两条椭圆曲线的整点问题

冉银霞

(陇南师范高等专科学校数信学院，成县742500)

由于椭圆曲线理论集数论、代数、几何和复变函数论为一体，具有很强的实用性和应用性。从丢番图方程到密码学，再到理论物理中的弦理论，都可以看到它的身影。尤其椭圆曲线理论在关于素性检测、大数分解以及离散对数中的算法使得椭圆曲线密码(ECC)在近几十年里成为密码领域流行的标准术语，并得到了十分广泛的应用。著名的费马大定理应用了大量极为深奥的椭圆曲线理论而彻底解决。二十一世纪七个千禧难题之一的BSD 猜想，就是与椭圆曲线有理点相关的极具挑战性的难题。同余数问题的本质也与椭圆曲线的算术紧密相关。特别地，其本质是椭圆曲线的BSD 猜想和Goldfeld猜想[1，2]。确定椭圆曲线的整点问题就显得尤为重要，也是数论和算术代数几何中的重要问题[3-5]。早在1987年，Zagier询问椭圆曲线y2＝x3＋27x-62的最大整数点是否为28844402，154914585540[6]。祝辉林等使用代数数论和p-adic分析，找到了该椭圆曲线仅有三对整数点，且最大的整数点正如Zagier所说[7]。吴华明[8]利用初等方法完成了该结论的简洁证明。由于这是一类典型的秩等于1且有大整数点的一种椭圆曲线，所以该问题对于讨论椭圆曲线的算术性质有着重要的意义。因此，椭圆曲线整点问题对于在不同情况下构造合适的椭圆曲线函数具有重要的理论意义及应用前景。然而寻找其较大正整数解非常困难，其耗费的时间可以用正整数的指数幂来计算。这样以来针对不同的椭圆曲线解决的方法也有待探讨与提高。

目前，一类椭圆曲线y2＝(x＋a)(x2－ax＋p)，整点问题，研究结果有:

(1)a＝－2时，已找到对应椭圆曲线所有整点的p 值如下[8-14]:p＝7，15，18，23，31，43，139:m＝4p－8＝q＋1，或m ＝2p－8＝q＋1且p ≢1 (mod8) 时，已经找到对应椭圆曲线全部整数点[15]；

(2)a＝2时，已找到对应椭圆曲线所有整点的p 值如下[16-20]:p＝7，15，27，31，43；

(3)a＝±2时，已找到当p＝36s2－5，s 为正奇数，且6s2－1，12s2＋1均为素数[21，22]时的全部整数点。

下面对a＝±2，p＝5的情况进行讨论。

定理1椭圆曲线

仅有整数点(x，y)＝(－2，0)。

定理2椭圆曲线仅有整数点(x，y)＝(2，0)。

1 主要引理

引理1设是方程u2－Dv2＝N (N＞0) 的某结合类k 的基本解，是x2－Dy2＝1的基本解，则有

引理2设是方程u2－Dv2＝－N (N＞0) 的某结合类k 的基本解，是x2－Dy2＝1的基本解，则有

引理3设D＞0，N＞0，D 不是平方数，不定方程u2－Dv2＝N 或u2－Dv2＝－N 的解仅有有限个结合类[23]。所有结合类的基本解可由引理1，引理2经有限步求出。设是类k 的基本解，则类k的全部解可经表出，其中是x2－Dy2＝1的基本解，n 为整数。

2 定理的证明

定理1的证明:设椭圆曲线y2＝x3＋x＋10＝(x＋2) (x2－2x＋5) 的整数点为(x，y)，显然，(x，y)＝(－2，0)是式(1)的解。下面讨论式(1)的非平凡解。

设d＝gcd(x＋2，x2－2x＋5) ，由于x2－2x＋5＝(x＋2)2－6(x ＋2)＋13，则d|13。因此d＝1，13。

(1)当d＝1时，可令x＋2＝a2，x2－2x＋5＝b2，y＝±ab，gcd(a，b)＝1，a，b ∈Ν∗。

因为a2≡0，1，4(mod8)，所以由上式有x ≡a2－2≡－2，－1，2(mod8)，于是

即x2－2x＋5≡0，5 (mod8) 。 而0，1，4≡b2≡x2－2x＋5≡0，5 (mod8) 仅有0≡b2≡x2－2x＋5≡0 (mod8) 可能成立。不妨设x＝8k－1，则b2＝64k2－32k＋8，故b2≡0(mod8)，进而b≡0，4(mod8)。若b≡0(mod8)，则8|(8k2－4k＋1) ，有4k－1≡ (mod8) ，然而该一次同余方程无解。即当b≡0(mod8)时，b2＝64k2－32k＋8无整数解；若b≡4(mod8)，则2|(8k2－4k＋1) ，不可能存在。即当b≡4(mod8)时，b2＝64k2－32k＋8无整数解。因此，当d＝1时，椭圆曲线y2＝x3＋x＋10仅有整数点(－2，0)。

(2)当d ＝13时，可令x＋2＝13a2，x2－2x＋5＝13b2，y＝±13ab，gcd(a，b)＝1，a，b ∈Ν∗。易得(13a2－39)2－13b2＝1508。

令u＝13a2－39，v＝b，则有u2－13v2＝1508。

而Pell方程x2－13y2＝1的基本解为 (x1，y1)＝(649，180)。

由引理2知，0≤v0≤18。 经计算仅有(u0，v0)＝(±39，1)满足方程。那么由引理3知，方程u2－13v2＝1508的整数解仅有2个结合类且由或，n ∈Z，给出。其中是Pell方程x2－13y2＝1的基本解。于是可以得到递归序列及序列性质如下:

对a2＝3xn＋yn＋3取模16，得剩余序列的周期为4，其余数分别为:2，14，10，6。但a2＝0，1，4，9 (mod16) ，不可能成立。对a2＝3xn－yn＋3取模16，得剩余序列的周期为4，其余数分别为:10，14，2，6。但a2＝0，1，4，9 (mod16) ，不可能成立的。对a2＝－3xn＋yn＋3取模16，得剩余序列的周期为4，其余数分别为:12，8，4，0。但当n ≡3 (mod4) 时，－3xn＋yn＋3≡3 (mod5) ，而a2＝0，1，4 (mod5) ，这是不可能成立的。当n ≡0 (mod4) 时，令n＝4m ，有

仅当y2m＝0即m＝0，x0＝1时，a2＝，但这不可能有解。对a2＝－3xn－yn＋3取模16，得剩余序列的周期为4，其余数分别为:4，8，12，0。但当n≡1，4 (mod4) 时，－3xn－yn＋3≡5，6 (mod7) 。而a2≡0，1，2，4 (mod7) .这是不可能成立的。即当d ＝13时，椭圆曲线y2＝x3－x＋6没有正整数点。

因此，当d ＝13时，椭圆曲线y2＝x3－x＋10仅有整数点(x，y)＝(－2，0)。综上，椭圆曲线y2＝x3＋x＋10仅有整数点为(x，y)＝(－2，0)。

定理2的证明:设椭圆曲线y2＝x3＋x－10＝(x－2) (x2＋2x＋5) 的整数点为(x，y)，显然，(x，y)＝(2，0)是式(2)的解。

下面讨论式(2)的非平凡解。设d＝gcd(x－2，x2＋2x＋5) ，同理d|13。因此d ＝1，13。

(1)当d＝1时，可令x－2＝a2，x2＋2x＋5＝b2，y＝±ab，gcd(a，b)＝1，a，b ∈Ν∗。

因为a2≡0，1，4(mod8)，所以由上式有x ≡a2＋2≡－2，3，2(mod8)，于是x2＋2x＋5≡(±2)2＋2×(±2)＋5≡5 (mod8) ；x2＋2x＋5≡32＋2×3＋5≡4 (mod8) 。 即x2＋2x＋3≡2，4 (mod8) 。 所以0，1≡b2≡x2＋2x＋5≡5 (mod8) 不可能成立。仅当b≡±2(mod8)，x ≡3(mod8)时，方程x2＋2x＋5＝b2可能有解。然而，设b＝8m±2，x＝8n＋3可得:64n2＋64n＋20＝64m2±32m ＋4，则有16n2＋16n＋5＝16m2±8m ＋1。 两边取模8，显然余数不相等，所以方程x2＋2x＋5＝b2无整数解。因此，当d＝1时，椭圆曲线y2＝x3＋x－10仅有整数点(2，0)。

(2)当d ＝13时，可令x－2＝13a2，x2＋2x＋5＝13b2，y＝±13ab，gcd(a，b)＝1，a，b∈Ν∗。 易得:(13a2＋39)2－13b2＝1508。

令u＝13a2＋39，v＝b，则有u2－13v2＝1508.同理，要使un＝13a2＋39有解，un＝13a2＋39≡0 (mod39) ，则有a2≡0 (mod3) 成立，必有a ≡0(mod3)。 同时un为奇数，则a 必为偶数，于是6|a。 不妨设a＝6k，要使un＝13a2＋39＝13×36k2＋39≡±39(mod1298) ，则468k2≡0，78(mod1298) ，即k2≡0(mod649) ，6k2≡1(mod649) 成立。经求解二次同余式k2≡0( mod649) 仅有解k ≡0(mod649) ，而二次同余式无解。

当13a2＋39≡±393( mod1298) ，仍然设a＝6k，则有468k2≡－432，254( mod1298) ，即13k2≡－12( mod649) ，234k2≡127( mod649) ，即有如下二次同余式组

然而，上述同余式组均无解。

经上述讨论，仅当un≡39( mod1298) 时，13a2＋39≡39( mod1298) 有解，此时当un来自第二个结合类时，有a＝6k，649|k，4|n；当un来自第一个结合类时，有a＝6k，649|k，n ≡2 (mod4) 。 因此，un＝13a2＋39≡39( mod62×6492) ，即

而由上面递归序列第二个结合类性质中，可以知该同余方程组等价于

由上面递归序列第一个结合类性质中，可知该同余方程组一定无解。

下面以记号(un/121) 表示un除以121的余数序列，其余类似。易得:(un/121) 以44为周期，余数分别为:－39，102，61，63，38，14，105，30，115，47，28，118，71，80，72，85，27，113，116，52，104，25，39，19，60，58，83，107，16，91，6，74，93，3，50，41，49，36，94，8，5，69，17，96；(un/3481) 以236为周期，余数分别为:－39，2085，1632，3284，256，1790，1337，98，551，1495，1042，393，846，1200，747，688，1141，905，452，983，1436，610，157，1278，1731，315，3343，1573，2026，20，3048，1868，2321，3206，2753，2163，2616，2911，2458，2458，2911，2616，2163，2753，3206，2321，1868，3048，20，2026，1573，3343，315，1731，1278，157，610，1436，983，452，905，1141，688，747，1200，846，393，1042，1495，551，98，1337，1790，256，3284，1632，2085，－39，2989，1927，2380，3147，2694，2222，2675，2852，2399，2517，2970，2557，2104，2812，3265，2262，1809，3107，79，1967，1514，3402，374，1672，1219，216，669，1377，924，511，964，1082，629，806，1259，787，334，1101，1554，492，39，1396，1849，1017，3225，1691，2144，3383，2930，1986，2439，3088，2635，2281，2734，2793，2340，2576，3019，2498，2045，2871，3324，2203，1750，3166，138，1908，1455，3461，433，1613，1160，275，728，1318，865，570，1023，1023，570，865，1318，728，275，1160，1613，433，3461，1455，1908，138，3166，1750，2203，3324，2871，2045，2498，3029，2576，2340，2793，2734，2281，2635，3088，2439，1986，2930，3383，2144，1691，3225，1017，1849，1396，39，492，1554，1101，334，787，1259，806，629，1082，964，511，924，1377，669，216，1219，1672，374，3402，1514，1967，79，3107，1809，2262，3265，2812，2104，2557，2970，2517，2399，2852，2675，2222，2694，3147，2380，1927，2989。因此

然而，这两个同余方程组均无解。因此，当d ＝13时，椭圆曲线y2＝x3＋x－10无整数点。

综上，椭圆曲线y2＝x3＋x－10仅有整数点为(x，y)＝(2，0)

3 结论

文中主要通过构造二元四次方程，利于其解结构序列的递归性质及模序列的周期性，分别解决了在不同的方程中遇到的高次不定方程的求解问题，从而成功地解决了这类椭圆曲线y2＝(x＋a) (x2＋2x＋p)中的两条椭圆曲线y2＝(x±2) (x2＋2x＋5)的整点问题，得到的结论填充了这类椭圆曲线研究成果的空白。其求解方法有新的创新思路，可应用于其它类似方程的研究。