基于MATLAB 的超导体异质结构隧穿效应模拟实验的设计与实践

李 红，杨新建，徐志杰，刘 冰，朱化凤

（中国石油大学（华东） 理学院，山东 青岛 266580）

本科生参与科学研究不仅可以在实践中学习科学研究的方法，对未来的职业选择和发展也具有积极的指导作用。在实验教学中引入研究型教学项目，是让本科生参与科研的重要方式，也是本科院校培养创新型人才的有效途径[1-3]。

隧穿效应作为一种特有的量子现象，不仅是物理学中一个非常重要的概念，而且在核工业、电子工业、纳米科技等领域有着广泛的应用[4]。对其进行研究可以加深学生对微观粒子波动性的认识，激发他们的探索欲和学习热情，但目前的大学物理实验教学中并没有与之对应的实验项目。笔者结合多年的教学和科研实践，设计了“基于 MATLAB 的超导体异质结构隧穿效应”的研究型模拟实验教学项目。通过该系列模拟实验，学生可以自主设计含有超导体的异质结构，运用 MATLAB 编程实现对异质结构隧穿电流和电导等输运性质的研究。教学内容涉及超导体基本理论、量子力学重要原理以及计算机编程和模拟方法，对提高学生创新实践能力、培养学生创新思维、激发学生从事科学研究的兴趣具有促进作用。

1 实验设计思路

计算机模拟实验是从事科学研究的一种重要方法，也是近年来辅助教学的一种重要手段[5-7]。本实验基于 MATLAB 编程软件，最终实现对微观粒子隧穿效应现象的计算机模拟。首先让学生自主查阅超导体异质结构输运性质研究的相关文献，了解基本的研究思路和方法。在此基础上，教师详细介绍输运性质研究涉及的基本理论和概念，引导学生设计出合理的超导体异质结构模型。然后学生与教师共同探讨，根据散射矩阵理论，构建出模型的哈密顿量和满足的能量方程。最后，学生自行运用 MATLAB 编程求解得到描述隧穿粒子波函数的各种反射幅、透射幅以及系统的隧穿电导和电流表达式；借助 MATLAB 作图模拟出不同参数情况下的各种隧穿图像；并结合文献的实验数据进行理论分析和讨论。

2 模拟实验设计

2.1 结构模型构建

20 世纪 60 年代初期，Josephson 理论预言了Josephson 效应，Giaever 实验发现了超导体中的准粒子隧穿效应, 此后基于超导隧穿效应的实验研究开展起来[8-10]。研究超导体隧穿效应的典型模型是图 1 的“三明治”结构，常被称作“隧道结”。其中的M 和N 可以是正常金属、铁磁金属或者半导体，以及目前的热点材料石墨烯、硅烯等。M 和N 之间的超导体可以选择s-波、d-波、p-波、f-波等各种配对形式。参与该实验项目的学生可以根据自己的调研情况和研究兴趣，选择材料进行结构设计。本文以正常金属硅烯基/铁磁 d-波超导隧道结的输运性质研究为例开展模拟实验。

图1 超导隧道结一般结构模型

2.2 理论模型构建

目前研究超导隧道结常用的理论模型是 Blonder等[11]于 1982 年，在散射理论的基础上建立的适用于正常金属/超导体点接触的隧穿电流公式。基于该理论，正常金属硅烯基/铁磁 d-波超导隧道结满足 DBdG（Dirac- Bogoliubov-de Gennes）方程[12]：

其中，H0是单粒子的哈密顿量，η= 1和-1 分别对应于布里渊区费米面上的Dirac 点K 和K′，h是铁磁d-波超导体中的交换能，是隧穿粒子的波函数，E是隧穿粒子的激发能，Δ是d-波超导体中的配对势。

正常金属/铁磁 d-波超导隧道结系统中超导体和正常金属中载流子的波函数分别为：

其中，te、th和re、rh分别表示电子和空穴的透射系数、反射系数，kF是费米波矢，θ是正常金属层中粒子的隧穿角，φ+和φ-是超导体中电子型库伯对和空穴型库伯对的相位因子，u+和u-是电子型库伯对的相干因子，ν+和ν-是空穴型库伯对的相干因子，超导体中的相位因子和相干因子分别满足（4）式中其中λSO是自旋轨道耦合能，l是晶格常数，Ez是外加电场的能量。

2.3 编程计算方法

式（3）和（4）中的所有系数需要学生利用MATLAB 编写程序，通过边界条件求出。正常金属硅烯基/铁磁d-波超导隧道结系统的电导表达式为：

其中，G是隧道结系统的电导，GN是硅烯的弹道电导，分别对应自旋向上和向下的粒子。

3 计算结果模拟与分析

3.1 反射幅和透射幅分析

隧穿现象能否发生及发生的程度如何，取决于研究系统中各区域中的粒子的反射幅和透射幅。超导体存在的异质结构中，一个很重要的物理过程就是Andreev 反射[13]。该过程是一个双粒子的透射过程，对比图2 和3 可以看出，Andreev 反射对超导能隙的变化非常敏感。通过对隧穿电子和空穴的正常发射和Andreev 反射幅度的研究，不仅可以直观展示隧穿效应的决定因素，而且可以使学生通过研究确定这些因素的影响程度，为设计相关的电子器件积累模拟实验数据。

3.2 隧穿电导分析

隧穿电导是量子隧穿现象的直观体现，对该物理量的研究可以加深学生对微观粒子隧穿效应的形象理解。对比图3 和4 可以看出，超导隧道结隧穿电导的变化趋势与Andreev 反射相同。这不仅证实了Andreev反射对隧穿电流的重要贡献，也揭示了该过程的双粒子实质。通过对不同参数下隧穿电导的模拟，学生对隧穿现象发生的物理机制有了更深入的了解，为后续的科学研究奠定了基础。

图2 在不同α下正常反射幅随外加偏压的变化

图3 在不同α下Andreev 反射幅随外加偏压的变化

图4 归一化电导在不同α下随外加偏压的变化

4 结语

通过“基于 MATLAB 的超导体异质结构隧穿效应”这一研究型模拟实验，使学生从最基本的文献调研、了解前沿动态、掌握基础理论知识开始，建立合理的结构模型和理论模型，再在此基础上编写程序，最后实现对所研究问题的计算机模拟，并加以讨论。学生在掌握利用计算机模拟从事科学研究的基本方法的同时，若对学科前沿调研得足够充分，就能够在前期工作基础上提出自己的设想，建立新的结构和理论模型，从事真正意义上的创新活动。目前已有学生在国内和国际知名期刊，如《低温物理学报》《低温与超导》《Physica C》等上发表了基于该实验教学项目的文章。

总之，该实验项目既丰富了大学物理实验教学，又将教师的科学研究工作与对学生的培养巧妙地融合在一起，是对大学生参与科学研究的有益探索。