保距变换半群的若干基本性质

龙伟芳， 龙伟锋

（1.凯里学院 理学院，贵州凯里556011； 2.厦门大学 数学科学学院，福建 厦门361055）

0 引言

变换半群的秩、最小生成集与极大逆子半群是变换半群的重要性质.对它们的研究一直是变换半群的一个重要课题［1-15］.文献［1］给出了链上的方向保序部分一一变换半群的生成集.文献［2］讨论了保等价关系变换半群的秩.文献［3］刻画了有限保序部分一一变换半群极大逆子半群的完全分类.文献［4-5］研究了IE*（X）中E类方向保序变换半群的秩和严格部分一一变换半群的极大逆子半群.文献［6］讨论了E类保序严格部分一一变换半群的极大逆子半群.文献［7］构造变换半群POEn，并得到理想POE（n，r）的秩与幂等元秩；文献［8-10］在等价关系下研究变换半群的自然偏序部分一一变换半群的Green关系与组合结果；在保序下，文献［11-12］讨论部分一一变换半群的秩与极大子半群；文献［13-14］在有限全变换半群与线性变换半群下研究若干基本性质；文献［15］在定点保距下研究部分一一变换半群.本文定义保距变换半群的概念.

非空集合X上的1-1部分映射全体之集，记为 IX，且规定 Ø∈IX.在 IX中定义运算“ ◦”：

则（IX，◦）称为 X上的对称逆半群.设 Xn＝｛1，2，…，n｝，记Sn、In分别为 Xn上的置换群与对称逆半群，令

则PDIn为In的一个子半群，称为保距变换半群.在定义与基本假设下，首先给出保距变换半群的Green关系和基数；然后得到保距变换半群的秩，并完全刻画了保距变换半群的生成集与极大逆子半群的结构.

1 预备知识

记文中的常用符号为 Ar＝｛α∈PDIn：｜imα｜＝r｝，1≤r≤n-1；K（n，r）＝｛α∈PDIn：｜imα｜≤r｝，1≤r≤n-1；Xn＝｛1，2，…，n｝，其他未说明的符号与概念可参见文献［16］.

首先，介绍几个定义.

定义 1设 A＝｛a1，a2，…，an｝⊆Xn，其中a1＜a2＜…＜ar.记［A］＝［a2-a1，a3-a2，…，ar-ar-1］称为集合 A的顺型；记 R［A］＝［arar-1，ar-1-ar-2，…，a2-a1］称为集合 A的逆型.

定义 2设 A，B⊆Xn，如果［A］＝［B］或［A］＝R［B］，则称A与B同型，记作A～B.

以下记［α］＝［A］，其中 α∈PDIn，A＝domα.

定义 3设 α，β∈PDIn，如果［α］＝［β］或［α］＝R［β］，则称 α与 β 同型，记作 α≈β.

引理 1设 α∈PDIn，且

则 b1＜b2＜…＜br或 b1＞b2＞…＞br.

证明当r＝1或r＝2时，显然成立.下证当r＞2时的情况.

若 b1＜b2＜…＜bm，并且 bm＋1＜bm，其中r-1≥m≥2.因为 α∈PDIn，可记

则有 d＝d1＋d2.因为 bm-1＝bm-d1，bm＋1＝bmd2，可得

矛盾，进而可得 b1＜b2…＜br.同理可证，当 b1＞b2＞…＞bm，r-1≥m≥2时，有b1＞b2＞…＞br.

引理 2设 α∈In，则 α∈PDIn当且仅当domα～imα，即存在一组大于0的数 a1，a2，…，ar，b∈Xn，使得

证明“⇒”设 α∈PDIn，且

其中 d1＜d2＜…＜dr与 ci＋1-ci＝di＋1-di，i＝2，3，…，r-1，故domα～imα.

记 a1＝c1，易得 ci＝a1＋ai，其中 ai＞0，i＝2，3，…，r.因为 ci-c1＝di-d1，所以 di＝d1＋ai，i＝2，3，…，r.令 d1＝b，即存在一组大于0 的数 a1，a2，…，ar，b∈Xn，使得

同理可证，当b1＞b2＞…＞br时，有domα～imα，且存在一组大于 0 的数 a1，a2，…，ar，b∈Xn，使得

“⇐”显然成立.

引理 3Ar⊆Ar＋1Ar＋1，1≤r≤n-2.

证明设 α∈PDIn，且 α∈Ar，r＜n-1，

记

下面对［α］分情况讨论.

情形1 若 d1，d2，…，dr中至少有2个数大于1.

设大于 1 的 2 个数为 di、dj，1≤i，j≤r-1，且i＜j.因为 ai＋1-ai＝di≥2，所有可取 k1，ai＜k1＜ai＋1，又因为｜bi＋1-bi｜＝di≥2，根据引理 1 和 2 可知，bi＋1、bi之间存在 k1，使得

显然 β∈Ar＋1.因为｜bj＋1-bj｜＝dj≥2，所以在 bj＋1，bj之间存在数 k2.令

显然 δ∈PDIn，δ∈Ar＋1.于是可验证 α＝βδ.

情形 2 若 d1＝d2＝…＝dr＝1.

1）若 a1＝b1＝1，那么

因为 r≤n-2，即 r＋2≤n.则

使得 α＝βδ.

2）a1≠1，n；b1≠1，n；ar≠1，n；br≠1，n.若b1＜b2＜…＜br，则

使得 α＝βδ.若 b1＞b2＞…＞br，则

使得 α＝βδ.

3）a1＝1；b1≠1，n；ar≠1，n；br≠1，n.那么

若 b1＜b2＜…＜br，则

使得 α＝βδ.若 b1＞b2＞…＞br，则

使得 α＝βδ.

4）a1≠1，n；b1≠1，n；ar≠1，n；br＝n.设

因为 r≤n-2，即 n-r-1≥1，则

使得 α＝βδ.

5）a1＝1；b1≠1，n；ar≠1，n；br＝n.设

因为 r≤n-2，所以2 ＋（r-1）≤n-1，且

使得α＝βδ.而β，δ是上面所讨论的情况之一，所以α仍可由 Ar＋1生成.

同理可证d1＝d2＝…＝dr＝1时的其他情况，以及 d1，d2，…，dr中只有一个大于 1，其他都等于1的情况.记

其中 2≤r≤n，r-1≤d ≤n-1.

引理 4S（2，d）＝2（n-d）.

证明设

因为domα～imα，即｜x-y｜＝d，那么对于x有以下3种情况.

1）当 x≤d，且 x＋d≤n或 x＋d＞n，且 x-d≥1时，若x取定，则y只有一种取法；

2）当x-d≥1，且 x＋d≤n时，若 x取定，则 y只有2种取法；

3）当x-d＜1，且x＋d＞n时，若x取定，则没有相应的y与之对应.

当n＝2k时，对d分以下3种情况进行讨论.

1）d＜k，那么满足条件x≤d且x＋d≤n或x＋d ＞n 且 x-d≥1 的 x有1，2，…，d，n，n-1，…，n ＋1-d，共有2d；

满足条件 x-d＜1且x＋d＞n的x是不存在的；

满足条件x-d≥1且x＋d≤n的 x有1＋d，2＋d，…，n-d，共有 n-2d个.

根据以上所总结的x的3种情况，可得d＜k时，有

2）d＝k，对于满足条件x≤d且x＋d≤n或x＋d＞n且x-d≥1的x显然有n个，即当d＝k时，

S（2，d）＝n＝2n-2k＝2（n-k）＝2（n-d）.

3）d＞k，满足条件x-d≥1且x＋d≤n的x不存在.

满足条件x≤d且x＋d≤n或x＋d＞n且xd≥1 的 x有1，2，…，n-d，1 ＋d，2 ＋d，…，n，共有2（n-d）个.因此，当 d ＞k时，S（2，d）＝2（n-d）.

综上所述，可得 n＝2k时，有 S（2，d）＝2（n-d）.同理可证，当 n＝2k＋1 时，也有 S（2，d）＝2（n-d）.

引理 5S（r，d）＝2（n-d）.

证明设

因为imα～domα，如果先确定 a1α、arα，由引理 1和 2 可知，α唯一确定.从而求 S（r，d），只需求集合S（2，d），根据引理 4，S（r，d）＝2（n-d）.

设

引理 6若 Hij≠Ø（i，j∈Xn）当且仅当 i＝j或i＋j＝n＋1.Hij≠Ø时，最多只有2个元.

证明由引理 5，可知每个 Hij，i，j＝1，2，…，n中最多只有2个元.

“⇒”设 α∈Hij.

情形 1 2≤i≤n-1，有

从而，

因为domα～imα，所以

因此，

即 i＝j或 i＋j＝n＋1.

当 i＝j时，

当i＋j＝n＋1时，

情形 2 当 i＝1 或 n，则［domα］＝［1，1，…，1］，故［imα］＝［1，1，…，1］，进而得 j＝1 或n，即i＝j或i＋j＝1 ＋n.

因为

所以，此时Hij中有2个元.

“⇐”显然成立.

2 主要结果

定理 1rank（PDIn）＝n.

证明当n为奇数时，根据引理6和其证明过程，可得An-1的蛋盒图有如下性质：

2）Hnn中只有2个元，且分别为

3）H11中只有2个元，且分别为

4）H1n中只有2个元，且分别为

5）Hn1中只有2个元，且分别为

8）除了以上的H类外，其他的都是空.因为（α，β）∈D⇔α≈β，所以

构成D类.An-1中包含个D类，这些D类可分为3种情况.

根据以上的讨论，可知这个D类只有4个元，分别在

中，且为

4个元中2个元为幂等元，由Clifford定理可知，幂等元可由其他2个元生成.

情形 3 H11、H1n、Hnn和 Hn1构成一个D类.

在H11，Hnn中各有一个幂等元.根据Clifford定理可得

或

可生成D类的其它元.设α、β属于不同的D类，因为

所以αβ、βα不属于 An-1.综上所述和引理 3，易得PDIn的一个最小生成集.

同理可证，n为偶数也可得到相同的生成集S，从而rank（PDIn）＝n.

根据定理1的证明过程，易得PDIn的最小生成集S.

定理 2PDIn的最小生成集S有如下形式之一.

定理3PDIn的极大逆子半群K有如下形式：

证明属于不同的D类的α、β，根据定理1的证明过程，可知αβ、βα不属于 An-1.

当K＝K（n，n-2）∪An-1＼｛α，α-1｝，α∈Hi（n＋1-i），i＝2，3，…，n-1时，显然为 PDIn的极大逆子半群.当

K＝K（n，n-2）∪ An-1＼（H1n∪ Hn1），设B为PDIn的逆子半群，且K⊂B.不妨设

那么必有它的逆元也属于B，即

有

根据定理1的证明过程，可知

也可以由B的元素生成.进而B＝PDIn，即K为极大逆子半群.

同理，可证其他2种情况.

致谢凯里学院校级规划课题（Z1701）对本文给予了资助，谨致谢意！