)θ(y2,y3)Ψ1(y1)-
Ψ1([y1,y2,y3])+D(y1,y2)Ψ1(y3)-
(-1)|y2||y3|θ(y1,y3)Ψ1(y2)=
Φ1Ψ1(y1,y2,y3).
Φ3χn=χ1φn-1+χ2χn-2+…+χn-1χ1=0.
令Ψt=idT-ηntn,则
χ0(y1,y2,y3)-{χ0(ηn(y1),y2,y3)+
χ0(y1,ηn(y2),y3)+χ0(y1,y2,ηn(y3))}tn+
{χ0(ηn(y1),ηn(y2),y3)+
χ0(y1,ηn(y2),ηn(y3))+
χ0(y1,ηn(y2),ηn(y3))}t2n+
χ0(ηn(y1),ηn(y2),ηn(y3))t3n+
χ0(y1,y2,ηn(y3))}ti+n+
χi(y1,ηn(y2),ηn(y3))+
χi(y1,ηn(y2),ηn(y3))}ti+2n-
于是,
χ′1(y1,y2,y3)=…=χ′n-1(y1,y2,y3)=0,
χn(y1,y2,y3)-[ηn(y1),y2,y3]-
[y1,ηn(y2),y3]-[y1,y2,ηn(y3)]=
χn(y1,y2,y3)-
(-1)|y1|(|y2|+|y3|)θ(y2,y3)ηn(y1)+
(-1)|y2||y3|θ(y1,y3)ηn(y2)-
D(y1,y2)ηn(y3),
因此,推出
χn(y1,y2,y3)-Φ1ηn(y1,y2,y3)=0.