关于悬臂梁受重锤冲击时的动载荷系数分析

吴 晓

(湖南文理学院 机械工程学院, 湖南 常德 415000)

重物对梁结构的冲击问题是工程实际中较为常见的问题.戴震等[1]对等截面悬臂梁自由落体的冲击实验进行了分析，姜侃等[2]对塑料悬臂梁冲击强度检测能力进行了验证，方绪文等[3]对微加工悬臂梁在横向冲击下的响应进行了理论分析.陈超等[4]为了检验材料力学动载荷计算理论，设计了一种冲击动应力实验，并把实验结果与有限元法、材料力学方法的计算结果进行了对比，得出了实验结果与材料力学计算结果相对差为14%～23%.本文指出了文献[4]得出的实验结果与材料力学计算结果相对差为14%～23%是不合理的，材料力学方法的计算结果与文献[4]的实验值误差应为50.20%～53.44%.在文献[4]的基础上，推导出了重锤对悬臂梁的冲击力近似公式.当重锤质量小于悬臂梁质量时，有限元解与本文近似解吻合的较好.当重锤质量大于悬臂梁质量时，有限元解、本文近似解与文献[4]实验结果误差较大.

1 理论计算公式

以图1所示重锤冲击的悬臂梁为例，列出重锤的运动方程及悬臂梁的动力控制方程分别为

(1)

式中：m为重锤质量;N(t)为重锤对梁的冲击力;y(x,t)为梁的动位移;E为梁弹性模量;I为梁截面惯性矩;ρ为梁材料的密度;A为梁截面积;δ(x)为狄拉克函数.

梁的初始条件为

(2)

假设冲击后重物与梁一起振动，由于重物对悬臂梁进行冲击时一阶振型对冲击力影响最大，因此可令悬臂梁的动位移表达式为

(3)

式(3)代入式(1)的第二分式中，利用伽辽金原理可得

(4)

由式(4)可以求得

(5)

利用式(2,5)可以求得悬臂梁的动位移表达式为

(6)

式(6)代入式(1)第一分式中可得冲击力表达式为

N(t)=mg+m(V0ω0sinω0t-Kcosω0t)

(7)

由式(7)可求得最大冲击力表达式为

(8)

由式(8)可知本文动载荷系数为

(9)

材料力学给出的动载荷系数为

(10)

式中:H为重锤落高;Δ为冲击点处静挠度.

2 冲击力的仿真模型

为了计算重锤对悬臂梁的动应变历程曲线，采用ANSYS/LS-DYNA非线性显示动力学分析软件对重锤冲击悬臂梁进行动应变分析.首先通过三维建模软件SolidWorks对悬臂梁和重锤的几何模型进行建模.在保证计算的前提下，对重物及悬臂梁做了适当简化，减少了单元数目和求解时间.然后导入ANSYS/Workbench软件对简化后的几何模型进行网格划分，模型采用自适合四面体网格划分，单元类型为10节点的四面体单元，悬臂梁根部进行了网格加密，单元总数为27 106,如图2所示.

3 计算分析

以文献[4]提供的计算参数为例进行计算.悬臂梁参数：E=200 GPa，ρ=7.8×103kg/m3，l=0.3 m，b=0.03 m，H=0.013 m.

根据悬臂梁冲击实验的要求，将悬臂梁安装底座的五个面定义为完全约束，不考虑底座弹性对实验的影响，采用ANSYS/LS-DYNA求解器进行求解，求解时间为36 ms，输出文件时间间隔为0.01 ms.

本文方法式(9)、有限元法、材料力学式(10)计算的动载荷系数见表1和表2所列,各方法之间的误差见表3和表4所列.重锤对悬臂梁冲击的动应变历程曲线如图3和图4所示.

表1 动载荷系数(m=1.302 kg)

表2 动载荷系数 (m=0.130 2 kg)

表3 计算误差(m=1.302 kg)

表4 计算误差(m=0.130 2 kg)

图3和图4给出了H分别为10、40、80 mm时的重锤对悬臂梁冲击的动应变历程曲线，m=1.302 kg时重锤对悬臂梁冲击的动应变历程曲线，要比m=0.130 2 kg时重锤对悬臂梁冲击的动应变历程曲线陡峭，但是m=1.302 kg时重锤对悬臂梁冲击的动应变历程曲线要比m=0.130 2 kg时重锤对悬臂梁冲击的动应变历程曲线衰减的快.

对表1～4进行分析可知,当m=1.302 kg、有限元单元总数为27 106，H=10、40、80 mm时有限元法计算结果与实验值的误差分别为-30.30%、-10.58%、7.87%.而文献[4]中当m=1.302 kg、有限元单元总数为2 664，H=10、40、80 mm时有限元法计算结果与实验值的误差分别为0.51%、3.07%、2.48%.本文与文献[4]采用相同的软件对同样的问题进行了分析计算，文献[4]有限元单元总数为2 664时的计算精度比本文有限元单元总数为27 106时的计算精度还要高得多，但是从理论上来说有限元单元总数为27 106时的计算精度显然要高于有限元单元总数为2 664的计算精度.

当m=1.302 kg、H=10、40、80 mm时，本文采用材料力学方法计算结果与实验值的误差分别为50.20%、51.80%、53.44%，文献[4]采用材料力学方法计算结果与实验值的误差分别为18.28%、18.20%、19.15%.当m=0.130 2 kg、H=10、40、80 mm时，本文采用材料力学方法计算结果与实验值的误差分别为95.46%、97.54%、117.70%，文献[4]采用材料力学方法计算结果与实验值的误差分别为18.67%、18.10%、18.22%.都是采用材料力学经典公式进行计算(计算公式可见本文公式(10)亦即文献[4]中理论动载荷系数公式).本文经过反复验算，文献[4]的计算结果不合理.

进一步对表1～4进行分析可知,当m=1.302 kg、H=10、40、80 mm时,本文计算结果与实验值的误差分别为31.21%、32.12%、33.33%.产生误差的原因有几种.一是本文研究重物对悬臂梁进行冲击时仅取一阶振型.二是文献[4]中研发的实验装置在重锤冲击悬臂梁后，由于导向柱的限制，冲击后重锤始终与梁接触；而解析方法或数值法计算时则是认为重锤对梁开始冲击到冲击力达到最大后，重锤才脱离梁此后梁开始独自振动.三是重锤m=1.30 2 kg、梁质量M=0.912 6 kg,这样重锤对梁的冲击实际上是弹塑性振动，文献[4]中的实验装置测出的冲击力也就是弹塑性振动状态下的冲击力，而解析方法或数值法计算出的则是弹性状态下的冲击力.余同希[5]已经明确指出：“研究表明，对于一个钢球自由下落撞到钢靶上的情形，只要初始下落高度大于3 mm，靶内一个小区域就会发生局部的屈服.所以，绝大部分工程中遇到的碰撞问题，都需要考虑碰撞一方或双方的弹塑性变形.”

当m=1.30 2 kg、H=40、80 mm时,本文有限元法计算结果与实验值误差在10%左右.而当m=1.30 2 kg、H=10 mm时，本文采用有限元计算结果与实验值误差为-30.30%，这主要是重锤质量大于梁质量且重锤下落高度小，导向柱的限制冲击后重锤始终与梁接触，使得梁振幅很小所致.

当m=0.130 2 kg、H=10、40、80 mm时，本文方法计算结果与有限元单元总数为27 106时的计算结果误差分别为-5.07%、-5.18%、4.10%,两种方法的计算结果吻合的较好.这主要是重锤质量小于梁质量，使梁在碰撞后发生弹塑性变形的区域变小，弹塑性变形对冲击力的影响也变小.

另外，以文献[4]的试验装置为例，当重锤m=1.302 kg时，重锤静置在悬臂梁自由端，此时图1所示悬臂梁固定端的弯矩为Mmax=mgl=3.828 N·m.由文献[6]可知重锤m=1.302 kg时，图1所示悬臂梁固定端开始发生塑性变形时的弯矩为MP=1.859 N·m，悬臂梁固定端形成塑性铰的极限弯矩为Ms=2.789 N·m.所以，当重锤m=1.302 kg时，假设重锤静置在悬臂梁自由端，此时图1所示悬臂梁固定端的弯矩大于悬臂梁固定端形成塑性铰的极限弯矩即Mmax>Ms，也就是说当重锤m=1.302 kg静置在悬臂梁自由端时，图1所示悬臂梁固定端已经形成塑性铰.而本文及文献[4]采用有限元法、材料力学方法对悬臂梁受重锤冲击时动载荷系数的计算都是在线弹性范围内进行的，这样就导致了有限元法计算结果与实验值有一定误差，材料力学方法与实验值产生更大的误差.

4 结论

1) 重锤质量小于梁质量时，采用本文解析法仅用一阶振型研究重锤对悬臂梁的冲击力，即可得到精度较高的计算结果.

2) 当重锤质量大于梁质量时，本文方法的计算结果与实验值的误差为31.21%～33.33%，远高于材料力学方法的计算结果.陈超等[4]采用有限元单元总数为2 664的计算结果、采用材料力学方法的计算结果不合理.

3) 当重锤为m=1.302 kg时，重锤静置在悬臂梁自由端，此时图1所示悬臂梁固定端的弯矩大于悬臂梁固定端形成塑性铰的极限弯矩.重锤m=1.302 kg静置在悬臂梁自由端时，图1所示悬臂梁固定端已经形成塑性铰.而本文及文献[4]中有限元法、材料力学方法对悬臂梁受重锤冲击时动载荷系数的计算都是在线弹性范围内进行的，也导致了有限元法计算结果与实验值有一定误差，材料力学方法与实验值产生更大的误差.