挖掘数学美，培养学生的直觉思维能力

潘水良

[摘  要] 直觉思维是直接领悟的思维能力，没有一项创造性思维活动离得开直觉思维，它是一切思维活动的源泉，很值得数学教师加以培养和发展.文章以数学审美为媒介，以合作探究为手段，以思维能力的养成为目标，在数学美的体现和培养学生的直觉思维方面做些阐释.

[关键词] 高中数学;数学美;直觉意识;直觉思维

直觉思维是思维方式中较为独特的一种，其主要特征体现在它的迅捷性、果断性和创造性，它一直扮演着介于逻辑与经验间的一种特殊角色，是一项蒙着神秘面纱的创造性思维活动. 然而，目前在中学数学教学中，教师更多的是关注逻辑思维能力的培养，而缺少对直觉思维能力的培养，长此以往，对学生思维能力的整体发展十分不利. 事实上，直觉思维才是引领数学发现的关键步子，而直觉的形成，需要具有数学美的鉴赏力，经历情感体验. 下面，笔者将从数学美与直觉思维的关系以及用数学美来设计课堂思维的层面阐述直觉思维养成渠道.

沟通数学美与直觉意识，建构能力养成渠道

阿达玛认为，数学直觉的本身就是“美的意识”;而庞加莱毕生事业就是追求“简单与宏远”;爱因斯坦最为欣赏宇宙的统一美与和谐美……科学家们都以美学来谱写一篇又一篇的科学理论“篇章”，让数学美承载着唤起数学直觉的重任.

不可否认，美的意识是促进数学直觉的源泉，审美能力的提升有助于激发学生对数学事物间的和谐关系的直觉意识，审美能力的高低与数学直觉能力有着直接的关系.高中生在进行数学学习时，基于对数与形的直接感受，再与自身的已有知识经验相融合形成美的意识，不断唤起一种数学直觉. 这就要求教师需转变教学观念，充分挖掘数学之美，通过促发美的意识这一有效载体，实现增强直觉思维能力的目的[1]■.

基于数学美，预设能力养成路径

直觉思维能力应该以审美为载体，通过多种教学策略形成路径. 我们都知道，能力的培养只有在体现能力的活动中才能实现，新课程改革立意下的数学教学本质就是要将课堂本位交于学生，让学生的能力得以自然发展. 因此，教师可以引导学生基于整体观察的视角，充分挖掘问题间的本质联系，以数学的对称美、和谐美、严谨美等美感为主轴，作为思维生长的载体，使学生通过多方位和多角度的联想以及适时的总结和反思，搭建能力养成路径.

1. 以“充分联想”为源泉，鼓励直觉思维

在问题的解决中，充分利用联想，为学生的思维“推波助澜”，促进多维立体交叉的思维信息网络的形成，启迪灵活多变的直觉思维，最终完成对问题的咀嚼.

例1：已知■<α<β<■，且sin（α+β）=■，cos（α-β）=■，则sin2α的值为_____.

分析：不少学生自然而然地去求解sinα和cosα，繁化了解题过程，导致了错误.若整体建构找寻出2α、α+β及α-β三者直接的关系，那么很快就可以将本题转化为三角函数的基本运算，从而迅速获解.

解：因为■<α<β<■，所以■<α+β<π，-■<α-β<0，据sin（α+β）=■，cos（α-β）=■，可得cos（α+β）=-■，sin（α-β）= -■，sin2α=sin[（α+ β）+（α-β）]=sin（α+β）cos（α-β）+cos（α+β）sin（α-β）=■.

2. 以“整体洞察”为线索，促发直觉思维

相较于逻辑思维，直觉思维具有综合性的特征，而非逻辑思维所展现出的细节分析，它更侧重于探究内容与方向的整体把握和细致观察. 这就要求学生在解决问题时，需整体洞察问题的结构特征、数式特征、图形特征等，并通过联想实现问题的化归，摆脱思维定式的束缚，充分促发直觉思维的同时，实现思维的创新.

例2：设F1和F2为双曲线■-y2=1的两个焦点，且有双曲线上的一点P满足∠F1PF2=90°，试求出△F1PF2的面积.

分析：据题意，可得△F1PF2的面积S=■PF1·PF2. 又有PF1-PF2=4，①PF■+PF■=20，②

此时直接去探究PF1及PF2的值较为烦琐，而此处需探求的仅仅是PF1·PF2的值.那么可以由②-①2变形可得PF1·PF2=2，因此S=■PF1·PF2=■×2=1.

3. 以“建立模型”为抓手，凸显直觉思维

数学建模是一种基本的数学思想，还是大数据下生活中不可或缺的解决问题的工具之一，彰显了数学知识间的联系与应用，更是凸显直觉思维的有效策略. 它所体现出来的是一种数学应用能力，学生在建立数学模型处理数学问题时，不仅凸显了直觉思维，与此同时还实现了自身的知识结构的内化，提高了创新能力.

例3：点P为球O上的一点，过点P作三棱锥P-ABC，使得PA，PB，PC两两垂直，且点A，B，C在球面上，若设PA，PB，PC的长分别是a，b，c，试求出球的表面积.

分析：在考虑本题时，若学生的思维定位于三棱锥的图形，那么解决起来难度较大. 可以从球的对称性着手，补形该三棱锥为长、宽、高分别是a，b，c的长方体，该长方体的对角线为球的直径，则有a2+b2+c2=4R2，所以S=4πR2=π（a2+b2+c2）. 本题的本质是将不规则图形通过辅助线进行补形，从而挖掘出其中的隐含条件，简化问题的解决过程，而在整个问题的解决过程中，数学的对称美起到了极大的助推效果，其中直觉思维的参与也体现得淋漓尽致.

4. 以“灵活多变”为载体，拓展直觉思维

思维的发展往往是从问题开始的.教师在教学过程中可以“一题多解、一题多用、一题多变”为依托，引導学生沿着多个方向展开思考，采用多种方法和途径，并多角度、多层次、全方位进行思考，从而拓展直觉思维的灵动性，达到培养思维敏捷性、发散性和创新性的目的[2]■.

例4：证明：A（1，5），B（0，2），C（2，8）三点共线.

证法1：首先，求出过其中两点的直线方程，再证第三点在该直线上，即可得证. 具体证明过程如下：据A（1，5），B（0，2），可得直线AB的方程为3x-y+2=0①，将C（2，8）代入方程①，成立，由此可证点C（2，8）在直线AB上，由此可得A，B，C三点共线.

证法2：通过证明过同一点的两条直线的斜率相等，得出这两条直线相重合，从而得证. （证明过程略）

证法3：据三点可确定三条线段，证明其中的两条线段长之和与第三条线段相等，因此这三条线段无法构成三角形，从而得证. （证明过程略）

证法4：借助证明向量■与■共线，亦可得证. （证明过程略）

例5：已知a，b，c，d，e5个不同元素，每次排列需取全，且a和e必排在首位或末尾，试写出所有排法.

变式1：已知a，b，c，d，e5个不同元素，每次排列需取全，且a和e均不可排在首位或末尾，试写出所有排法.

变式2：已知a，b，c，d，e5个不同元素，每次排列需取全，且a和e不可相邻，试写出所有排法.

变式3：已知a，b，c，d，e5个不同元素，每次排列需取全，且a和e排在一起，试写出所有排法.

变式4：已知a，b，c，d，e5个不同元素，每次排列需取全，且a必在e的左侧（可相邻，也可不相邻），试写出所有排法.

5. 以“充分反思”为依托，领悟直觉思维

基于思维培养的数学教学，不仅需要以知识经验为基础进行解题活动，更需注重解题后的反思，让学生通过多角度和多方位的反思活动来修正错误，领悟错误的本质，从而达到领悟直觉思维的目的.

例6：一数学教师现有5张不同的试卷分发给4名学生，且每人至少领到1张，试求出有多少种不同的分配方式.

分析：因为直觉的引领，学生得出思路：首先，从5张试卷中取出4张，分别发给4名学生，然后将剩余的1张分别发给4名学生中的任意一个，因此得出A■A■=480（种），这是学生容易出现的错误.因此，教师可以引导学生简化问题，探究“3张试卷分发给2名学生”的情形，运用列举法不难得出得出结果“6种分法”，而从以上思路进行探究结果为“12种分法”，这样一来，学生便体会到原解法是存在问题的. 在亲历思考、讨论和反思后，学生找寻出错误根源在于原解法中存在着一定程度上的重复. 此时再从元素间的相互对应关系着手，答案就显而易见了. 由此不难看出，通过理清错误根源，可以对数学的计数原理有更深层次的认识，可以提高直觉思维的批判性，可以让直觉思维的培养得到有效落实[3]■.

总之，作为数学教师应追求高品质的培养学生直觉思维的过程，让直觉思维从浮于表象的提升真正走向實质，让学生在发现数学美、体会数学美、运用数学美的同时，得到思维的训练和发展.让数学课堂真正做到将学生能力的培养落实到数学活动的各个环节，让数学学科的核心素养的培养得以落实.

参考文献：

[1]  李树臣. 形成和发展数学能力的两个根本途径[J]. 中学数学教学参考，2002（09）.

[2]  钱从新. 运用推广与引申的方法培养学生的创新能力[J]. 数学教育学报，2003，12（1）.

[3]  赵思林，朱德全. 试论数学直觉思维的培养策略[J]. 数学教育学报，2010，19（2）.