探究度量空间的教学

贾利东　王慧

摘 要 度量空间是泛函分析中学习的第一个抽象空间，为进一步学习更一般的Banach空间、Hilbert空间奠定了重要的基础。通过对”度量空间”教学设计的阐述，使得初学者能体会到泛函分析的高度概括性、应用的广泛性以及表述形式的简洁性。

关键词 度量空间 教学

中图分类号：TP391文献标识码：A

0引言

为了给点集概念一个空间框架，法国数学家弗雷歇首次提出度量空间的定义，奠定了抽象空间的理论。对于初学者突然面对这么抽象的概念，很自然的会思考：度量空间的产生背景、与其它概念的关系以及有何应用等问题？通过本文对度量空间教学的设计，使更多学生能体会到度量空间的定义是合情合理的、非常自然的。

1教学设计

1.1来源

（1）人们在处理物理系统的状态时可以通过观测决定，而这些观测值总是近似的，人们常常考虑近似值逼近准确值的任意程度，这反映在数学上就是”极限”。

（2）我们都知道微积分的重要性是不言而喻的，然而连续、微分、积分、级数等都是由”极限”定义的。

（3）极限概念尽然如此重要，我们希望把这一概念推广到更一般的空间上，为此，我们下面回顾数列极限定义。

（4）数列：，用语言描述为：

1.2在集合上定义距离

（1）我们把极限概念移植到一般空间上的前提是：如何把距离的概念定义在一般集合上。我们首先回顾在平面上两点之间距离的定义。

（2）设，是平面上的两点：，，两点间的距离为

即是从到上的一个映射，其中;

同时上面的距离满足4条基本性质：

① ，即两点之间的距离大于零;

② ，即任意一点到其自身的距离为零;

③ ，即从到的距离等于从到的距离;

④ ，即两点之间线段最短。

（3）在一般集合X上定义距离。

① 是从到上的一個映射，其中;

② 满足平面距离的四条基本性质。

设计意图：培养学生如何从一个特殊问题经过抽象化得到一般问题的这种方法，在数学上叫做”得意忘形”法。

2度量空间的定义

设是非空集合，对的任意两点，均有唯一一个非负实数与之对应，且满足：

设计意图：让学生知道：一是证明度量空间关键是证明三角不等式;二是例1说明在同一个集合上可以定义不同的距离使之成为不同的度量空间;例2说明对于任意非空集合都可以定义度量空间，并且例2经常用于举反例;例3是无穷维的度量空间。

4结束语

学习完度量空间的体会是：将具体问题抽象化是有价值的.通过以下几点加以说明：（1）是一个具体问题被纳入抽象空间的框架之内，原本很复杂的对象（函数，数列，矩阵，变换，曲线，曲面）现在不过是空间中一个点而已。无论这个点内部原来有多大的复杂性，都一概被抹去，在今后的研究中不再起任何作用，这样导致问题得到简化。（2）是通过与欧几里得的对比，抽象空间能获得一定的直观形象，因此在抽象空间中进行的逻辑论证更好让人理解.经过抽象化处理的问题往往更直观，这也是泛函分析的奥妙所在。（3）是抽象化方法用高度概括的形式统一了外观上极不相同的问题，从而沟通了一些初看起来互不相关的领域，这就为获取新知识开辟了更多的渠道。

参考文献

[1] 胡适耕.泛函分析[M].高等教育出版社，2013.

[2] 孙炯等.泛函分析[M].高等教育出版社，2010.

[3] 张恭庆等.泛函分析讲义[M].北京：北京大学出版社，2018.