图形中的一元二次方程

文 何君青

方程是初中数学“数与代数”中重要的一部分内容，苏科版九年级教材的第一章主要研究方程中的一元二次方程。近几年来，各地中考普遍从不同角度对一元二次方程的知识进行比较全面、系统的考查，大部分试题通过直接考查一元二次方程的意义与解法，突出对基础知识与基本技能的考查；通过设置现实问题情境，考查同学们列一元二次方程解决实际问题的能力，突出对数学建模和数学应用的考查；通过设置综合性问题，考查同学们对一元二次方程的灵活运用，突出对方程思想的考查。下面就以一元二次方程与图形结合的问题为例进行剖析，以期对同学们一元二次方程的学习有所帮助。

一、图形构成与一元二次方程

各地普遍采用设置符合同学们认知的实际问题情境的方式，考查列方程解决实际问题的能力。特别突出的是，部分试题注重利用方程的结果，对实际问题作出判断与预测，或对实际问题设计实施方案等方式，强化对数学应用的考查。

例1用一条长20cm的绳子能否围成一个面积为30cm2的矩形？如能，说明围法；如果不能，说明理由。

解：设矩形的长为xcm，则宽为（10-x）cm。

根据题意，得x（10-x）=30，

即x2-10x+30=0。

因为Δ=b2-4ac=102-4×30=-20＜0，

所以此一元二次方程无实数根。

答：用一条长20cm的绳子不能围成一个面积为30cm2的矩形。

【点评】题目在考查列方程的同时，更关注对实际问题理解能力的考查。若所求几何图形能构成，则能算出具体的值；若不能构成，则找不到符合条件的值，或无实数根，或算出的根不在实际范围内。

二、动点问题与一元二次方程

由于动点问题是数学考试中重要的一类题型，所以一元二次方程还常常会与动点问题结合，考查同学们列方程解决问题的能力。特别需要注意的是，部分试题会和面积、长度等知识结合，考查同学们灵活运用方程的能力。

例2如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4cm，CB=6.5cm。点P从点A出发沿AC边向点C以1cm/s的速度移动，与此同时，点Q从点C出发沿CB边向点B以2cm/s的速度移动。当点Q到达点B时，点P停止移动。

（1）几秒钟后，S△PCQ=3cm2？

（2）几秒钟后，PQ=5cm？

解：（1）设x秒后，ΔPCQ的面积等于3cm2。

解这个方程，得x1=1，x2=3。

答：1秒或3秒后，△PCQ的面积等于3cm2。

（2）设t秒后，PQ的长为5cm。

根据题意，得（4-t）2+（2t）2=52。

【点评】解决与动点问题融合的一元二次方程综合题时，同学们应首先根据题意表示出各条线段的长度，再根据所问的问题，列出方程，算出相应的结果。遇到此类考题时，同学们需特别注意要在最后检验算出的结果是否符合实际情况，若不符合，需要舍去。

三、一元二次方程的图形解法

对于一元二次方程的求解方法，同学们一般想到的是直接开平方、配方、公式、因式分解等方法，然而借助图形也能求出一元二次方程的正根。这类问题的研究有助于大家开阔眼界，发展思维。

例3怎么用图形解一元二次方程x2+2x-35=0（x＞0）？

几何建模：

（1）变形得：x（x+2）=35；

（2）画四个长为x+2，宽为x的矩形，构造图2；

（3）分析：图中的大正方形面积可以有两种不同的表达方式，（x+x+2）2或4个长（x+2）、宽x的矩形之和加上中间边长为2的小正方形面积。

即（x+x+2）2=4x（x+2）+22，

因为x（x+2）=35，

所以（x+x+2）2=4×35+22，

所以（2x+2）2=144，

因为x＞0，

所以x=5。

思考：请利用拼图求关于x的一元二次方程x（x+b）=c（x＞0，b＞0，c＞0）的解。

解：画四个长为x+b，宽为x的矩形，构造图3，则图中的大正方形面积可以有两种不同的表达方式：（x+x+b）2或4个长为x+b、宽为x的矩形面积之和加上中间边长为b的小正方形面积。

即（x+x+b）2=4x（x+b）+b2，

因为x（x+b）=c，

所以（x+x+b）2=4c+b2，

所以（2x+b）2=4c+b2，

因为x＞0，

【点评】此题从教材中一元二次方程拼图法入手，以特殊的一元二次方程为背景拓展为一类一元二次方程的求法，对于同学们来说，有一定的难度，故题目铺设了台阶，让大家先了解解决的方法，再进行探讨。事实上，此题用因式分解法很简单，但拼图法更形象、直观。本题通过对同一个图形面积整体和部分的不同表达探索出一元二次方程的正数解，同学们是否会联想到一元三次方程的正数解的解法呢？平面上，一个矩形的长、宽可以看作是两个关于x的代数式，求面积可以构建一元二次方程，那么空间图形中长方体的长、宽、高也可以看作是三个关于x的代数式，求体积是否可以构建一元三次方程，从而借助体积不变的方法解决呢？