多元“对话” 促结构融通——以《正比例的意义》的教学为例

江苏南京市双塘小学 武 捷

数学结构化学习需要将数学学习的研究对象看成一个整体，学生在已有知识经验的基础上，借助教师对数学教学内容的整体理解与适切的课程开发，经历个性化的连续、关联、循环的认知转化，促进结构思维并实现心智转换。在结构化的观课、评课、思课、研课中，笔者越来越清晰地看到结构化视角下教师与文本、与学生、与过往经验、与思维发展方向的对话，教师之思更有方向、教师之言更有力量、教师之察更有角度。

一、对话文本：学理分析，促进知识结构纵横成网

1.教学宏观背景研究

在数学教育从注重“双基”到“四基”再到“核心素养”的当下，我们有必要弄清楚知识、能力、素养之间的关系。长期以来，我们的教学一直是一个个知识点的教学，因为教师们大多依据教材的编排而为，因此学生头脑中的知识也常常是点状不连续的。结构化学习的教材观是：整体进入，纵横成网，融汇贯通。学习前将每课放在一定领域、一定知识结构下来对待，找准教学内容的前延后续，纵向地理出学习内容在本单元、本册、年段、全册的位置，前后关系。同时，横向地分析所教知识在这册中除了知识结构之外的思想、方法、培养目标、学科核心素养等共同之处和各个侧重点。在解读教材时，教师回归到知识发生的源头，不仅要找到知识的元素，更要发现知识元素的有机联系。

《正比例的意义》是小学阶段最后一节新授课，它与除法、分数和比等知识有极大的关联。正比例可以算作分数从大板块中发展开来的一部分,在结构化理念的指引下，聚焦分数大板块。梳理苏教版数学12册教材发现，“除法—分数—比—比例”这条隐线的研究是贯连整个小学的，从三年级集中研究分数往下追溯，二年级的平均分、等分除和包含除是“分”这条支流的上游，再往前一年级的减法、连续减去相同的数直至减完，这是“分”的源头，往上追看，“分数的认识”之后的性质、运算，百分数的出现，比、比例，这些对于分数更为深入、系统的研究集中在五、六年级。其中，比和比例的研究全部安排在六年级展开，因此整体上理解分数这个大板块在小学阶段的意义与价值很有必要。

再看一看这里交流的正比例的意义，它描述的是两个相关联的量变化中的关系，苏教版数学早在二年级就出现过相似的痕迹（见下页图1）：

这里量的变化是相伴产生的，学生利用不变的量“每只船坐5人”成功获得“几条船就能坐几个5人”这样的经验，这是学生初步理解两个量的相互影响，伴随变化的过程，学生用乘的思维再反过来理解不变的量。

2.教学点中部剖析

若课时内容是个点，那么单元内容就是一条线。“点动成线，点线相连。”要理清课时内容在单元中的前后联系，充分认识课时内容在单元中的地位、作用和价值，把握递进的层次和逻辑关系，形成单元结构块。

图1

《正比例的意义》是小学数学“数与代数”中重要的内容之一，也是学生系统学习函数的开始。函数思想的建立更多体现在第三学段，可以说正比例、反比例的研究是函数的重要启蒙，对六年级学生而言，这是一次数领域中的飞跃。那么，这个阶段我们如何定位函数的概念？简单来说：函数是一种以运动和变化的观点来反映两种数量之间相互联系的一种数学模型。小学阶段所探究的正比例意义、正比例关系也是当中最简单、最线性的关系，追溯前五年的数学学习过程，学生经历过探索规律、数量关系和运算公式中多个量的变化、字母表示数中多个字母之间的关联……这些都为学生学习正比例的意义奠定了一定的知识基础。同时，正比例意义的学习将直接为反比例意义的学习提供研学方法和研学模式，又为后续的解决实际问题，乃至于将在初中系统地学习函数做好了知识和方法上的准备。

二、对话学生：学情调研，关注个体成长的“弹性”

学生学习新知识时，必须与其已有知识发生关系，以已有知识经验为载体来理解新知识，重新构建知识体系。了解学生的学习潜在状态、现实状态以及发展的可能状态，基于真实学情设计教学、组织学习活动才能让学习真正深远。以《正比例的意义》这个教学内容为例，笔者进行了综合的分析。

1.学情访谈

教师课前了解了学生对于涉及的两种相变化的量的认知基础，学生能够结合自身充分的生活经验，举出大量实例。比如在访谈中，当涉及“两种相关联的量”这个话题时，有的学生就说：大树生长的高度跟它生长的年份相关联，还有的说一天当中气温是随着时间的变化而发生变化的，等等。学生对于相关联的含义是有自己的理解的，但不可否认的是，从学生面对正比例的学习角度来看，还存在一定的认知困难。因为从研究数量关系的角度来看，学生对于以往的数量关系，包括一些运算公式有比较清晰的了解，比如路程、时间、速度这组常见的数量关系，但还仅仅停留在对具体问题的解决上，而正比例的意义是要从一种运动和变化的观点去理解数量间的关系，要通过观察、分析两种数量之间的变化情况、变化规律，进而达到对两个变量关系的进一步理解。因此，学生对数量关系的认识和思考将从以往的静态过渡到今天的动态观察分析，乃至抽象概括。这种研究问题的角度对于学生来说还是比较陌生的。

2.知识点调查

课前设计了这样一份学情了解单（如图2），利用学生熟悉的话费场景，感受不同量间的关联，从反馈可知，学生可以从情境中抽取不同的量，这是学生以往解决问题提炼数量关系积累下的经验，但在表达两个量之间有怎样的关系时，困难较大，不知如何表达或者只关注到一个量是如何变化的学生较多。说明量之间是如何产生关联的？怎样一起变化的？什么是不变的？这些是真正的难点。

图2

正比例函数思想的价值是什么？如果只是记住某段描述或模仿，这仅仅是基本知识、基本技能的层面。学生学习正比例的意义，应在系统的模型背景下展开研究，其更深远的价值在于学生以一种运动和变化的观点、变化的眼光来看待生活中的现象，在变化中寻求对应关系，在对应中确定事物间的联系，从而实现与以往观察的角度不同的理解。学生构建正比例的模型，需要教师提供丰富的研究素材：文字、表格、关系式、图像……利用多种形式来促进理解，从而有意义地建构正比例的概念本质。

三、对话时空：学程设计，凝望课堂生长的模样

小学生的数学思维从直观思维开始，连接生活经验和亲身体验，在生活情境中抽象出数学问题，让生活现象转化为学生的认知对象，并逐步建立整体表象。本课从学生的已有的知识基础和生活经验出发，利用购物的场景，引发学生感受量、相关联的量的意义，引导学生观察、分析，从而发现成正比例量的规律，概括成正比例量的特征。课堂上启发学生独立思考，提供自主探究的平台，凡是能让学生自己发现的，就让学生亲自去探究。通过课始、课中的数学活动，促进学生把在课堂上所学的数学知识应用到解决实际问题中去，进一步培养学生的观察能力和发现规律的能力。

1.连续：整体进入，关联元素

正比例的意义探究是有深度的，它的意义在于相关联量之间的“变与不变”，教材运用时间与路程这组量展开，并非学生最熟悉的场景，本课中更为形象地利用数量与总价这组直观的量开展研究，还原真实的购物情景，唤起学生的生活经验，“从图中你能找到不同的量吗？”学生从感受量开始一步步体会相关联的量，提取多样丰富的素材。本课考查了学生分类、抽象的能力，学生经过合情推理展开联想，对量的关联性的感受是充足的。

接下来充实关联的方式。动画模拟是一种形象、直观的表征方式，学生通过观察三组动画中两个量的变化过程，进行匹对，这需要特征上的提炼，通过反复推敲，学生相互交流，抽取出数学元素，在变化的过程中感受不变的量，为后续知识的展开形象地进行铺垫。

2.关联：主题探究，联想发散

结构化的学材设计能引领学生积极地在新旧知识之间建立联系，将原有的经验投射到新的情境中，将外在的信息转化成“自己的知识”，更加有利于学生的学。本课中学生在有关数量与总价的相关研究之后，围绕自身对正比例意义的感悟进行发散思考，将素材进行个性化的丰富，自发地利用小学阶段其余一些需掌握的数量关系作为研究素材，将熟悉的量串联起来。由此深入思考，举例子、列数据、观察对比，概括总结，自我发现、自主整理，学生的研究有明确要求，反馈时有层次划分，互通联系，对比观察，促进对概念本质的理解。

3.循环：多向递进，思维攀升

在最后的层阶练习阶段，给学生提供了数形结合、动静相融的练习空间，有同心圆、同心正方形的变化，有数学小实验，更有回归生活的现实素材，一个量随着另一个量变化的过程在活动中动态生成了。学生在教师设计的活动中、看似不经意的动作中感受到正比例的随处可见，为深度思维的发生提供更大的空间。

四、对话效果：学评调节，循环知识的生长结构

结构化学习提倡根据知识的内在联系对知识进行归类，使知识条理化、组块化。学评调节的重要作用是既能帮助学生做好系统化的整理，也能将问题延伸，将方法内化。回顾整理时让学生通过观察和思考找出各部分内容之间的关系或者蕴藏的规律，以达到完善认知结构的目的。结构化学习还强调对知识学习的自然延伸，在自然而然的知识应用中，激起学生的问题再生，有序创造知识结构。

本课的最后，学生在具体情境中识别、再认识正比例关系之后，感受到动态中的知识，产生思考：图形的变化背后是否存在不变的因素？随处可见的“量”之间是否有关联？有怎样的联系？除了本课所感受的“正”的关系，还会有其他的可能吗？带着这些思考，学生不断地在头脑中建构新的结构。

在结构化的视角下，回望知识生长中每阶段的模样，看清来时的轨迹和要去的路，全新的体验让思维深入。结构化学习不是灌输，而是点燃火焰，从自学、同伴互学，向网络拓展，在问题的引领中像“小科学家”一样去发明、创造，为儿童多元发展提供思维动力，让课堂不断生长着新的生命气息，让学生的学习逐步丰富、精细化，在自然中实现价值提升。