积累数学活动经验的“四化”路径*

2020-09-26熊露赵思林

教学与管理(理论版) 2020年8期

熊露赵思林

摘要数学学习过程是经验的累积、激活、改造和创生的过程。在数学新知课教学中，按照“情境—问题—知识—应用—经验”这一路径，可以实现“四化”：情境—问题化，问题—知识化，知识—应用化，应用—经验化。这个“四化”路径可用于新知课教学过程中积累数学活动经验。

关键词数学活动经验积累 “四化”路径

数学学习的本质是数学经验的累积、激活、改造和创生的过程。数学经验包括数学知识经验、数学思维经验、问题解决的经验、元认知经验等。数学活动经验作为“四基”之一，是修炼数学核心素养的必要基础。因此，研究如何积累数学活动经验是有益的。本文拟探讨在一些数学新知课（新授课）的教学中，如何通过“四化”路径实现数学活动经验的积累。

一、积累数学活动经验的意义及研究现状

1.数学活动经验的含义

数学活动经验是指个体在数学活动中经过心智操作和心力操作过程后储存于长时记忆系统中具有意义和价值的数学信息[1]。这个界定表明，数学活动经验的获得需要“三步曲”：第一步，心智和心力协同工作，特别应调动心力的参与;第二步，理解数学，即建构数学知识的意义，认识数学知识的价值;第三步，应注意在理解的基础上记忆数学知识。

2.积累数学活动经验的教学意义

从教学目标来看，新修订的两个数学课标，即《义务教育数学课程标准（2011年版）》[2]和《普通高中数学课程标准（2017年版）》[3]，均把积累数学活动经验作为数学教学的重要内容和基本目标。落实中小学数学教学目标的任务之一，就是在数学教学特别是新知课教学中帮助学生积累丰富的数学活动经验，特别是数学思维的经验。

数学活动经验是数学核心素养“养成”或“生长”的“土壤”。数学学习是新旧经验反复的、双向的相互调整和累积，最终内化并增值成数学素养的过程[4]。数学核心素养最终落实到数学活动经验上[5]。数学活动经验对学生生成数学核心素养无疑是不可或缺的。有一些数学活动经验就是数学核心素养，如解决问题时所获得的策略性知识就是数学核心素养。因此，比较狭义地讲，积累数学活动经验就是在修炼数学核心素养。

数学活动经验对数学学习是很必要的。“学习的心理机制是同化和顺应。”同化学习相对于顺应学习，它是“最经济”的学习方式，这里的“最经济”是指花费的学习成本最低但效率较高，也就是说，同化学习最节省时间、最容易发生、效率比较高。数学活动经验是数学同化学习的基础。没有经验，同化学习就难以发生甚至不能发生。因此，数学活动经验不论是新知识的学习还是新经验的借鉴，都具有决定性的意义。

数学教学的最高价值是数学知识、数学方法和数学思想的创新。由于直觉是创新的基础，而经验是产生直觉的前提，因此，数学活动经验涵育数学的创新。由此得到一条重要的创新之路，即经验→直觉→创新。但应注意，数学活动经验是数学创新的必要条件而非充分条件。

3.积累数学活动经验教学的研究现状

近年来，一些教师对积累数学活动经验的教学作了不少研究。如，有人提出了数学活动动机激发策略，数学活动经验的生成策略、系统化实现策略、层次转化策略、拓展策略、优化策略等[6]。也有人提出，在数学化的过程、问题解决的过程和反思的过程中积累数学活动经验[7]。还有人认为，数学活动经验是在做数学的过程形成的[8]。笔者认为，获取数学活动经验的方法是心智操作和心力操作，获得经验的标志是认识数学信息所具有的意义和价值，数学活动经验的产品是数学信息（含多种成分），经验的落脚点是长时记忆系统[1]。数学活动经验形成的标志有三个：一是理解数学，即理解数学知识的意义和价值;二是会用数学解决问题（包括数学本身之外的问题）;三是对数学的学习、思考、应用和发现（创造）产生了成功体验。这些认识（含教学策略）对积累数学活动经验是有启发性的。这些认识（含教学策略）的理论虽好，但并没有直接说明在一堂新知课中如何使用理论，如何让数学活动经验在课堂上落地生根。因此，有必要探究在新知课中如何让学生积累数学活动经验。

二、积累数学活动经验“四化”路径的理论依据

在数学新知课（新授课）教学中，按照“情境—问题—知识—应用—经验”这一路径，可以实现“四化”，即情境—问题化，问题—知识化，知识—应用化，应用—经验化。显而易见，情境是数学教学的逻辑起点，情境是产生（发现）问题、提炼知识、迁移应用、积累经验的共同基础。“问题”“知识”“应用”是以情境起点通向经验的三座桥梁，离开“问题”“知识”“应用”，积累数学活动经验是很困难的。

1. 情境—问题化

情境认知理论把“情境”看成是学习的核心要素。该理论重视认知与情意的整合、个体与情境的整合、外部驱力与主观能动性的整合[9]。情境教学是指运用具体活动的场景或提供学习资源以激起学习者主动学习的动机（兴趣）、提高学习效率的一种教学方法[10]。

问题是数学学习的重要载体。问题解决是数学学习的核心目标。数学问题源于主体意识，主体意识源于问题情境，问题情境源于真实情境，因此，真实情境中教学主客体的互动性能由此充分演绎出来。

情境与问题好比是水与鱼的關系，情境像水，问题像鱼。情境生成问题，问题是情境的内核。从情境到问题，即情境—问题化，是发现问题、提出问题的重要机遇，是积累发现问题经验和提出问题经验的重要途径。“情境—问题化”教学是指教师从具有新颖性、现实性、趣味性等特点的情境出发，通过引导学生经历思考、探究、发现等环节，来获得数学的基本知识、基本思想、基本技能以及发现问题和提出问题的经验的过程。“情境—问题化”教学符合奥苏伯尔的“有意义学习”理论。

2.问题—知识化

知识的教学应提倡大力采用布鲁纳的发现教学法、弗赖登塔尔的再“创造”教学法、问题驱动教学法。在教学活动中，尽力让学生从问题中抽象知识、发现知识、提炼知识，在内化中理解知识，在应用中迁移知识，在拓展中发现知识。在知识的学习过程中感悟数学思想，积累数学活动经验。

问题是知识的心脏，知识是问题的内核。从问题到知识，即问题—知识化，是分析问题、探究问题、发现知识、提炼知识的核心过程。从教师的角度看，“学会向知识提问”是教师的基本任务;从学生的角度看，“学会从问题中发现和提炼知识”是学生生成核心素养的主要途径。“问题—知识化”教学是教师引导学生分析问题、探究问题和解决问题的过程。该过程有利于学生积累分析问题、解决问题的经验。如果把一个个问题看成知识的先行组织者，那么“问题—知识化”教学符合奥苏伯尔的“先行组织者”教学理论。

3.知识—应用化

应用是学习数学的重要环节和基本目的。不论是知识的理解、知识的迁移、知识的检验、知识的创新等都离不开应用。数学知识的应用过程其本质是问题解决的过程。问题解决是数学教学和学习的根本任务。适量的应用是必不可少的，但过度地强调应用可能导致机械训练或“题海战术”，这对数学学习是不利的。

“知识与应用”与“工具与方法”的关系类似，知识对应于工具，而应用对应于方法。从知识到应用即知识—应用化，是知识迁移、检验知识的关键环节。知识的应用是体现“问题解决”教学理念的必要环节。数学问题解决的实质是“做”数学。所谓“做”数学是指数学知识和思想所包含的概念（定义）、命题（公式）、法则的综合应用。“应用”数学体现了“做”数学的学习理念，“做”是学习数学的核心理念和主要方法。“知识—应用化”教学符合知识迁移教学理论。

4.应用—经验化

建构主义认为，学习是在已有经验基础上建构知识的意义的过程。知识的意义是指知识自身的属性与规律，以及该知识与其他知识之间的内在联系。意义建构就在于将外在的事物属性、法则与规律，以及事物之间的内在联系在大脑中形成内在的“图式”，也就是认知经验。经验既是意义建构的结果，同时又是意义建构的必要前提[11]。知识经验的获取源于问题解决[12]。应用意识的生成是知识经验形成的标志[12]。数学知识的学习的最终目标是数学知识的经验化，数学经验的素养化。学习者自我反思的过程是梳理知识系统的过程，正如美国心理学家波斯纳所言：“没有反思的经验是狭隘的经验，最多只能是肤浅的知识。”[13]由此可见，反思对经验的获得与积累是至关重要的。反思应融入“情境—问题—知识—应用—经验”的各个环节之中。

从应用到经验，即应用—经验化，是积累分析问题、解决问题经验的必要环节。“应用—经验化”学习体现了“为应用而学”“为经验而学”的学习理念。

三、教学建议

数学活动经验是学生在数学学习活动中日积月累的结果。每一节数学课特别是新知课应看成是积累数学活动经验的重要时机。错失利用大量新知课来积累数学活动经验，数学活动经验的积累只能落空。关于“知识”、“应用”的教学，已有许多理论和实践成果可以借鉴，本文不拟探讨。下面重点对“情境”、“问题”、“经验”的教学作一些探讨。

积累数学活动经验的“四化”路径表明，“情境”是数学教学的逻辑起点。基于情境的教学（学习）有如下价值[11]：一是能以真实问题诱发学习（教学）目标;二是提供发现问题的载体，为建构知识做准备;三是激发学习者的内部动机;四是通过解决现实问题来强化成功体验，让学习者产生成功体验。从数学教学来看，一个好的情境至少有三大功能：第一，情境是（数学）问题之源;第二，情境可以激发学生学习动机和兴趣;第三，以新颖情境为载体可以检测学生是否能迁移数学知识解决问题。情境的创设要从学生的内在需求出发，真实、贴近生活、内含典型问题、富有思维的启发性。学生通过情境，可以激发学习动机、激活已有经验。

教学实践表明，问题驱动教学法是激活学生学习动机、数学思维、知识经验的有效方法。从“情境”中发现问题并提出问题之后，宜采用问题驱动教学法。为了启发学生的思维和充分接近学生的最近发展区，一般把数学知识分解为一个个难度适中的问题，通过这一个个难度适中问题的解决，获得新的数学知识，这种教学方法就是所谓的问题驱动教学法。问题驱动教学法的关键是把数学知识设计成一个个难度适中的问题，这些问题好比是给学生搭建的认识或发现数学知识的一个个台阶（梯子），其实质是帮助学生建立一个个最近发展区，其目的是学生在认识或发现数学知识的过程中数学思维水平逐渐得到提升。

经验的积累应落实在“情境—问题—知识—应用—经验”的每一个环节中。如，在“情境”环节，除激发学习动机和学习兴趣之外，还应重视积累从“情境”中发现问题和提出问题的经验;在“问题”环节，应注意积累分析问题、探究问题和解决问题的经验，也应注意积累从“问题”中发现知识、提炼知识、感悟数学思想的经验;在“知识”环节，应注意积累理解知识、内化知识、拓展知识、发现知识的经验;在“应用”环节，应注意积累知识的迁移、数学方法的习成等经验;在“经验”环节，应注意积累对旧“经验”的激活、反思、创生的经验，就是由旧经验生成新经验。

需要注意的是，本文介绍的积累数学活动经验的“四化”路径，主要适合于一些新知课，并不适合于所有课型（包括部分新知课）。有些新知課也可能不需要“四化”，可能“三化”或“二化”就行了，应根据课程内容的难度、时间的松紧、学生的知识经验基础等情况进行综合考虑。

参考文献

[1] 赵思林.数学活动经验的含义新探[J].数学教育学报，2019，28（02）.

[2] 中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准（2011年版）[S].北京：北京师范大学出版社，2012.

[3] 中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准（2017年版）[S].北京：人民教育出版社，2017.

[4] 朱德全.数学素养构成要素探析[J].中国教育学刊，2002（05）.

[5] 廖辉辉，史宁中，朱丹红.数学基本思想、核心素养的内涵及教学[J].初中数学教与学（人大复印），2016（10）.

[6] 仲秀英.促进学生积累数学活动经验的教学策略[J].数学教育学报，2010，19（05）.

[7] 顾继玲.聚焦“基本数学活动经验”[J].数学教育学报，2016，25（01）.

[8] 徐章韬.青浦经验：数学活动经验的教育表达[J].数学教育学报，2008，17（05）.

[9] 谢明初.情境认知理论对数学教育的意义[J].教育研究，2009（08）.

[10] 冷平，梅松竹，王燕荣.数学课堂中的情境教学误区[J].教学与管理，2011（11）.