重温直线运动 探析 -t图像

杨秀润

(响水县教师发展中心，江苏 盐城 224600)

能让莘莘学子感觉物理简单易学是我们的教学追求.笔者根据教学现状，结合教学经验，筛选学生的易错点、易混点和疑难点，罗列教师的易漏点、易偏点和薄弱点，反复思量、整合资源、架构体系，旨在让知识更有价值、让教育更接地气、让理念深入人心，引导学生学会鉴别直线运动、理解运动的描述和体验技能的提高.

1 知识温故 查漏补缺

常规知识不必赘述，这里温故6个问题.

问题1.下列情景中物体做的是直线运动吗？

(1) 如图1所示，从空中某位置自由落下的小球，压缩固定在水平地面上的轻弹簧，反弹，再落下，再反弹，……小球始终在同一竖直方向上.

(2) 如图2所示，在空中某高度水平匀速飞行的飞机上自由释放的炮弹，不计空气阻力.

图1 小球

图2 炮弹

这样的问题，在学生中经常生成两种截然相反的答案，在课堂上经常一石激起千层浪，辩论、疑惑、探讨丰富多彩.典型观点有：“小球做曲线运动.因为它每到最低点或最高点速度方向都改变了360°”，“小球做直线运动.因为它的运动轨迹始终在同一直线上”，“炮弹做曲线运动.因为它离开飞机后的运动轨迹是抛物线”，“炮弹做直线运动.因为它离开飞机后始终位于飞机正下方”等.

要厘清这些问题，不妨先探讨问题2.

问题2.鉴别直线运动或曲线运动的依据是什么？

这个问题的答案容易达成共识，应该是物体的运动轨迹.轨迹是直线则为直线运动，是曲线则为曲线运动.

此时，我们可以分析图1所示的问题.小球运动轨迹是一个线段，始终在同一直线上.从物理意义上讲，我们认为小球做的是直线运动，默认以地面为参考系.然而，有学生认为“小球每到最低点或最高点速度方向都改变了360°”怎么办？这个问题很好办，其实小球每次到最低点或最高点的瞬时速度为0，即此时它没有速度，言下之意是此时的速度方向和大小都没了，自然就不存在方向改变的问题.

问题3.物体在空间的运动轨迹是否具有相对性？

有学生认为“物体在空间的运动轨迹是客观存在的，它的形状不会随参考系的选择而改变”.

图3 重物

这里，我们引用人教版高中物理教科书物理必修1“第1章第1节参考系”的一幅插图来说明.[1]如图3所示，在空中某高度水平匀速飞行的飞机上，自由释放一个重物，拍摄他们在不同位置的照片，叠加观察.飞机上的观察者看到重物几乎做直线运动(以飞机为参考系)， 地面上的观察者看到重物做曲线运动(以地面为参考系).可见，物体在空间的运动轨迹具有相对性，同一物体运动轨迹的形状也会随参考系不同而不同.

因此，图2所示的问题，准确的说，以飞机为参考系炮弹做直线运动，以地面为参考系炮弹做曲线运动.

问题4.描述直线运动有哪些方法？

图4 运动的描述

文字是首先考虑的.但是，仅靠文字，随便描述一个物理问题可能就需要长篇大论，内容烦冗.所以还有公式、图像等方法.公式描述，就是全世界统一规定一套物理符号，采用数学描述，简洁明了.图像描述，形象直观，对应精准，一图胜千言.当然，实践中这三者经常被联合运用，相辅相成，其关系如图4所示.

例如，要描述一个做匀变速直线运动物体的速度与时间的关系，引入公式v=v0+at，其v-t图像是一次函数关系，当然其取值范围会根据实际意义有所限制.

问题5.描述直线运动为什么要规定“正方向”？

有学生说“我就不喜欢规定正方向，啰嗦”.

这种说法暴露了该学生尚未顿悟.其实，规定“正方向”是我们简化问题的一种智慧.描述直线运动需要多个矢量，而矢量运算遵守平行四边形定则，也就是“1+1”不一定等于“2”，要看方向是什么关系.换言之，矢量的方向和大小均要参与运算.而标量运算遵守的是代数运算法则，“1+1” 肯定等于“2”. 描述直线运动，既有标量又有矢量，如何简化描述呢？描述直线运动几个矢量的方向均只有互为相反的两种可能，只要在矢量大小数据前贴上“+”“-”标签表示方向，就可以将矢量运算转化为代数运算，等式中同时有多个矢量和标量也无妨，运算结果的“+”“-”继续反馈矢量的方向，有效简化了问题的描述.其关系如图5所示.

图5 运算法则

当然，规定“正方向”实际是规定“正负方向”.因为，一旦规定了“正方向”，其“负方向”也随之被规定.为了简洁，我们描述为规定“正方向”即可.

问题6.解读直线运动图像需要注意哪些关键信息？

首先是坐标系，注意坐标轴、原点、标度等，注意坐标轴表示什么物理量，原点是否从0开始，标度的数值排布规律及其单位.其次是图像，注意其形状、斜率、交点、“面积”等，结合相关知识理解其物理意义，譬如v-t图像中图像与横轴围成的“面积”表示位移.

2 因势利导 实践知新

探讨3道例题，期待学生在不知不觉中体验技能的提高.其中，“例1”的原型来自高中物理教科书，“例2”进一步研究如何用v-t图像描述上述“问题1”中小球的运动情况.

图6 例1图

例1.图6中的3条直线描述了甲、乙、丙3个物体的运动，下列说法正确的是

(A) 3个物体均做匀速运动.

完善基础建设，促进生态发展是落实智慧城市的重要工作，由于城乡规划工作涉及面积较广，人口和社会结构的复杂性导致部分区域的基础设备和公共设施缺失，智慧城市背景下，既要重视该区域的基础设备与公共设施的完善，还要注重绿色生态，提高目标区域的宜居性。做好该工作需从以下几点着手：

(B) 乙和丙在t=10 s时相遇.

(C) 3个物体中甲的加速度最小.

(D) 在0～10 s内3个物体中乙的位移最大.

解析：此题考查学生解读直线运动图像的基本功.如果认为(A)(B)选项都正确，说明你把坐标轴看错了.这是v-t图像，而非x-t图像.3个物体均做匀变速直线运动，图像的交点只能显示速度相等，并非相遇.故(A)(B)选项均不对.

例2.如图1所示，从空中某位置自由落下的小球，压缩固定在水平地面上的轻弹簧，反弹，再落下，再反弹，……小球始终在同一竖直方向上.试用v-t图像大致描述小球的运动情况.

此题考查匀变速直线运动、胡克定律、牛顿第二定律等知识点，对运动的描述要求较高.不少同学认为“小球在下落过程中，一旦接触弹簧则立刻开始减速.”这是典型的物理观念错误，需要认真纠正.

图7 小球

图8 小球的运动图像

图9

例3.如图9所示，在光滑绝缘、足够大的水平桌面上，放置两个质量均为m、相距为L的小球，其中A球带正电，B球不带电.今在桌面上方突然加上一个平行于AB连线的水平方向匀强电场(图中未画出)，若两球每次碰撞均无电荷转移，每次碰撞前后两球恰好实现速度交换，碰撞时间不计.试求：从加上电场到第n次(n>2)碰撞时A球的位移.[2]

此题综合考查学生的分析推理能力，需要较高的科学探究素养.若用解析法，根据运动学公式、动量定理、数学归纳等知识求解，其篇幅长、易出错(读者可以尝试)；若抓住“速度交换”“无电荷转移”等题眼，建立合适的v-t图像，问题将迎刃而解，答案便由图可知！

易知，A球每次碰撞前后的加速度相同，它的v-t图像斜率就相同，其图像相互平行；B球每次碰撞后均以“交换”来的速度做匀速运动，直到下一次碰撞，其图像都平行于t轴.

解析：以AB连线方向为正方向、A球初始位置为坐标原点，从突然加上匀强电场时为计时起点，建立直角坐标系，同时画出两球的v-t图像，如图10所示.

图10 两球的运动图像

A球先做初速度为0的匀加速直线运动，设经时间t1，运动位移为x1=L时与B球发生第1次碰撞，位移x1=L为t1时间内A球图像与t轴围成的“三角形面积”；碰撞后B球以“交换”来的速度做匀速运动，A球则再次做初速度为0的匀加速直线运动，设经时间t2、运动位移为x2时与B球发生第2次碰撞，则x2为图中t1～t2时间内A球图像与t轴围成的“三角形面积”，等于B球图像与t轴围成的“矩形面积”；碰撞后B球以再次“交换”来的速度做匀速运动，A球则做以“交换”后的速度(等于碰撞前B球的速度)为初速度的匀加速直线运动，设经时间t3、运动位移为x3时与B球发生第3次碰撞，则x3为中t2～t3时间内A球图像与t轴围成的“梯形面积”，等于B球图像与t轴围成的“矩形面积”.

有几何关系可得x1=L，x2=4L，x3=8L，x4=12L，…，xn=4(n-1)L，其中n=2，3，4，…(当n=1时x1=L).

从加上电场到第n次碰撞时A球的位移为

xAN=x1+x2+x3+x4+…+xn=L+4L+8L+12L+…+4(n-1)L=(2n2-2n+1)L.

(n=2，3，4，…)

3 学以致用 内化提升

图11

这里设计3道习题，供同学们学以致用、内化提升.

习题1.如图11所示，物体以初速度v0沿粗糙固定的斜面上滑，达到最高点后返回出发点.为了描述该过程，下列v-t图像正确的是

点拨：答案：(C).观察4个选项的图像，均以初速度v0的方向为正方向，以出发点为坐标原点.注意，物体下滑过程中的加速度小于上滑过程中的加速度，则其图像斜率较小；下滑的速度方向相反，则其图像进入第四象限(v的负半轴)；下滑与上滑的距离相等，则其图像与t轴围成的两个三角形“面积”大小相等，位移正负抵消，全程合位移为0.

图12

习题2.如图12所示，一小球从空中某位置自由落下，撞击水平地面后以较小速率反弹，上升，下落，再反弹，……忽略小球与地面的接触时间，不计空气阻力，试用v-t图像大致描述小球的运动.

答案：以竖直向下为正方向，释放点为坐标原点, 如图13所示.或者，以竖直向上为正方向，释放点为坐标原点，如图14所示.

图13 小球的运动图像

图14 小球的运动图像

点拨：图13或图14任意画出一幅即可.注意，小球的机械能损失于它与地面的碰撞过程中，故反弹高度一次比一次小；空气阻力不计，则每次竖直上抛的位移与自由下落的位移大小相等、方向相反.在其v-t图像上需要定性显示出来.

图15

习题3.如图15所示，两个完全相同的小球A和B，用轻弹簧连接，并用细线悬挂于足够高的O点，处于静止.今突然烧断细线，不计空气阻力，以地面为参考系，试用v-t图像大致描述两个小球的运动.

答案：以地面为参考系，以球的初位置为坐标原点，两球运动的v-t图像如图16所示.

点拨：此题抓住一些关键点的运动关系，通过描点、连线，能大致画出两球运动的v-t图像即可.由受力分析、运动分析等基础知识容易知道，烧断细线瞬间(t=0时刻)，A球的加速度为2g竖直向下，B球的加速度为0，弹簧处于拉伸状态.随着两球下落，弹簧伸长量逐渐变小，A球做加速度由2g逐渐减小的加速运动，B球做加速度由0逐渐增大的加速运动；当弹簧第一次恢复原长时(设为t1时刻)，两球的加速度均为g，此时两者图像的斜率平行，但A球速度大于B球速度，弹簧开始被压缩，A球继续做加速度逐渐减小的加速运动，B球继续做加速度逐渐增大的加速运动；当弹簧被压缩到最短时(设为t2时刻)，两球瞬时速度为相等，A球的加速度0，B球的加速度为2g竖直向下.此后，弹簧压缩量逐渐变小，A球做加速度由0逐渐增大的加速运动，B球做加速度由2g逐渐减小的加速运动；当弹簧第2次恢复原长时(设为t3时刻)，两球的加速度均为g，两者图像的斜率再次平行，但A球速度小于B球速度，弹簧开始被拉伸，A球继续做加速度逐渐增大的加速运动，B球继续做加速度逐渐减小的加速运动；当弹簧被拉伸到最长时(设为t4时刻)，两球瞬时速度为相等，A球的加速度2g竖直向下，B球的加速度为0，t4时间内两球下落的位移相等，弹簧恢复到初始状态，弹簧完成一个周期.然后，进入下一个周期的运动，……纵观全局，若把小球A和B看成一个整体，其(质心)运动是自由落体运动，两者图像交点的连线斜率即为重力加速度g.

此题若要精准画图，涉及矢量合成，要求较高.两球的运动可用方程分别描述为vA=vA0sinωt+gt和vB=-vB0sinωt+gt，其v-t图像如图16所示，注意两球图像并不关于v=gt线对称.当然，若以其中一个小球为参考系，则另一个小球做简谐运动，其v-t图像就是正弦函数图像了.

新时代的物理教育，从教学策划到资源整合，从教学设计到课堂实操，从教学理念到素养落实，每个细节都呼唤规范呈现，目的是深入浅出、寓教于乐、提升素养，让学生茅塞顿开、学有所获，让教师眼前一亮、受到启发.