对《六西格玛管理》稳健参数设计实例分析的探讨

◆俞钟行/ 文

享誉全球的田口方法也叫稳健参数设计，《六西格玛管理》[1]的第7章第6节作了详细介绍，给出两个静态情况下的案例。考虑到目前人所具备的计算资源和能力已决非田口时代的人所能比，本文便用这两个案例的试验设计、方案实施及采集到的实测数据，采用截然不同但更有效的数据分析处理方法，来获得相同或更好的结果。这个方法称之为“因素趋势法”[2]，易于推广应用。

下面分别介绍这两个案例，省略原数据分析部分（用minitab），只给出原所得结果，然后给出基于excel的“因素趋势法”数据分析。

1 原例7-9：塑料袋口封装机封装强度分析

指标：封装强度（望目），为18（kg）。可控因素及水平见表1，用L9（34）试验。

用综合误差法，对每种试验条件选取最不利状况，进行2次试验。试验方案和结果见表2。

表1 可控因素水平表

原例进行数据分析后认为，可以有下列两种选择：（1）如果能容忍与目标18的误差，就选择表2的第2次试验方案为最佳方案，它的两次实测平均值为18.2。这个最佳方案是A1B2C2。（2）若希望得到更精确的结果，则保留B2C2，在A1=60及A2=75之间再进一步做试验。

1.1 画因素趋势图。此法一开始做常规的“极差分析”（这里省略步骤），并画出“因素趋势图”，见图1。

1.2 广义线性回归。图1显示：因素A最强且呈“角”或V状，根据经验插入A的平方项（以AA表示）会有明显效果，实际上插入AA后再用excel的“回归”模块分析，复相关系数就从0.43跃升到0.65，方程p值从0.39骤降为0.11等，说明这个“插项”是正确的。另外从图1看到A和B这两个最强因素的变化趋势明显交叉，它们之间可能有交互作用；B和C这两个因素虽然最弱但变化趋势相反，它们之间也可能有交互作用……究竟判断得对不对，以回归结果为标准。

对于此例，曾选得3种可考虑的方案组合，它们含有的因素分别有①A、B、C、AA、AB；②A、B、C、AA、BC；③B、C、AA、BC。但经过综合比较后，主要比较复相关系数、标准误差、残差和Ru值（用于比较因素项数不同的回归方程）等，认为②是最好的。方案②在excel电子表格的界面如表3所示。这里要说明两点：第一，因为原每个试验条件下作两次试验，为利用excel分析数据方便，按文献[2]p49“把重复的正交试验变为相连的正交试验”，已先把表2的左4列拷贝到表2下，再把表2的Y2列拷贝到Y1列下，并把Y1改为Y。第二，这里已在表2原有的A、B和C三个因素的基础上，加插了“AA”因素项及“BC”因素项。AA的第1行3600等于A的第1行60的平方；BC的第1行32等于B的第1行32与C的第1行1的积，依次类推。

现在用excel的“数据分析”中的“回归”模块做分析，可得结果。其实在前面的分析过程中，已反复应用此模块，为了节约篇幅未显示。其最后结果如图2所示。

表2 试验方案和结果

图1 因素趋势图（自左向右，因素为A、B和C）

表3 方案②在excel电子表格的界面

所得到的结果并非理想，如残差SS对总计SS所占的比例较大，各因素的p值也不够小等。在作者成功应用的几十例“因素趋势法”中，这个例子属于相当不好弄的，这或许跟数据来自“最不利状况…两次试验”有关。但即便如此，还是得到明显优于原例的分析结果。现在从图2最下表的左面两列，得到回归方程：

图2 相对最佳方案的回归结果

1.3 规划求解选优。把excel的“规划求解”设置好上述方程后，先把原例已得到的最优方案A1=60、B2=36、C2=1.25代入方程，得到预测值y=18.26111，和实测值很接近。因规划求解是局部选优，宜多设几个“初始条件”求解。先设初始条件为0，预测得到的目标值18，各因素的最佳值分别为A=60.00121（就是A1）、B=32.00485（就是B1）、C=1.098059（很接近C1）。基本就是表2中的第1次试验。但这个组合似乎并不好，因为从实测结果看，平均值17.5离18有距离，极差3是所有9次试验中最大的。这个组合被选上应跟初始值为0有关，因为选上的各因素水平值都是最靠近0的。

再以实测中最佳组合A1=60、B2=36、C2=1.25为初始条件，根据经验，在本来就比较好的方案附近再选优，容易得到好的方案。实际上，这次规划求解预测得到的目标值为17.99999，各因素的最佳值分别为A=60（就是A1）、B=39.21267（很接近B3）、C=1.268592（很接近C2）。在表2中，A1B3C2这个方案是没有的，但有A1B3C3，即第3次试验。这第3次试验虽然平均值是17.25，离目标值18颇远，但极差为0.5，仅比极差最小的0.4小一点；而极差也等于0.5的第8次试验，其平均值为16.625，距目标值18更远。所以，如果综合评估的话，在原来9次试验里，第3次试验组合就是第二好的。现在以原第一好的组合为初始条件，探索到一个未曾实施过的新组合，就在原第二好的组合附近。这确实是“因素趋势法”带来的希望和成果，值得验证。

表4 可控因素及水平表

2 原例7-10：钛合金磨削工艺参数的优化设计

指标：表面粗糙度Ra（望小），单位：μm。可控因素及水平表见表4，用L9（34）试验。

根据综合误差因子的标准条件和正侧最坏条件，对每种试验条件各测一个数据，有关方案和结果见表5。

根据原例得到的分析结果，最佳试验方案为：A2B1C1D3，即A=160、B=0.03、C=0.82、D=0.00125。下面可看到：因素趋势法用完全不同的分析方法，得出与此完全相同的结论。

表5 试验方案和结果

表6 试验方案和结果（含极差分析和插项）

图3 因素趋势图（自左向右，因素为A、B、C和D）

2.1 画因素趋势图。这里要特别注意的是，表5中各因素的水平值是乱序的，如B是从小到大，D是从大到小。而且即使排好序，同一个因素各个水平之间的间隔大小也不相同，但此例差距不大。

为了正确地画出“因素趋势图”，各因素必须有相同的排序，有的软件在这方面存在错误的。

下面如同原例7-9那样，先对原例7-10的试验方案和结果（表5）按文献[2]p49“把重复的正交试验变为相连的正交试验”做好拷贝，并做“极差分析”，所得结果见表6。为了节约篇幅，图6中的右起第2、第3列为后来插入的项，下面会作解释。而如何在excel电子表格上用sumif等内置函数等做“极差分析”，具体步骤可参见文献[2]p53。接着画出因素趋势图，见图3，具体步骤可参见文献[2]p54～55。需要特别注意的是，必须先对每个因素都按相同顺序（这里都是升序）排好序，然后才能正确地画出因素趋势图。

2.2 广义线性回归。从图3可见，因素B呈“角”或V状，可以插入B的2次项。对照“常见的函数图形”（无论是《统计手册》还是原国家质量工程师职业资格考试的中级教材里都有），觉得因素D的形状有点类似y=aeb/x(b＜0)，于是尝试插入e-1/D这一项。现在就得到表6所示的结果。其中右起第2列第2行的2.1981×10-87，就是e取2.712时e-1/0.005的计算结果。再对表6有关部分用excel“回归”模块分析，得到结果如图4所示。可以说回归的结果里所有指标都很不错。而在插项前，复相关系数仅为0.803，标准误差为0.028295，残差为0.0104，A与B的p值都超过0.48。现在得到回归方程为：

图4 插项后回归分析结果

2.3 规划求解选优。先把原例已得到的最优方案A2=160、B1=0.03、C1=0.82、D3=0.00125代入上面方程，得到预测值y=0.139773。把上述最优方案设为初始条件，再做规划求解，没有发生任何变化！这说明用因素趋势法分析所得结果，与用稳健参数法完全一致。再选择表5中实测结果最好的第6次试验方案为初始条件：A2=160、B3=0.09、C1=0.82、D2=0.0025。实施规划求解前，预测值为0.18144；实施规划求解后，预测值为0.145773，有所改善，同时因素D发生变化，从D2=0.0025变到D3=0.00125。显然，这个局部最优解不如刚才所得的最优方案。

把“因素趋势法”嫁接到“稳健参数设计”上，在这两个案例上都取得好的效果。文献[2]p205～210的“减少产品聚合物含量”也是类似成功案例，以后一定会有更多这样的案例。