椭圆中的张角问题及其应用

李文东

广东省中山市中山纪念中学 (528454)

在椭圆中有两个比较特殊的角，一个是短轴上的一个顶点到两焦点的张角，另一个是短轴上的一个顶点到长轴上两个顶点的张角，它们都是椭圆上任意一点到这两对点的所有张角中最大的两个角，它们有着重要的应用，给解决一些问题带来很大的方便，文[1][2]推证了椭圆中两类张角的最大值结论.文[2]中将上述结论进一步拓展到了椭圆上的点和长轴延长线上(或短轴延长线上)的两个对称点的张角问题，并且只给出了结果，没有给出具体证明过程.

①当0

②当b

1.结论的证明

∠AQB为钝角且递增，即点Q在椭圆的上顶点时∠AQB最大且为钝角，得证②.

注:(1)可以将本文中的张角的端点改为关于x轴对称的两点A、B；

(2)将本文中的张角的端点改为y轴上非对称的两点A、B；希望有兴趣的读者可以进一步去研究.

2.结论的应用

利用以上结论，能较好地解决一些相关问题.

评注：利用最大角知道，∠F1PF2可以为直角，从而容易判断出分两种情况讨论，避免了漏解的情况.