一“画”知之本

江苏无锡市勤新实验小学 蒋燕霞

希尔伯特曾经说过这样一句话：“数学学科是一个不可分割的有机整体，它的生命力在于各个部分之间的联系。”如果每节数学课都能从“关系”出发，将学习置于知识体系的建构之中，学生获得的就不是局部的、零散的知识，而是有结构的知识。长此以往，学生的关系思维、逻辑思维等就能得到很好的滋养和发展。所以在平时的教学中，要充分发挥“画”的作用。数量之间的关系，数与形的关系，平面和立体的关系，具体和抽象的关系，初级和高级的关系……一切数学似乎都可以归结到“关系”里面来。

一、画图懂算理

画图的使用，要能够结合学生当前的思维水平，抓住学生的已有知识作为生长点，并且要根据学生思维能力的不断提高而进行变化。在开展数学教学的过程中，教师要依据不同的年级确定不同的目标，这样才能够循序渐进，最终培养出学生采用画图解决问题的意识。如教学苏教版数学二年级上册“认识平均分”时：在学生学习了例1后，教师出示例2的8个桃子图，要平均分给4名同学，可以怎么分？教师可以放手让学生在图中分一分，再交流。学生通过在实物图上分一分，使他们清楚地理解了平均分的意义，这是对学生理解能力的锻炼，同时使得他们的口头表达能力也得到了显著提高。

教师要在平时的课堂练习过程中，注重培养学生画图解题的意识，这对学生形成解答数学问题的能力具有重要作用。让学生在平时自己解决问题的过程中，能够养成在审题时随手画图的思路，利用画图的形式使解决问题的过程变得既简洁，又直观形象。教师在教学中采用“数形结合”的方法，引导学生用画图的形式来表示分数乘分数的意义，并且引导学生用分数乘法算式表示画有阴影的图所要表达的意义，以此来巩固“求一个数的几分之几是多少”的分数乘法的意义，让学生能够不仅掌握分数乘分数的计算过程，更能清楚地理解每一个分数的意义。如在教学苏教版数学六年级上册“分数乘法”单元例4，和时，教师让学生结合图形，先说一说每个分数表示的意义，深刻地理解这两个算式的意义，再根据图形写出计算结果，这样能更好地引导学生弄明白这些算式的积的意义。

数形结合思想每个数学教师都有，但这个结合的过程绝对不是单纯地由抽象变为直观的过程，而应该是“抽象→直观→抽象”这样一个过程，将“以形论数”和“以数表形”进行有效结合。学生只有在经历了数与形之间的转换，才能真正地感知“数形结合”带来的好处，才能自主地运用数形结合思想来解决问题。

二、画图理方法

在日常教学中，教师为了让学生自然、形象地认识示意图或线段图，真正地体会到画图的作用，我们往往会用教具将“图”进行初始化。教师经常用摆小棒的方法引导学生抽取出线段图的模型，进而引导学生整理思路，找到解决问题的办法。这样，让那些找不到解题思路的学生的思维有了依据，有了条理，产生“柳暗花明又一村”的感慨。其实，学生学会运用画图策略解决复杂数学问题不是一蹴而就的，而是一个循序渐进的过程。在问题中如何有效地提炼信息，转化成合理的图像和形象的形式表达题意，在逻辑思维能力和动手实践能力这两方面，对学生都有着比较高的要求。所以，教师在平时的教学过程中，要注重培养学生运用画图解决问题的能力。

苏教版数学六年级下册“解决问题的策略——假设”中的“鸡兔同笼问题”，是本册书上的一个教学难点。在教学这个内容时就可以利用画图的方法，让学生把题目中的信息先画出来再思考，这样解决起来会容易很多。通过画图能比较清楚地显示出数量关系，画图示意法既能提高学生的动手能力，又能锻炼学生的分析能力。在教学例题2时，除了给学生介绍假设法、一一列举法，先假设再调整，笔者还给学生介绍了画图的方法。学生小蕊画出了一幅图画：假设10条船都是大船，一共可以坐50人，比实际42人多了8人，每条大船比每条小船多2人，所以有四条小船被看成了大船，因此大船就是6条。

师：用圆圈来表示人，那么，不管大船小船具体有几只，我们首先要画几个圆圈？

师：每个圆圈里画5个小圆圈，这样就有多少人？

师接着画，边画边数：1，2，……

师：实际有42人，多了几人？

师（引导）：再看！小蕊为什么要在这四条船上每条撇去2个小圆？

师（强调）：我们得2个2个地去。

师：看来，画图是个好方法！

这部分内容的教学是在六年级进行的，针对高年级学生，教师就可以充分发挥学生的自主权，鼓励学生用画图来分析解决问题，培养学生独立画一个正确、完整的线段图或示意图的能力。教师在指导学生画图时，应该“想方设法”“千方百计”，因为小学阶段学生的思维还处于初级阶段，教师应该结合学生的思维特征，利用画图的直观性、表象性来帮助学生理解抽象的等量关系。同时，教师也应该把握好时机，帮助学生获得画图的基本方法和技能，真正成为学生学习的引导者。

三、画图明关系

画图的使用能够有效地帮助学生理解数学题目的含义，提高学生的语言表达能力，还可以通过看图列出算式，使学生能较清晰地表达题意和数量关系。如苏教版数学四年级下册“解决问题的策略”这一单元中，学生在学习例2时，要引导学生根据题目的条件和问题，先用示意图表示条件和问题，画图时理清“长增加了3米，面积就增加了18平方米”这句话，根据这句话，能知道什么信息？如果凭空想，很多学生想不明白这可以知道宽的米数。对于四年级学生，教师可以对他们提出一些更高的要求，尝试自己画示意图。有了示意图，就能很清楚地从图上知道，增加的面积除以增加的长，得到原来的宽。利用示意图来对题目中的数量关系进行分析，对题目的含义就会有进一步的理解。

如在学习苏教版数学六年级上册“列方程解决稍复杂的百分数实际问题”例11时，六年级学生已经有一定的画图经验，教师完全可以放手让学生画线段图，然后结合线段图正确理解题意，厘清数量关系，帮助学生理解“1+20%”的含义。引导学生会画图表示“增加百分之几”的意义，学会画线段图解决稍复杂的百分数实际问题。

从以上线段图中学生能很快地看出单位“1”是指原计划植树的棵数，并且能体会到实际植树棵数就是原计划的120%，从而写出正确的数量关系，找到合适的解题方法。

“数无形时不直观，形无数时难入微。”这是我国著名数学家华罗庚先生所讲的一句话。这句话充分表明了在数学教学过程中，画图策略具备重要的教学意义。它与学生的学习需求与成长需要是非常契合的，所以，教师要高度重视培养学生的画图策略意识。同时，在实际教学过程中，教师不能生搬硬套地向学生传授画图策略，要在对画图策略深刻理解与研究的基础上灵活应用，突破创新，从而提高学生利用画图策略解决问题的能力，促进学生数学思维能力的发展。