广义Thue-Morse波带片的轴向衍射特性

杨志黎，移乃琴，程书博，田永红 (长江大学物理与光电工程学院，湖北 荆州 434023)

传统的波带片由一系列不透明或透明的同心圆环交替组成，被广泛应用于X射线成像[1～4]、天文学[5]、太赫兹光学[6]和光学捕获[7,8]等领域。然而，菲涅耳波带片在成像像差上具有一定局限性。随着分形光学在各个领域的应用[9,10]，科学家们开始将这种思想引入到波带片的构造中，Saavedra等[11]提出了一种新型光子学元件，即分形波带片，Davis等[12]在液晶显示器上实现了该类型波带片的轴向衍射实验。尽管用分形康托尔集生成的分形波带片沿光轴具有多个焦点，并且可以在一定程度上降低白光照明下的色差，但该类型波带片各个焦点强度差别较大[13]。自Shechtman等发现准晶体以来，准周期和非周期系统的结构和物理特性的研究引起了人们的极大关注[14]。近年来，科学家们基于不同的非周期序列设计出了多种具有特殊衍射特性的波带片。Fibonacci波带片和Thue-Morse波带片沿光轴都具有双焦点，并且在光学成像和光学捕获中有潜在的应用[15,16]。Fibonacci波带片的双焦点不具有自相似特性，Thue-Morse波带片具有对称分布的2个自相似焦点。TMZPs结合了菲涅耳波带片和Fibonacci波带片的优点，一定程度上降低了成像色差。但是，该类型波带片的轴向聚焦强度和分辨率相对较低，限制了其在光学成像领域的应用。课题组最近提出了一种新的衍射透镜——复合Thue-Morse波带片, 该类型波带片由多阶Thue-Morse波带片组成。与Thue-Morse相比，复合Thue-Morse波带片在轴向强度和成像分辨率等方面性能较强[17]。此外，课题组还提出了一种轴向具有4个等强度焦点的Canto-Thue-Morse波带片,该类型波带片的4个焦点位于所设定的轴向位置，焦点处的能量效率随焦距的增大而增大[18]。

作为Thue-Morse序列的扩展，文献[19]提出了广义Thue-Morse模型，并发现电子能谱具有自相似性。基于这种数学序列，笔者引入了一类与Thue-Morse波带片相似的新型光学元件——广义Thue-Morse波带片，并对该类型波带片的轴向聚焦特性和衍射图样进行了理论研究。

1 广义Thue-Morse 波带片的构造

以S0=A作为初始序列元素，然后依据替代规则：

A→AnBmB→BmAn(n,m=1,2,3,…)

可以依次得到各级广义Thue-Morse二值序列。n与m可取任意整数，取值不同，对应的二值序列也不同。

考虑一般情况，前3级二值序列可表示如下，其他级次以此类推:

下面以n=1、m=2时对应的广义Thue-Morse二值序列为例分析广义Thue-Morse波带片的构造方法。当n=1、m=2时，替代规则变更为A→AB2,B→B2A，对应的前3级Thue-Morse序列如下：

S0=A

S1=ABB

S2=ABBBBABBA

S3=ABBBBABBABBABBAABBBBABBAABB

(1)

(2)

第i级广义Thue-Morse二值非周期性序列的字母(A/B)按照上述方法由内向外依次映射到波带片圆面上，每一个字母对应圆面上的一个环带，其中字母A代表相应的环带对光是透明的，字母B代表相应的环带对光是不透明的。图1展示了基于n=1、m=2的广义Thue-Morse二值序列的第1级所构造的波带片，为了直观展示该类形波带片结构，图2是与图1所示波带片具有相同分辨率的菲涅耳波带片。

2 轴向衍射特性

笔者利用菲涅耳近似公式计算单色平面波照射广义Thue-Morse波带片后的轴向强度分布[20]，如式(3)所示：

(3)

2.1 轴向强度分布

为了展示广义Thue-Morse波带片的轴向强度分布，取n=1，m=2的广义Thue-Morse非周期性二值序列的第1级、第2级、第3级，并按照上述波带片的构造方法产生相应的波带片。计算得到的轴向强度分布分别如图3(a)～(c)所示，作为对比，图4(a)～(c)展示了相同分辨率的菲涅耳波带片的轴向强度分布。对比发现，相比于传统的菲涅耳波带片，广义Thue-Morse波带片的焦点分居在相应菲涅耳波带片的主焦点两侧且具有更大的焦深，焦点数目也更多。

2.2 轴向自恢复特性

以基于n=1、m=2的第4级广义Thue-Morse二值序列的波带片为例，讨论该类型波带片的轴向强度自恢复特性。选取波带片轴向距离z= 0.2795、0.3056、0.3248m这3个位置，各个位置处的轴向横截面强度分布如图5所示。在轴向距离z=0.2795m处放置障碍物，图6显示了放置障碍物后，轴向距离z=0.2795、0.3056、0.3248m处的轴向横截面强度分布。可以看到，放置障碍物的位置中心强度基本为零，但是短距离自由传播后该波带片轴向强度分布基本恢复到没有障碍物存在时候的情况，这表明广义Thue-Morse波带片的轴向强度在遇到障碍物时候自重建特性较好。

3 多色聚焦特性

广义Thue-Morse波带片具有较多对称性的焦点，可广泛应用于成像领域，笔者对该类型波带片在多种波长光照射下的成像性能进行了分析。

基于方程(4)与(5)可以计算波带片相应的三刺激值和色度坐标。在方程(4)中，I(z，λ)是轴向照度,S(λ)是光谱分布,(x,y,z)代表色度坐标。广义Thu-Morse波带片及相应的菲涅耳波带片的轴向照度与色度坐标可以分别通过方程(4)与(5)计算得到：

(4)

(5)

以基于n=1、m=2的第4级广义Thue-Morse二值序列的波带片为例，并采用3种不同波长(λ=450、550、650nm)对该类型波带片的成像性能进行分析。在不同波长(λ=450、550、650nm，分别对应蓝色、绿色、红色)照射下该波带片主焦点周围的多个次焦点之间存在更多重叠，如图7(a)所示；在相同情况下，具有相同分辨率的菲涅耳波带片的焦点不会交叠，如图8(a)所示。在重叠位置处该类波带片成像的色差相对于传统的菲涅耳波带片较低。图7(b)、8(b)分别显示了该广义Thue-Morse波带片与相同级次的菲涅耳波带片的轴向照度。图7(b)中的空心圆表示广义Thue-Morse波带片的2个主焦点位置，图8(b)中空心圆代表菲涅耳波带片的主焦点位置，三角形和正方形代表照度降低至其最大值的 90%的轴向位置。图7(c)、8(c)中，圆圈、三角形和正方形表示图7(b)、8(b)中所示的相应部分对应的轴向坐标。图像的色度坐标值越接近白色光源点C，图像的色差越低。图7(c)、8(c)表明，广义Thue-Morse波带片焦点的色度坐标比相同级次的菲涅耳波带片的主焦点更接近C点。因此，广义Thue-Morse波带片相比传统的菲涅耳波带片具有较小的成像色差。

4 结语

基于广义Thue-Morse二值序列构造了一种新型的广义Thue-Morse波带片，对该类型波带片的轴向衍射特性做了进一步分析，结果显示，该类型波带片沿轴向具有多个焦点且相对于相应的菲涅耳波带片的主焦点对称分布。此外，该类型波带片还被证实了其轴向强度在遇到障碍物的时候具有较好的自重建特性，这种特性在构造三维光镊领域意义重大。另外，该类型波带片被证实在多个波长光束照射下具有较小的色差，这个特性使得该类型波带片在X射线衍射成像、白光域OCT、THz成像等领域有着潜在的应用。