含参集值向量均衡问题有效解下半连续的最优条件

2020-09-27张传美孟旭东

吉林大学学报（理学版） 2020年5期

张传美, 孟旭东

(南昌航空大学科技学院文理学部, 南昌 330034)

集值向量均衡问题在最优控制和经济管理等领域应用广泛. 目前, 关于集值向量均衡问题的研究已取得许多成果[1-18]： Huang等[1]研究了含参隐向量均衡问题解集映射的连续性; Chen等[2]在拓扑向量空间中给出了含参集值弱向量均衡问题解映射连续性定理; 在文献[2]的基础上, 借助标量化技巧, Chen等[3]讨论了含参广义向量均衡问题解集映射的下半连续性; Chen等[4]在实局部凸Hausdorff拓扑向量空间中得到了含参弱向量均衡问题各种真有效解集映射的连续性定理; Peng等[5-6]用标量化方法给出了含参广义系统弱有效解映射、强有效解映射和全局有效解映射的下半连续性; Han等[7]在赋范线性空间中分析了一类广义向量均衡问题弱有效解和强有效解下半连续的最优条件; Xu等[8]提出了近似锥-次类凸集值映射的概念, 证明了近似锥-次类凸性是目前更广义的凸性, 并在此条件下给出了强有效解的Kuhn-Tucker型最优性条件和超有效解的Lagrange型最优条件; Xu等[9]给出了集值映射的f-性, 并讨论了含参广义强向量均衡问题有效解映射下半连续性定理；孟旭东等[10]在实Hausdorff拓扑向量空间中讨论了一类含参广义集值向量均衡问题弱有效解与有效解映射的下半连续性, 在近似锥-次类凸条件下, 运用标量化方法得到了弱有效解的标量化结果, 并在集值映射的弱f-性条件下, 得到了含参广义集值向量均衡问题弱有效解与有效解映射下半连续性定理. 本文在文献[7,9-10]的基础上, 在实Hausdorff拓扑向量空间中讨论一类含参集值向量均衡问题有效解的最优条件, 推广了文献[7,9-10]中的相关结论.

1 预备知识

设X,Y为实Hausdorff拓扑向量空间,Z,W为实拓扑空间,X,Y,Z,W中的零向量皆记为0.Y的拓扑对偶空间为Y*,Y中的闭凸点锥C满足其拓扑内部intC≠Ø, 锥C的共轭锥C*及C*的拟内部C#分别定义为

C*∶={f∈Y*:f(y)≥0, ∀y∈C},

C#∶={f∈Y*:f(y)>0 ,∀y∈C{0}}.

记Y中非空子集D的闭包和锥包分别为cl(D)和cone(D), 且cone(D)={td:t≥0,d∈D}.

设B为凸锥C的非空凸子集, 如果C=cone(B)且0∉cl(B), 则称B为C的基. 易知,C#≠Ø当且仅当C存在基. 根据文献[11]知, intC*⊆C#当且仅当intC*≠Ø. 设B为C的基, 定义

CΔ={f∈C#: 对任意的b∈B, 存在t>0, 使得f(b)≥t},

由凸集分离定理知,CΔ≠Ø, 且CΔ⊂C#. 又0∉cl(B), 则存在f∈Y*{0}, 有r=inf{f(b):b∈B}>f(0)=0. 因此VB={y∈Y: |f(y)|

对任意零元凸邻域U⊂VB,B+U为凸集且0∉cl(B+U), 则CU(B)∶=cone(B+U)为点凸锥, 且满足C{0}⊂intCU(B).

设A⊂X为非空子集,F:A×A→2Y{Ø}为集值映射,h:A×A→A为向量值映射. 考虑如下集值向量均衡问题(简称问题(SVEP)), 存在点x0∈A, 使得

F(x0,h(x0,y))∩(-K)=Ø, ∀y∈A,

其中K∪{0}为Y中的凸锥. 设Λ⊂Z,Ω⊂W为非空指标集,M:X×Λ→2X{Ø},F:E×E×Ω⊂X×X×W→2Y{Ø}为集值映射,h:A(Λ)×A(Λ)→A(Λ)为向量值映射. 考虑如下含参集值向量均衡问题(简称问题(PSVEP)), 对每个(λ,μ)∈Λ×Ω, 存在点x0∈A(λ), 使得

F(x0,h(x0,y),μ)∩(-K)=Ø, ∀y∈A(λ),

定义1设Λ⊂Z,Ω⊂W为非空指标集,F:E×E×Ω⊂X×X×W→2Y{Ø}为给定的集值映射,h:A(Λ)×A(Λ)→A(Λ)为向量值映射, 对每个(λ,μ)∈Λ×Ω, 有下列定义:

1) 如果存在点x0∈A(λ), 使得

F(x0,h(x0,y),μ)∩(-intC)=Ø, ∀y∈A(λ),

则称点x0是问题(PSVEP)的弱有效解, 此时, 将问题(PSVEP)所有弱有效解的全体记为VW(λ,μ), 则

VW(λ,μ)={x∈A(λ):F(x,h(x,y),μ)∩(-intC)=Ø, ∀y∈A(λ)};

2) 如果存在点x0∈A(λ)及零点的邻域U⊂VB, 使得

F(x0,h(x0,y),μ)∩(-intCU(B))=Ø, ∀y∈A(λ),

则称点x0是问题(PSVEP)的Henig有效解, 此时, 将问题(PSVEP)所有Henig有效解的全体记为VH(λ,μ), 则

VH(λ,μ)={x∈A(λ):F(x,h(x,y),μ)∩(-intCU(B))=Ø, ∀y∈A(λ)};

3) 如果存在点x0∈A(λ)及点凸锥H⊂Y, 满足C{0}⊂intH, 使得

F(x0,h(x0,y),λ)∩(-H{0})=Ø, ∀y∈A(λ),

则称点x0是问题(PSVEP)的Global有效解, 此时, 将问题(PSVEP)所有Global有效解的全体记为VG(λ,μ), 则

VG(λ,μ)={x∈A(λ):F(x,h(x,y),μ)∩(-H{0})=Ø, ∀y∈A(λ)};

4) 如果存在点x0∈A(λ), 且对零点的每个邻域V⊂Y, 都存在零点的邻域U⊂Y, 使得

cone(F(x0,h(x0,y),μ))∩(U-C)⊂V, ∀y∈A(λ),

则称点x0是问题(PSVEP)的超有效解, 此时, 将问题(PSVEP)所有超有效解的全体记为VS(λ,μ), 则

VS(λ,μ)={x∈A(λ): cone(F(x,h(x,y),μ))∩(U-C)⊂V, ∀y∈A(λ)};

5) 对每个f∈C*{0Y*}, 如果存在点x0∈A(λ), 使得∀y∈A(λ)及∀z∈F(x0,h(x0,y),μ),f(z)≥0，则称点x0是问题(PSVEP)的f-有效解, 此时, 将问题(PSVEP)所有f-有效解的全体记为Vf(λ,μ), 则

注1问题(PSVEP)有下列4种特殊情形:

3) 若Λ=Z,Ω=W,h(x,y)=y, 则问题(PSVEP)即为文献[7]中分析的一类广义向量均衡问题, 即对每个(λ,μ)∈Λ×W, 都存在点x0∈A(λ), 使得∀y∈A(λ),F(x0,y,μ)∩(-C{0})=Ø, 其中A:Λ→2X{Ø},F:X×X×W→2Y{Ø}为给定集值映射;

4) 若W=Z=Λ=Ω,h(x,y)=y,λ=μ, 则问题(PSVEP)即为文献[14]中讨论的广义强向量均衡问题, 即对每个μ∈Λ, 都存在点x0∈A(μ), 使得∀y∈A(μ),F(x0,y,μ)∉-C{0}, 其中A:Λ→2X{Ø},F:X×X×Λ→Y为给定向量值映射.

定义2[15]设X,Y为实Hausdorff拓扑向量空间,G:X→2Y{Ø}为给定集值映射, 点x0∈X给定.

1) 如果对任意开集V⊂Y, 都满足G(x0)⊂V, 且存在点x0的邻域U⊂Y, 使得对任意的点x∈U, 都有G(x)⊂V, 则称集值映射G在点x0处上半连续；

2) 如果对任意开集V⊂Y, 均满足G(x0)∩V≠Ø, 且存在点x0的邻域U⊂Y, 使得对任意的点x∈U, 都有G(x)∩V≠Ø, 则称集值映射G在点x0处下半连续；

3) 如果集值映射G在点x0处既上半连续又下半连续, 则称集值映射G在点x0处连续；

4) 如果集值映射G在X上的每一点处都连续, 则集值映射G在X上连续.

定义3[16-17]设X,Y为实Hausdorff拓扑向量空间,G:Λ⊂X→2Y{Ø}为给定的集值映射.

1) 如果对任意的点x1,x2∈Λ,λ∈[0,1], 都有

λG(x1)+(1-λ)G(x2)⊂G(λx1+(1-λ)x2)+C,

则称G在Λ上为C-凸集值映射;

2) 如果存在点θ∈intC, 对任意的点x1,x2∈Λ,λ∈[0,1],α>0, 存在点x3∈Λ, 使得

αθ+λG(x1)+(1-λ)G(x2)⊂G(x3)+C,

则称G在Λ上为近似C-次类凸集值映射, 且G在Λ上为近似C-次类凸集值映射当且仅当clcone(G(Λ)+C)为Y中的凸集.

注2根据定义3知, 若G在Λ上为C-凸集值映射, 则G在Λ上为近似C-次类凸集值映射. 反之不然(参见文献[16]中例3.1).

(1)

则称集值映射H在点x0处具有弱f-性. 如果H在每点x∈E处都具有弱f-性, 则称集值映射H在E上具有弱f-性.

2) 根据定义4, 如果H在X上具有f-性, 则H在X上具有弱f-性. 但反之不然(参见文献[10]中例2.1).

引理1[18]设X,Y为实Hausdorff拓扑向量空间,G:X→2Y{Ø}为给定集值映射, 点x0∈X给定, 则下列结论成立:

1) 集值映射G在点x0处下半连续当且仅当对任意的网{xα}⊂X,xα→x0及任意的点y0∈G(x0), 存在点yα∈G(xα), 使得yα→y0.

2) 如果G为紧值的(即对每个点x∈X,G(x)均为紧集), 则集值映射G在点x0处上半连续当且仅当对任意的网{xα}⊂X,xα→x0及任意的点yα∈G(xα), 存在点y0∈G(x0)和子网{yβ}⊂{yα}, 使得yβ→y0.

2 下半连续性

引理3设B为C的基, 对每个(λ,μ)∈Λ×Ω及点x∈A(λ),F(x,h(x,·),μ)在A(λ)上近似C-次类凸, 则下列结论成立：

证明： 1) 先证

(2)

再证

(3)

事实上, 对任意的点x∈VW(λ,μ), 均有点x∈A(λ), 且∀y∈A(λ),F(x,h(x,y),μ)∩(-intC)=Ø, 因此

F(x,h(x,A(λ)),μ)∩(-intC)=Ø.

(4)

从而必有

cone(F(x,h(x,A(λ)),μ)+C)∩(-intC)=Ø.

(5)

若存在t≥0及点y0∈A(λ), 使得

t(F(x,h(x,y0),μ)+C)∩(-intC)≠Ø,

(6)

则根据0∉-intC知,t>0, 注意到C为凸锥, 结合式(6)得F(x,h(x,y0),μ)∩(-intC)≠Ø. 与式(4)矛盾, 故式(5)成立.

由-intC为开集, 并结合式(5)有

clcone(F(x,h(x,A(λ)),μ)+C)∩(-intC)=Ø.

(7)

注意到已知条件, 对每个(λ,μ)∈Λ×Ω及点x∈A(λ),F(x,h(x,·),μ)在A(λ)上为近似C-次类凸的, 则clcone(F(x,h(x,A(λ)),μ)+C)为凸集. 根据凸集分离定理知, 存在f∈Y*{0Y*}, 使得

(8)

又由clcone(F(x,h(x,A(λ)),μ)+C)为锥, ∀z∈clcone(F(x,h(x,A(λ)),μ)+C), 有f(z)≥0, 因此

f(z)≥0, ∀z∈F(x,h(x,A(λ)),μ)+C.

(9)

由0∈C知

f(z)≥0, ∀z∈F(x,h(x,A(λ)),μ),

(10)

故

(11)

最后证f∈C*. 事实上, 根据式(10)知

f(z)≥0, ∀x∈A(λ),y∈A(λ),z∈F(x,h(x,y),μ).

(12)

再由式(9)得

f(z+δc)≥0, ∀x∈A(λ),y∈A(λ),z∈F(x,h(x,y),μ),δ≥0,c∈C.

(13)

从而必有

f(c)≥0, ∀c∈C.

(14)

若不然, 则存在点c0∈C, 使得f(c0)<0, 取δ充分大, 存在点x0∈A(λ),y0∈A(λ),z0∈F(x0,h(x0,y0),μ), 使得

δf(c)<-f(z0),

(15)

与式(13)矛盾, 故式(14)成立, 从而f∈C*. 再结合式(11), 有

(16)

故式(3)成立. 因此

类似1)的证明方法, 易证2),3),4)成立.

注4当h(x,y)=y时, 根据引理3中1)可得文献[10]中引理2.2, 且借助于弱f-性代替文献[9]中的f-性, 并推广了文献[9]中引理3.2.

为讨论问题(PSVEP)的有效解在Λ×Ω上的下半连续性, 下面给出Vf(·,·)在Λ×Ω上的下半连续性.

引理4设f∈C*{0Y*}, 如果下列条件成立：

1)A(·)在Λ上连续且具有非空紧值；

2)h(·,·)在A(Λ)×A(Λ)上连续；

3)F(·,·,·)在A(Λ)×A(Λ)×Ω上有弱f-性.

则Vf(·,·)在Λ×Ω上下半连续.

证明：如果存在点(λ0,μ0)∈Λ×Ω, 使得Vf(·,·)在点(λ0,μ0)处不是下半连续的, 则存在网{(λα,μα)}⊂Λ×Ω, 满足(λα,μα)→(λ0,μ0), 且点x0∈Vf(λ0,μ0), 对任意的点xα∈Vf(λα,μα), 有xα→/x0. 由点x0∈Vf(λ0,μ0)知, 点x0∈A(λ0). 于是,