例谈数学与物理的教学融通

戴高伟 王剑

摘要：虽然数学和物理在中学阶段作为相对独立的学科出现，但很多数学问题有着丰富的物理意义，在物理问题的解决中也涉及广泛的数学知识。可利用物理原理助力数学教学，如利用力学原理推导二次幂和公式、利用光学原理解决最短路程问题、利用势能最小原理直观展示动点轨迹;也可活用数学方法助力物理教学，如相似三角形助力受力分析、基本不等式助力结论验证、排列组合助力热力学现象理解。

关键词：教学融通物理原理数学方法

当前，虽然数学和物理在中学阶段作为相对独立的学科开展教学，但是，很多数学问题都有丰富的物理意义，在解决物理问题的过程中也涉及广泛的数学知识。本文拟举几例，探讨高中阶段数学与物理的教学融通。

一、利用物理原理助力数学教学

一些高中数学问题，抽象程度较高、计算过程复杂，会给部分学生解题带来不小的困难。但是，不少问题往往蕴含丰富的物理背景，如果能找到其物理背景并化为教学情境，往往能化抽象为具体，简化计算过程，帮助学生多角度看待问题、理解知识。

（一）利用力学原理推导二次幂和公式

人教版高中数学教材在必修5第二章第5节《等比数列的前n项和》例3的旁注中给出了二次幂和公式——12+22+32+…+n2=n（n+1）（2n+1）6，在选修2—2第二章第3节《数学归纳法》的例1中运用数学归纳法证明了这一公式。对此，仍有部分学生心中会有疑惑：这一公式到底是怎么得来的？

其实，借助力学原理来推导这个公式十分简便。力学中，力矩=力×力臂，一个质点系的力矩之和等于这个质点系的质量集中在重心位置的力矩。由此，可以构造出关于二次幂和的力矩模型：如图1，在平面直角坐标系中，在点（1，0）处放1个单位质量的质点;在直线x=2上放2个单位质量的质点，使它们关于x轴对称，之间的距离为1;在直线x=3上放3个单位质量的质点，使它们关于x轴对称（中间点在x轴上，视为关于x轴对称，下同），相邻两个质点之间的距离为1……在直线x=n上放n个单位质量的质点，使它们关于x轴对称，相邻两个质点之间的距离为1。于是，这个质点系关于y轴的力矩之和就是12+22+32+…+n2。同时，利用等腰三角形重心的求法，可知这个质点系的重心在点2n+13，0处。所以，这个质点系的质量集中在重心位置时关于y轴的力矩是（2n+1）3（1+2+3+…+n）=n（n+1）（2n+1）6。

（二）利用光学原理解决最短路程问题

费马最早提出，光在指定的两点间传播，实际经过的路程，总是比通过同样两点间其他可能的路径所需的时间来得短。这可以理解为，光所选择的路径使它到达目的地所花时间最短。对于均匀介质或真空，费马提出的理论直接引出光的直线传播定律;对于两种不同均匀介质的分界面，这一原理可以得出光的反射定律和折射定律。而利用这一原理，可以解决数学中涉及最短路程的相关问题。

（三）利用势能最小原理直观展示动点轨迹

问题2在锐角三角形ABC内找一点P，使其到三顶点距离之和为最短。

初等数学中有很多方法确定点P的位置，锐角三角形中到三顶点距离之和最短的点也被称为“费马点”，更有学者将其推广到多边形。但综观纯数学方法，严谨有余而情境匮乏。因此，可以构造物理平衡系统模型，引入势能最小原理（一个力学系统势能达到最小值的位置是平衡位置;如果平衡位置唯一，则在平衡位置上，一个系统的势能最小），从而直观地展示点P的位置及影响。

如图4，在三角形ABC的三个顶点处分别安装一个滑轮，取有公共端点的三条等长的细绳，使其自由绕过滑轮（摩擦力不计），末端分别系有质量相等的重物。放手后，系统逐渐调整至静止，此时为平衡位置，系统势能最低，势能与重物距水平面的高度成正比，故AM+BN+CR总是尽可能地大。因此，达到平衡时，PA+PB+PC最小。此时，作用于点P有三个相等的拉力T1、T2、T3，它们合力为零，故有∠APB=∠BPC=∠CPA=120°。

波兰数学家施坦豪斯在他的名著《数学万花镜》中提到一个问题：三个乡村要办一个公共学校，它们分别有50个、60个、70个学生，如何选定学校的位置，使得所有学生到校路程（或耗费时间）的总和最少？这种“加权”的“费马点”称为“施坦豪斯点”，也可通过势能最小原理构造物理模型解决，这里不再展开。

构建物理情境，有助于学生理解数学公式的实际意义，甚至能够解决原本似乎无法企及的数学难题。正如数学家克萊因所说，数学的直观性可以通过物理论证来获得，因为有时物理模型可以更直观地理解或解释结论。

二、活用数学方法助力物理教学

高中物理教学中，常常会发现数学方法的“影子”，这些数学方法往往是解决物理问题的利器。用数学方法研究物理问题，就是根据研究对象的特点，运用数学思想和方法进行描述、计算和推演，从而对物理现象进行分析和判断，得到一般性规律或结论。所以，应用数学方法解决物理问题，需体现数学方法和物理内容的统一。

（一）相似三角形助力受力分析

相似三角形是几何解题中常用的方法。在两个三角形中，根据两角对应相等、两边对应成比例且夹角相等、三边对应成比例这三个方法可以快速证明相似;并且，根据三角形相似，可以研究对应边长的关系。在高中物理力学内容中，有一类共点力动态平衡问题，其基本方法就是构建力学三角形，根据边长的变化来判断对应力的大小。若能构建相似三角形，则可根据相似三角形的边长变化快速判断力的变化，大大简化问题的解决过程。

问题3如图5所示，A球被固定在竖直支架上，A球正上方的点O悬有一轻绳拉住B球，两球之间连有轻弹簧，平衡时绳长为L，拉力为T1，弹簧弹力为F1。若将弹簧换成原长相同的劲度系数更小的轻弹簧，再次平衡时绳的拉力为T2，弹簧弹力为F2，则（）

A. T1>T2B. T1=T2

C. F1F2

此题先选择研究对象进行受力分析：如图6所示，以B球为研究对象，B球受到重力G、弹簧的弹力F和绳子的拉力T;B球平衡时，F与T的合力与重力G大小相等、方向相反，即G′=G，可以构建一个力学三角形BFG′，三边的长度分别反映三个力的大小和方向;更换弹簧后，由于除重力不变外，其他两力的变化情况不确定，且不属于直角三角形，无法根据三角函数求边长关系。此时，可以根据F和T的方向分别沿绳子和弹簧方向，再找到一个几何三角形ABO，并且根据三角形相似得G′OA=TOB=FAB;换成原长相同但劲度系数小的弹簧，形变量增大，AB减小，则T不变，F减小，故B、D项正确。

在分析物理问题尤其是受力分析时，需要根据平衡构建力学三角形来研究力之间的关系，所以三角形的相关知识在这一部分应用广泛，如旋转三角形法、相似三角形、正余弦定理等。熟练运用这些数学方法，可以达到优化解题的目的。

（二）基本不等式助力结论验证

用不等号连接的式子叫作不等式。高中数学重点研究了一类不等式——基本不等式，其可以表述为：两个正实数的算术平均数大于或等于它们的几何平均数。基本不等式的类型繁多（如x+y≥2xy型或x+1x≥2型），不仅在求解函数最值及数学证明中被广泛使用，在物理问题的运算过程中，尤其是一些临界问题的处理时，也有着很普遍的应用。

例如，高中物理是这样研究输出功率随外接负载电阻变化规律的：实验电路如图7所示，利用电压表可以测得电源的路端电压，利用电流表可以测得电路中的电流;移动滑动变阻器使其阻值变大的过程中，电流变小，路端电压变大;根据P=UI和实验数据，得到输出功率随外接负载电阻变化图像（见图8），并可以测得输出功率P最大时，负载电阻等于内阻，且功率最大值为E24r。

这一研究数据以及结论，都以实验方式获得。其实，运用数学方法求极值，也可以得到这一结论。假设电压表和电流表示数分别为U和I，负载电阻的阻值为R，若电源的电动势和内阻分别为E和r，根据闭合电路欧姆定律，I=ER+r，联立功率公式P=UI=I2R，可得 P=E2R（R+r）2。若整体从函数角度考查，解析式较为复杂，但如果对分母用基本不等式（R+r）2≥4Rr，可得P≤E24r（当且仅当R=r时，取等号）。这一结果与实验结论完全吻合。

（三）排列组合助力热力学现象理解

“排列”“组合”是组合学中最基本的两个概念。所谓“排列”，就是指从给定个数的元素中取出指定个数的元素进行排序;“组合”则是指从给定个数的元素中仅仅取出指定个数的元素，不考虑排序。排列组合的中心问题是研究给定要求的排列、组合可能出现的情况总数。排列组合与古典概率论关系密切，利用排列组合的知识，可以分析一些物理现象。

例如，人教版高中物理选修3-3第十章中提及热力学第二定律的微观解释，具体描述了一切热现象过程的方向性，即按有序到无序的方向进行。那为什么这些热现象都是不可逆的？我们可从数学概率论的角度加以解释。

生活中也有许多有序和无序的例子。以洗牌为例，一副扑克牌除去大、小王，还剩52张，排列时对花色和大小都无要求，有A5252种排列方式。由此，我们在物理上可以定义两组概念：宏观态和微观态，有序和无序。我们把提出的每种牌的排列要求理解为一个宏观态，而按照这种要求进行理牌能够排列出的排法理解为包含的微观态。则一个宏观态包含的微观态越少，表示越有序;包含的微观态越多，表示越无序。

有了这两组概念后，热力学第二定律的微观解释就有了理论基础。以气体的扩散现象为例。假设某一带隔板的绝热容器，刚开始左侧有空气（设有四个气体分子A、B、C、D），右侧为真空（如圖9）。打开隔板后，左侧气体会向右侧自由膨胀，根据最后两侧气体分子数量的个数情况，可以分为五种情况（见表1）。

可以看出，打开隔板后出现左右两侧气体分子均匀分布的概率最大，所以实际生活中看到的稳定状态都是均匀分布的，气体膨胀体现出的方向性，就是气体分子自发状况下从有序到无序的结果。不仅气体扩散有这个特点，所有与热力学有关的现象都是如此，进而可以得到一个更重要的原理——熵增原理：孤立热力学系统中的熵不会减少，总是增大或者不变。

*本文系江苏省教研室2017年度第12批立项课题“生命与健康特色课程的实践研究”（编号：2017JK12L036）、无锡市教育科学“十三五”规划2020年度课题“HPM视角下落实数学学科德育的教学研究”（编号：I/D/2020/13）的阶段性研究成果。

参考文献：

[1] 李克民.从经典模型的改造谈数学试题的命制——以“将军饮马”问题为例[J].教育研究与评论（中学教育教学），2016（1）.

[2] 任念兵.从“数学欣赏”教学谈课程整合[J].教育研究与评论（中学教育教学），2018（1）.