两种改善CEEMD端点效应方法的研究分析

严开军,谭康熹,单德山

(1.中电建路桥集团工程设计研究院,北京 100048;2.西南交通大学土木工程学院，四川成都 610031)

经验模态分解[1](Empirical Mode Decomposition，IMF)是1998年由Huang等提出的一种时频分析方法。它用不同特征尺度的数据序列本征模函数(Instrinsic Mode Function)分量来逐级分解信号。虽然EMD具有很多优点，但在实际应用中存在“端点效应”等问题，即在运用经验模态分解的过程中，因信号两端点不一定是极值点，导致构成上、下包络的三次样条曲线在数据序列的两端出现发散现象，并且这种发散的结果会逐渐向内“污染”数据而使得结果严重失真[2]。

Yeh[3]等提出了一种补充的总体平均经验模态分解方法(Complementary Ensemble Empirical Mode Decomposition，CEEMD)，CEEMD主要是通过向原信号添加两对相反的白噪声信号分别进行EMD分解，然后将分解的结果进行组合即可得到最终的本征模函数(IMF)。利用CEEMD分解可明显提升重构信号的完备性，完备性好即意味着信号的重构误差小，而此时的分解效果与总体平均经验模态分解(Ensemble Empirical Mode Decomposition，EEMD)相当。

国内外有许多学者对CEEMD的端点效应问题进行了深入的研究[4]。当前，用于CEEMD端点效应的处理方法有平行延拓法、多项式延拓法、镜像对称延拓、边界局部特征尺度匹配延拓等。本文选择镜像对称延拓与边界局部特征尺度匹配延拓进行对比分析，最终得到一些对实际工程应用有指导意义的结论。

1 CEEMD方法

CEEMD建立在EMD基础之上，由以下几个步骤构成：

步骤1：向原信号中加入n组正、负成对的高斯白噪声，经过EMD分解后生成两大组IMF：

式中：x1为加入正负成对高斯白噪声信号后合成的信号；加入正负成对高斯白噪声信号后合成的信号；x为原始信号；x为高斯白噪声。

步骤2：对集合中每一个信号都做一次EMD分解，每个信号都会得到一组IMF分量，其中第i个信号的第j个IMF分量用cij表示。

步骤3：通过多组分量组合的方式得到第j个IMF分量:

CEEMD具有EMD的二进滤波作用，即首先分解出的第一个IMF分量IMF1，其频率段是信号中最高的频率段，中心频率为f1，第二个分量分解的频率是第一个的1/2，因此分量IMF2的中心频率f1=f2/2,而分量IMF3的中心频率为f3=f2/2,依次类推就是EMD的滤波器作用。

2 两种处理端点效应的方法

本论文将两种改善CEEMD端点效应的方法在Matlab上实现，并进行比较研究：

(1)镜像对称延拓：以信号两端的边界为对称，把信号向外映射，得到原始信号的镜像，形成一个闭合的曲线，从而得到完整的包络曲线。

(2)边界局部特征尺度延拓:把调幅趋势和端点处局部极值点的时间间隔相结合，在信号两端分别添加一对极大值点和极小值点。

3 “端点效应”数值指标

本论文采用平均相对误差RMSE_IMF[5]、相似系数corr_IMF[5]、程序运行时间T来评价两种处理“端点效应”的处理效果。

(1)平均相对误差：经CEEMD分解后的到的各IMF分量和原始信号分量之间的平均相对误差。

式中：N表示信号的总个数；xi(k)表示原始信号中第i个分量；IMFi(k)表示CEEMD分解后得到的相应分量。RMSE_IMFi越小，说明端点效应的抑制越好。

(2)相似系数：计算经CEEMD 分解后各分量信号与对应的原始信号之间的相似系数corr_IMF信号的包络发生形状畸变，引起“端点效应”，从而使各个分量的分解不准确。可以比较经CEEMD分解后的各IMF分量和原信号分量之间的相似度，来评价两种“端点效应”算法的处理效果。

式中：cov(·)表示协方差；σ(·)表示方差；IMFi表示信号经过CEEMD分解后的第i个模态分量；xi为相对应的原始信号组成分量。corr_IMF值越大，说明端点效应的抑制越好。

(3)程序运行时间：不同“端点效应”处理算法的实际运行时间以满足实际工程应用当中的实时性。

4 仿真实验分析

本文在Matlab平台上做仿真实验时选择了合成的调幅信号，其表达式如下：

x(t)=sin(2π×150t)+(1+0.2×sin(2π×10t))×

cos (2π×50t+0.5sin (2π×20t))

该仿真信号是由周期信号sin(2π×150t)与调幅信号(1+0.2×sin(2π×10t))×cos (2π×50t+0.5sin(2π×20t))组合而成的。其中：采样点数为250，采用频率为1 000 Hz，在Matlab上实现的原始信号时域波形如图1所示。

图1 合成信号及分量

为了比较研究两种“端点效应”处理方法的抑制效果，将两种方法与未做“端点效应”处理进行对比，得出了图2～图5实验分析结果。图中的红线表示未做边界处理的结果，蓝线代表经镜像对称延拓处理后的结果，绿线代表经边界局部特征尺度匹配延拓处理后的结果。

图2 不同“端点效应”方法IMF1整体对比

图3 不同“端点效应”方法IMF1局部对比

图4 不同“端点效应”方法IMF2整体对比

图5 不同“端点效应”方法IMF2局部对比

由以上各仿真实验实验结果图像可知：镜像对称延拓与边界局部特征尺度匹配延拓都有效改善了CEEMD的“端点效应”问题，但是边界局部特征尺度匹配延拓法在处理“端点效应”时抑制效果最佳。

表1给出了上述两种方法的数值分析评价指标。

表1 “端点效应”数值指标分析

由表1的数值分析表可以看出：在合成的调幅仿真信号上，边界局部特征尺度匹配延拓法的平均相对误差最小，相似系数最大，平均相对误差最小，程序运行时间最短。

5 结论

通过镜像对称延拓法与边界局部特征尺度匹配延拓法的图像与数值指标与“端点效应”不做处理的对比分析可知：边界局部特征尺度匹配延拓法的分解精度最高，经CEEMD分解后的各IMF分量和原信号分量之间的相似度最高，经CEEMD分解后的到的各IMF分量和原始信号分量之间的平均相对误差最小，且程序运行时间最短。因此，在本论文所用的仿真信号上边界局部特征尺度匹配延拓法对“端点效应”的抑制效果最好。所以在实际的工程中，遇到与本论文的仿真信号类似的信号时，可优先考虑使用边界局部特征尺度匹配延拓法对实际的信号进行“端点效应处理”。