一类双耦合线性退化抛物方程组的近似可控性

周 倩, 许凤丹, 高 冬

(1. 吉林大学 数学学院, 长春 130012; 2. 大连民族大学 理学院， 辽宁 大连 116600；3. 吉林大学 计算机科学与技术学院, 长春 130012)

0 引 言

考虑如下双耦合线性退化抛物方程组初边值问题的近似可控性：

其中:QT=Ω×(0,T),Ω是n中的有界区域,T>0;c1,c2,c3∈L∞(QT);h∈L2(QT)是控制函数, 只作用在第一个方程上;χ是特征函数;ω1和ω2是Ω中相交非空的开子集;在Ω×[0,T]上恒正且有u0,v0∈L2(Ω);Σ1,Σ2分别是侧边界中非退化和弱退化部分, 定义为

这类方程组在边界具有退化性, 控制函数作用在区域内部, 并且只作用在一个方程上. 退化抛物方程组(1)-(2)可描述一些生物种群模型和物理模型[1-2].

目前, 对非退化抛物方程和方程组初边值问题控制理论的研究已有许多成果, 包括近似可控性和精确可控性、 内部可控性和边界可控性[3-8]. 文献[9-15]研究了一些在边界上退化的抛物方程和方程组初边值问题的控制理论, 这些方程(组)可能在一部分边界上发生退化, 从而导致其不存在古典解, 因此需研究其正则性较弱的弱解, 同时非退化抛物方程(组)解的Carleman估计和一些紧性估计方法也不再成立, 因此， 必须先克服方程(组)的退化性带来的困难再研究这些退化抛物方程(组)的控制理论. 考虑如下典型的一维边界退化抛物方程的初边值问题：

其中:α>0;c∈L∞((0,1)×(0,T));ω是(0,1)中的非空开集;u0∈L2(0,1). 文献[16-18]证明了当0<α<2时问题(7)-(10)是零可控的, 即对任意的初值函数u0∈L2(0,1), 存在一个控制函数h∈L2((0,1)×(0,T)), 使得问题(7)-(10)的解满足u(x,T)=0 a.e.x∈(0,1), 而当α≥2时该问题不是零可控的[19]. 虽然当α≥2时问题(7)-(10)不是零可控的, 但对任意的α>0, 该问题在L2中都是近似可控的[1]. 文献[1]研究了更一般的边界退化抛物方程的初边值问题, 证明了当c2恒为0时退化抛物方程的初边值问题(1)-(3)-(5)的近似可控性, 特别地, 这里的控制函数是bang-bang形式的. 文献[20]进一步考虑了半线性的情形. 对于方程组的情形, 文献[2]证明了当c2恒为0时问题(1)-(6)的近似可控性, 注意到当c2恒为0时方程组(1)-(2)是单耦合的.

本文研究更一般的双耦合退化抛物方程组初边值问题(1)-(6)的近似可控性. 方程组(1)-(2)在边界具有退化性, 本文克服了退化性的困难, 借助对偶问题构造了控制函数, 证明了初边值问题在L2中的近似可控性. 即对任意的(u0,v0),(ud,vd)∈L2(Ω)×L2(Ω),ε>0, 都能找到一个控制函数h∈L2(QT), 使得问题(1)-(6)的弱解(u,v)满足

(11)

1 主要结果

由于方程组(1)-(2)在边界具有退化性, 因此本文研究问题(1)-(6)的弱解.

定义1如果u∈L2(QT)∩B1,v∈L2(QT)∩B2, 并且对任意满足φ(·,T)=ψ(·,T)=0的函数φ∈H1((0,T);L2(Ω))∩B1和ψ∈H1((0,T);L2(Ω))∩B2, (u,v)均满足积分等式

下的闭包.

问题(1)-(6)是适定的. 类似文献[1]中定理2.1和文献[20]中命题2.1可证明如下命题.

命题1对任意的c1,c2,c3∈L∞(QT),h∈L2(QT), (u0,v0)∈L2(Ω)×L2(Ω), 问题(1)-(6)存在唯一的弱解(u,v). 进一步, (u,v)还具有如下性质:

1) (u,v)满足估计式

其中C>0是依赖于T和‖ci‖L∞(QT)(i=1,2,3)的常数;

基于命题1, 可得如下收敛性结论, 其证明可参照文献[20]中推论2.1.

本文主要结果如下：

定理1(近似可控性定理) 设c1,c2,c3∈L∞(QT), 则问题(1)-(6)是近似可控的. 即对任意的(u0,v0),(ud,vd)∈L2(Ω)×L2(Ω)和任意的ε>0, 能找到一个控制函数h∈L2(QT), 使得问题(1)-(6)的弱解(u,v)满足式(11).

2 主要结果的证明

的弱解. 考虑如下初值为零的控制问题:

令

如果控制问题(13)-(20)存在控制函数h∈L2(QT), 则(u,v)是问题(1)-(6)满足式(11)的弱解. 因此, 只需当(u0,v0)恒为(0,0)时证明定理1即可.

考虑问题(1)-(6)的对偶问题：

其中z0,y0∈L2(Ω). 定义映射

其中(z,y)是问题(21)-(26)的弱解, 利用推论1可以证明L是一个连续的线性映射.

引理1假设z0,y0∈L2(Ω), 则问题(21)-(26)的弱解(z,y)满足唯一延拓性. 即如果

L((z0,y0))=0 a.e. (x,t)∈ω1×(0,T),

则

(z,y)=(0,0) a.e. (x,t)∈QT.

证明: 由L的定义及L((z0,y0))=0可知

z(x,t)=0 a.e. (x,t)∈ω1×(0,T).

对任意的δ>0, 令

Ωδ={x∈Ω: dist(∂Ω,x)>δ}.

显然方程组(21)-(22)在Ωδ×(0,T)上是一致抛物的. 因此, 由经典抛物方程组的Carleman估计[21]可得

其中C是一个正常数. 从而

(z,y)=(0,0) a.e.Ωδ×(0,T).

由δ的任意性可知,

(z,y)=(0,0) a.e.QT.

证毕.

对任意的(ud,vd)∈L2(Ω)×L2(Ω)和ε>0, 定义泛函

其中〈(·,·),(·,·)〉L2(Ω)×L2(Ω)是空间L2(Ω)×L2(Ω)中的内积.

(27)

证明: 由L是线性连续映射及推论1易验证J(·)是L2(Ω)×L2(Ω)上一个严格凸的连续泛函. 要证明J(·)存在最小值点, 只需证明如下估计式成立：

(28)

(29)

令

从而由范数弱下半连续性可得

其等价于

(30)

在式(30)左端令λ→0+, 则易得‖(ud,vd)‖L2(Ω)×L2(Ω)≤ε. 另一方面, 如果‖(ud,vd)‖L2(Ω)×L2(Ω)≤ε, 则

因此

‖(u(·,T)-ud(·),v(·,T)-vd(·,T))‖L2(Ω)×L2(Ω)=‖(ud(·),vd(·))‖L2(Ω)×L2(Ω)≤ε.

从而式(11)成立.

易求得

联立式(32)～(35)可得

(36)

将式(36)代入式(31)可得

再由(φ0,ψ0)∈H1(Ω)×H1(Ω)的任意性可得

因此

从而式(11)成立. 证毕.