限制线状李超代数的超导子及限制超导子

2022-08-04远继霞

吉林大学学报(理学版) 2022年4期

张超, 远继霞

(黑龙江大学数学科学学院, 哈尔滨 150080)

李超代数在理论物理和数学研究中具有重要作用. 由于基域的特征不同, 李超代数可分为模李超代数和非模李超代数. 在模李超代数方面, 由于直接研究模李超代数相关理论难度较大, 因此需要在所研究的李超代数上构造一个限制结构, 利用限制李超代数[1]相关理论进行研究. 目前, 关于限制李超代数的研究已有很多结果, 例如: 文献[2]丰富了限制李超代数的相关理论; 文献[3]进一步研究了限制李超代数的上同调理论. 线状李超代数[4]是一类幂零李超代数, 在研究幂零李超代数的不可约簇中有重要作用. 文献[5]刻画了特征零的代数闭域上模型线状李超代数的第一上同调群; 文献[6]研究了一类线状李超代数上的Yang-Baxter方程. 超导子是李超代数结构理论中的重要研究对象. 文献[7]刻画了特征零的代数闭域上Filiform李超代数Ln,m的导子代数; 文献[8]给出了系数取自伴随模的限制李超代数1-阶限制上同调是限制外超导子的代数解释. 虽然关于线状李超代数的研究已有很多结果, 但对限制线状李超代数限制超导子的研究目前尚未见文献报道.

本文首先对线状李超代数给出其限制结构, 得到一个限制线状李超代数; 然后通过限制线状李超代数的2×-阶化结构, 得到限制线状李超代数超导子的形式; 最后证明该限制线状李超代数的超导子均为限制超导子.

1 预备知识

D([x,y])=[D(x),y]+(-1)|x|θ[x,D(y)], ∀x∈hg(L), ∀y∈L,

(1)

则称D为L的2-次数为θ的齐次超导子.

令Derθ(L)为L的2-次数为θ的齐次超导子构成的集合, 其中θ∈2.定义

可证Der(L)是pl(L)的子代数.称李超代数Der(L)是L的超导子代数, 并称Der(L)的元素为L的超导子.

D(z[p])=(adz)p-1D(z),

则称D为L的限制超导子.

令Derres.(L)α为L的所有2-次数为α的限制超导子构成的集合, 其中α∈2, 定义

对于任意的x∈L, adx∈Derres.(L), adL◁Derres.(L)⊆Der(L).

下面介绍一类线状李超代数, 给定正整数a,b∈, 设m2(a,b)是域 F上的超空间, 令

m2(a,b)=spanF{X1,…,Xa|Y1,…,Yb},

规定非零的[,]关系如下:

degXi=degYi=i, 1≤i≤p,

令t,s∈,是上的线性变换, 在基底上的作用如下:

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

(7)

(8)

(9)

(10)

定理1令λ=(λ1,…,λp)∈Fp, 则

(11)

证明: 直接计算可得⊕关系成立.由式(1)直接验证易得⊇关系成立, 下面证⊆关系也成立.

① 当j<0时, 考虑以下情形.

(i) 当j≤-p时, 因为D(X1)=…=D(Xp)=0,D(Y1)=…=D(Yp)=0, 所以D=0.

(ii) 当-p

ai+2=ai+a2, 3≤i≤p-2.

(12)

在式(1)中令x=X1,y=Yi, 1≤i≤p-1, 可得

bi=b1+(i-1)a1, 1≤i≤p.

(13)

ai+2=ai, 3≤i≤p-j-2.

(14)

在式(1)中令x=X1,y=Yi, 1≤i≤p-1, 可得

bi=bi+1, 1≤i≤p-j-1,D(Yp-j+1)=…=D(Yp)=0.

(15)

ai+1=ai+a1, 3≤i≤p-3.

(16)

ai=ai+1=a2-a1, 3≤i≤p-j-1.

(17)

在式(1)中令x=X2,y=Xi, 3≤i≤p-j-2, 可得式(14).在式(1)中令x=X1,y=Yi, 1≤i≤p-j-1, 可得式(15).当式(17)中的i=5时, 可得a5=a2-a1.当式(14)中的i=3时, 可得a5=a3.由a5=a3=a2-a1知, 该代数的偶部基底被D作用后的系数为式(17).