“由沙漏想到的……”教学设计

霍灿斌

摘   要：联想是由一事物想到另一事物的心理過程。学生的数学学习在螺旋上升中逐渐展开，符合学生的认知特点，但这样的学习使学生对知识的掌握是分散的、割裂的、碎片化的，不利于学生构建系统的知识结构，也不能深入发现知识的内在联系。通过探讨圆柱与圆锥体积之间的关系这一模型，让学生学会用运动变化的观点看待问题，发现“变中有不变”的背后的本质，然后让学生展开类比联想，进一步体会数学知识之间的内在联系，从而让学生的深度学习发生。

关键词：小学数学;类比联想;数学思想;深度学习

中图分类号：G623.5    文献标识码：A    文章编号：1009-010X（2020）19/22-0107-04

【教学设计】

教学内容：人教版第十二册  圆柱与圆锥体积扩展课

教学目标：

1.复习巩固圆柱与圆锥的有关知识，同时以此为模型让学生展开联想，复习前面所学知识;

2.培养学生“类比、联想、归纳”的意识和能力，实现知识从“点状化”到“结构化”的转变;

3.善于发现生活中数学的问题，学会用数学的眼光看世界，感受数学的“内在美”。

教学重点：学生猜想、验证、归纳、推理、联想能力的培养，深度思考学习问题的能力，体会数学的“变中有不变”的思想。

教学难点：通过对知识进行整理，提高学生的自主探究知识与概括知识的能力。

【教学过程】

一、谈话引入

师：同学们认识老师手上拿的这是什么吗？（沙漏）

然后ppt展示几个不同形状的沙漏。

师：同学们知道古人是用它来干什么的吗？（计时）老师前几天去饭店吃饭，在餐桌上看到它后，想到这里面不就有我们刚学的有关圆柱和圆锥的知识吗？回来后就整理一下思路， 然后就有了今天的这一节课，看看老师由这个沙漏想到了什么。（板书课题：由沙漏想到的……）

【设计意图】《义务教育数学课程标准》明确指出：“数学教学，要紧密联系学生的生活实际，从学生的生活经验和已有知识出发，创设生动有趣的情境。”逐步培养学生“用数学的眼光看世界，用数学的思维思考世界，用数学的语言表达世界”这一核心素养。

二、联想之初

【想一想】

师：我们把刚才的沙漏抽象出来，看看这个圆柱里面，上下一样的两个圆锥体积和占整个圆柱体积的多少呢（图1）？请同学们说一说自己的猜想。

【设计意图】这里没有数据支撑，主要考察学生分析问题的能力，让学生充分去表达，同时训练学生的语言表达能力。

【算一算】

师：刚才的猜想是否正确呢？有的同学还是有疑问，现在我们用事实来说话，我们把它给附上数，如果要附上数，应该需要哪些数据呢？也就是说题目需要知道哪些条件呢？

（让学生给题目附上数据，并说一下自己的想法）

教师给出一组数（图2），让同学们独立计算，验证刚才的猜想。

学生展示自己的计算结果，集体核对。

【设计意图】一是复习圆柱与圆锥体积的计算方法。二是把抽象内容具体化，让学生进一步印证结论的正确性。

三、深入联想

【猜一猜】

师：我们沿着圆柱的中心高线调整上下两个圆锥的高度（图3），同学们大胆的猜想一下，看看现在上下两个圆锥体积和与圆柱体积有什么关系？

师：现在请小组内讨论一下，看哪些条件变了，哪些条件没变，说出你的猜想。然后进行推理、验证，并说出你验证的方法和理由，每组选出一个代表来展示你们小组讨论的结果和验证的方法。

让学生充分合作、探究，教师巡视指导，然后找几组不同思路的验证方法展示一下。

【设计意图】这个问题由于又没有了数据作为支撑，学生不会用字母表示图中的两个圆锥的高，学生的思维会受阻，比较困难，部分学生难于独立解决，所以让学生组内先讨论、交流，旨在让学生在合作中学会解决问题的方法、学会思考。

【总一总】

教师用几何画板动画演示，我们继续改变上面小圆锥的高（图4），猜一猜上下两个圆锥的体积和与圆柱的体积之间的关系变了吗？

师：从上面这个例子中你发现了什么？

师总结：刚才大家通过大胆猜想小心验证，经历了一次美妙的数学之旅，学会用运动变化的眼光看问题，体会到了“变中有不变”这一数学思想。（板书：变中有不变）

【设计意图】用工具去验证刚才猜想的正确性，在心理上接受这一结论的同时，让学生体会数学“变中有不变”这一数学思想，同时感受数学的“内在美”。

四、拓展联想

拓展1

师：由刚才的那个模型，我们体会到了数学中“变中有不变”这一思想，那同学们想想我们前面所学内容还有类似的例子吗？

师：看来这样的例子不好找，那老师再举一个例子（图5）。（出示ppt），这个例子大家肯定不陌生，说一说大圆的周长与3个小圆的周长关系？你能来说明一下理由吗？（让组内学生讨论交流，然后汇报推理过程）

板书：C=πd1+πd2+πd3

=π（d1+d2+d3）

=πd

【设计意图】南京大学哲学系教授、博士生导师郑毓信指出“数学基础知识的教学，不应求全，而应求联。”更进一步地，我们在教学中应当很好地突出这样一个关键字：“联”！这个问题学生并不陌生，是在学习圆的周长时的一个扩展题目，结论学生也都记住了。但是这里笔者主要让学生体会这个例子和刚才上面的例子在思考问题的方法上相同点，看到事物背后的本质相同点，发现知识的内在联系。

拓展2

师：说一说图6阴影部分的面积是整个平行四边形面积的多少？如果调整“交点”的位置那么图中阴影部分的面积占整个平行四边形面积的多少呢？写出你的推理过程。

师：大家仔细看看图10，是不是还有相同的结论呢？变中就一定有不变吗？请同学们讨论一下，看看哪些变了，哪些没变？

【设计意图】进一步归纳小学数学中“变中有不变”的例子，有了上面的两个思考问题方法做基础，学生在证明这个问题时，方法不是什么问题了。在总结出“变中有不变”的思想方法后，但不能让学生一成不变，要在变中求新、变中求进、变中突破，而固化孩子们的思维，应用发展变化的眼光看问题。

五、放飞联想

经过刚才几个例子我们现在再回过头来看看第一个模型，如果我们这次不在圆柱的中心高线上调整上下两个圆锥的交点，而是在圆柱的内部任意调整交点的位置（图11），那么刚才的结论还成立吗？说说你是怎么想的？

【设计意图】这个问题不需要严格的逻辑证明，只要学生能用学到的方法去思考问题，言之有理即可，同时让学生更深刻的体会数学的内在美。变中求新、变中求进、变中突破。

六、课堂小结

师：本节课我们总结了通过这堂课，谈谈你有什么收获？还有什么困惑？

【设计意图】让学生回顾整节课的学习历程，梳理知识点，学习收获，感悟数学思想方法的魅力。

七、点评

本课的教学设计巧妙、独具匠心，而且设计的内容在小学数学的学习中是非常有必要的。

（一）问题情境创设，构思巧妙

教师从一个小小的沙漏而引发探讨圆柱和圆锥体积之间的关系，很自然的创设了一个问题情境。有利于学生解决数学内容的高度抽象性和小学生思维的个体形象性之间的矛盾。

（二）创造性利用教材

教材为学生的学习活动提供了基本线索，是实现课程目标、实施教学的重要资源。本课联系学生的生活实际，从已有的经验出发，重视学生的体验。霍老师根据教学目标，把刚刚学到的圆柱和圆锥的体积、以前学过的圆的周长、平行四边形的面积、三角形的面积等等知识都放在这节课中，使学生通过观察、猜测、实验、推理等活动发现图形的规律，通过小组合作、讨论，从不同的角度找到了图形的规律，体会数学中“变中有不变”这一重要思想。

（三）充分让学生自主探索、合作交流

心理学研究表明，学生不经过个人亲身探索和发现的过程，就想把已知的真理变成学生的真知是不可能的。本节课的教学过程中，力求体现学生是学习的主体，从根本上改变学生的学习方式，尽量发挥学生的能动性，切实让每一个学生经历发现规律的过程。另外，在发现规律之后，给学生机会创造规律，体现了数学和生活的紧密联系，同时培养了学生的创新意识。

（四）在“变与不变”中探究规律

课程改革实施以来，不同版本的教科书都对探索规律的内容进行了合理选择和精心设计。数学教材中的一些规律、性质或公式，几乎都可以通过“变与不变”思想方法来引导学生进行探究、发现。“变与不变”是数学学习与日常生活中分析问题、解决问题的一种常用的思想方法。教师要以学生为本，根据学生的发展需要，从整体、本质上理解教材，注重挖掘教材中蕴含的这一教学资源，科学、灵活地设计教学，从而提高学生的思維品质和数学素养。

世界上的事物是千变万化的，从数学的角度来看，变化中又蕴含着变与不变的因素。其中，如何从“不变中抓变”“变中抓不变”是我们解决问题的突破口，也是重要的数学思想方法之一。小学数学教材中蕴含着许多变与不变的素材，教师钻研教材时应深入挖掘，并在教学之中无形渗透，有助于培养学生求同又求异的思维品质，帮助学生解决繁琐复杂的问题，提高学生的数学素养。所以说这节课设计的教学内容在小学数学教学中是非常有必要的，也是非常重要的。

（点评人：沧州市东光县教研室 刘志强）