浅谈初中几何证明

李欣沅 余安娜

【摘 要】《证明》这一章给数学带来的影响等同于《几何原本》。面对严谨的几何体系，如果教师将教学重心放在几何定理的应用上，而忽视了证明体系中的公理化过程，将是舍本逐末。

【关键词】数学史;几何证明;初中

在中学数学教学中，老师们常常会忽视对八年级上学期（北师大版）《证明》这一章的讲解。多数教师将本章的重心放在了训练几何证明题上，弱化甚至无视本章的实际用意。《证明》这一章在中学数学中的重要地位，还需要从几何证明的历史说起。

一、证明的历史

希腊哲学鼻祖泰勒斯除了在哲学领域赫赫有名，在数学方面也开创了演绎证明的先河，被称为“论证几何学鼻祖”。据哲学家普罗克拉斯所著的《欧几里得<原本>第一卷评注》中讲述，泰勒斯曾率先证明了如下4条命题：（1）圆的直径将圆分成相等的两部分;（2）等腰三角形两底角相等;（3）相交的两直线形成的对顶角相等;（4）如果一个三角形有两个角和一边分别与另一个三角形的对应角和边相等，那么这两个三角形全等。

对于这些显而易见的常识，泰勒斯依然力求通过理论知识进行论证，他所做的演绎证明，确保了这些命题的正确性，揭示了定理之间的内在联系，为数学体系的构建打下了严谨的论证基础。这也标志着人们对客观事物的认识从经验感知上升到了理论证明。

随后的几百年里，数学的发展涌现出了大量的学派，具有代表性的有毕达哥拉斯学派、智人学派、埃利亚学派等。数学家积累了许多几何学的知识，然而不足之处在于，这些知识是零碎的，缺乏系统性，各种公理和证明之间并没有很强的逻辑关系。此时，数学家欧几里得将诸多分散的数学成果进行归纳梳理，编著成《几何原本》一书，全书13卷，包含了5条公理、5条公设、23个定义和467个命题。书中先提出公理、公设和定义，再由简到繁予以证明，架构出了相对完整的数学证明体系，即欧式几何学体系。

二、历史的指引

（一）《几何原本》中的公理化思想

《几何原本》中规定了5条公设，5条公理如下：

公设

L1过两点可以作一条直线。

L2直线可以向两端无限延伸。

L3以定点为圆心及定长的线段为半径可以作圆。

L4凡直角都相等。

L5同一平面内一条直线和另外两条直线相交，若在直线同侧的两个内角之和小于180°，则这两条直线经无限延长后在这一侧一定相交。

公理

L1等于同量的量彼此相等。

L2等量加等量，其和仍相等。

L3等量减等量，其差仍相等。

L4彼此能够重合的物体是全等的。

L5整体大于部分。

公设在平面几何中多表现为作图，公理则涉及不同类型的大小关系。以这些公理和公设作为最初的理论基础，对其他的命题进行证明，经过证明的真命题可以用来证明其他的命题，这种过程被称作“公理化”。以判定三角形全等的“边边边”“角边角”“角角边”“边角边”这四个定理在《几何原本》中的公理化过程为例，《几何原本》中最先出现的是“边角边”（命题L4），然后是“边边边”（命题L8）的证明，最后是“两角及一边” （命题L26）的证明。以命题L26的证明为例（仅选择“角边角”的证明部分）。

命题L26两个三角形如有两个角和一条边对应相等，那么其余的对应边和角都相等。

设：如图1，在△ABC、△DEF中，∠ABC=∠DEF，∠BCA=∠EFD，BC=EF。

求证：AB=DE、AC=DF、∠BAC=∠EDF。

證明：假设AB不等于DE，其中一个比另一个大。假定AB大于DE，BG等于DE;连接GC。

那么，BG=DE，BC=EF，∠GBC=∠DEF;于是△GBA≌△DEF，边GC等于边DF，剩余的角亦相等（命题L4）。

于是：∠GCB=∠DFE，而∠DFE被假设等于∠BCA

∴∠GCB=∠NCA，即大角等于小角，故不能成立。

∴AB与DE是相等的。

又∵BC=EF。∴AB、BC分别等于对应边DE、EF，∠ABC=∠DEF。

∴△ABC≌△DEF（命题L4）。证毕

此证明过程中用到的依据是命题L26之前证明过的，说明《几何原本》中已证的命题可用在后续的证明中。再者，《几何原本》中有关“等边对等角”的证明出现在命题：等腰三角形的两底角相等，将腰延长，与底角形成的两个补角亦相等。该命题的证明选择了命题“边角边”定理，而非“边边边”“两边及一角”（尽管这些判定也可以证明其中的三角形全等），这是因为在该命题之前，得以证明的判定定理只有“边角边”。可见《几何原本》中的“公理化思想”非常严谨。

（二）初中数学教材中的公理化思想

以史为鉴，当今不同版本的初中数学课本的编排也特别注意到了“公理化思想”的渗透。仍以三角形全等的判定方法为例，北师大版教材中各判定方法出现的顺序是“边边边—角边角—角角边—边角边”，人教版教材的顺序是“边边边—边角边—角边角—角角边”，沪教版教材的顺序是“边角边—角边角—角角边—边边边”。

虽然这三个版本教材的编排顺序各有不同，但是都对公理化体系都有详细的说明。以北师大版教材为例，八年级上册第七章第二节《定义与命题》中指出：

本套教科书选用九条基本事实作为证明的出发点和依据，我们已经认识了其中的八条，它们是：

1.两点确定一条直线。

2.两点之间线段最短。

3.同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。

4.两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行。

5.过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行。

6.两边及其夹角分别相等的两个三角形全等。

7.两角及其夹边分别相等的两个三角形全等。

8.三边分别相等的两个三角形全等。

由此可见，教材中的其它定理都是以这八条“基本事实”为基础推导出来的。也正是因为教材将三角形的“边角边”“角边角”及“边边边”作为“基本事实”的存在，故在七年级下册第四章第三节《探索三角形全等的条件》中没有去运用理论证明“边边边”“角边角”“边角边”，而是通过设计实验动手操作，让学生去感受这些“基本事实”。

对于“等边对等角”的证明则出现在八年级下册第一章第一节《等腰三角形》中，课本中给出的证明方法是取等腰三角形底边上的中点，作底边上的中线，利用“边边边”证明全等，进而得到等腰三角形两底角相等。此证明若在《几何原本》中作为命题的证明，是行不通的。有些资料中“边边边”的证明恰好用到了“等边对等角”这一定理，这里的先后顺序若无“公理化”的说明，证明就会陷入用结论证明结论的混乱中。

三、教学的重点

（一）让学生信服演绎证明

学生在学习几何证明时，有些结论是通过测量、折叠等实验操作得出的。例如“内错角相等，两条直线平行”这一发现，就是通过量角器测量内错角大小，然后让学生总结得出的。又如在证明三角形内角和为180°时，教材设计的证明方案为撕下三角形的一个角，然后将其顶点和一边与另一个角的顶点和一边重合摆放，再结合平行线判定定理进行说明。事实上，实验总会有误差，这些操作只能作为辅助我们思考的方法，只有严密的逻辑证明才能让人真正信服。

（二）渗透公理化思想

虽然教材中所选择的“基本事实”与《几何原本》中的有所区别，但都蕴含了公理化思想，强调证明主要是由已知事实或结论来推理未知结论的过程。因此，教师需要引导学生从教材中的9个“基本事实”出发，证明其他命题。例如，先从“等量代换”这一基本事实出发去证明“同角（等角）的补角相等”，再由“同角（等角）的补角相等”出发去证明“对顶角相等”，至此“对顶角相等”可视为定理，再由此定理去证明“内错角相等，两条直线平行”。这样的顺序千万不可颠倒，否者就会出现用结论证明结论的矛盾。学生在本章内容的学习中，必须理解公理化思想，才能为后期的证明打下基础。

（三）在证明过程中体现几何证明体系

学生在书写证明过程时，老师可以试着让学生模仿《几何原本》，将公理和已经證明过的定理标上序号，在每一次证明新的命题时，若需用到相关定理，只能用比其序号小的定理来证明。这种严谨的几何证明态度将使学生的数学证明思路更加清晰，学习会有体系。

公理化思想也能应用到其他学科的学习中。牛顿在《自然哲学之数学原理》一书中，模仿《几何原本》的书写逻辑，先列出了三条有关运动的公理——“牛顿三大定律”，再以此为基础，明了一条又一条结论。这样，学生学到的就不仅是数学本身，更是思维的方法，是人类的智慧。

《证明》这一章，目的就是让学生从实验几何过渡到论证几何，让学生了解所学过的诸多几何命题之间的区别与联系。学生在学习本章之前接触过的几何命题，犹如在《几何原本》出现之前人们积累的大量几何知识，这一章正好呈现出欧几里得编写《几何原本》时思考和形成几何证明体系的过程。由此可见，本章的重要性等同于《几何原本》给数学带来的影响。面对如此严谨的几何体系，如果教师在教学时将重心放在几何定理的应用上，而忽视了证明中的公理化过程，那将是舍本逐末。学生将无法真正理解证明的意义，也错过了接触数学知识根源的机会。

【参考文献】

[1]教材编写组.北师大版数学八年级上册教师用书[M].北京：北京师范大学出版社，2014

[2][古希腊]欧几里得著，邹忌编译.几何原本（全新修订本）[M].重庆：重庆出版集团重庆出版社，2019

[3]汪晓勤，粟小妮.数学史与初中数学教学[M].上海：华东师范大学出版社，2019