高中对数函数易错题分析

刘 月

(江苏省滨海中学 224000)

对数函数是描述某些自然规律的一类重要函数，既是指数函数的反函数，也是高中乃至以后的数学学习中应用极为广泛的重要初等函数之一，是非常重要的.对数函数y=logax(a> 0且a≠ 1) 的图象有两个特征点，一定经过两个点(1,0)和(a,1).但同学们在解答此类函数题时因对函数的相关性质和定义不太熟悉，容易出现以下错误.现一一分析如下：

一、因忽略函数定义域易致错

例1函数f(x)与g(x)=2x互为反函数，则f(4x-x2)的单词递增区间为( ).

A．(- ∞，2] B．[2， + ∞) C．[2，4) D．(0，2)

解析由题意可知f(x)与g(x)=2x互为反函数，所以f(x)=log2x，f(4x-x2)=log2(4x-x2).由4x-x2>0，得0

例2函数y=log2(-x2+2x+3)的单调递减区间为( ).

A．(-∞，3] B．[3，+∞) C．[1，3) D．(3，1)

解析函数的定义域为(-1，3)，原函数可看作由y=log2u，u=-x2+2x+3复合而成，其中函数y=log2u是增函数，u=-x2+2x+3在区间[1，3)上是减函数，所以原函数的单调减区间为[1，3).故此题正确答案为C.

注：对函数的单调性问题，一定注意真数大于0的条件.

二、因忽略复合函数的定义域易致错

例3已知函数y=f(2x)的定义域为[-1，1]，则函数y=f(log2x)的定义域为( ).

解析(1)由2x≤256，得x≤8.由log2x≥1，得x≥2，所以2≤x≤8.

注：复合函数的定义域容易被忽视，要特别注意对应关系，明确定义域的含义.

三、因忽略对底数的讨论易致错

例5函数y=logax(a>0且a≠1)在[2，4]上的最大值与最小值的差是1，则a的值为多少？

解析(1)当a>1时，函数y=logax在[2，4]上是增函数，所以loga4-loga2=1，即loga(4/2)=1,所以a=2.

(2)当0

由(1)(2)可得a=2或a=1/2.

例6已知2loga(x-4)>loga(x-2)，求x的取值范围.

解析由题意可得x>4，原不等式可变为loga(x-4)2>loga(x-2).

当a>1时，函数y=logax为定义域内的增函数，

∴(x-4)2>x-2，x>4，可得x>6.

当0

∴(x-4)24，可得4

综上所述，当a>1时，x的取值范围为(6，+∞)；

当0

注:底数的范围不同决定了函数的单调性不同，所以一定要对底数进行讨论.

四、因忽略分段函数的定义域分界点易致错

例7已知f(x)=(3a-1)x+4a(x<1)，logax(x≥1)都是减函数且恒有f(x)>logax，那么a的取值范围是多少？

解析∵g(x)=logax(x≥1)是减函数，

∴0

∵f(x)=(3a-1)x+4a(x<1)为减函数，

∴3a-1<0,∴a<1/3.

又∵f(x)=(3a-1)x+4a>logax恒成立,

∴(3a-1)×1+4a≥0.∴a≥1/7.∴a∈[1/7，1/3).

例8若f(x)=(3-a)x-4a(x≤1)，log5ax(x>1)是增函数，且恒有f(x)

解析∵f(x)=(3-a)x-4a(x≤1)，log5ax(x>1)是增函数，

∴得知3-a>0，5a>1，log5a1≥3-5a,

∴a∈[3/5，3).

注：函数单调性的一致性，要求端点值的大小关系也是确定的.

总之，同学们在解答对数函数题时，一定要从对数函数概念和定义入手，充分利用对数函数图象的特征点来分析，正确迅速地找到解题途径，从而得出正确答案，这对激发学习兴趣，提高数学素养也有重要意义.