“几何直观”在运算教学上的运用

曾庆欣

曾经有老师认为，让学生熟记解决问题的十一种关系式，好比搭建了建筑工地的脚手架，是帮助学生解决问题的关键。掌握了这是十一种数量关系式，不管在低年级还是高年级，都可以“通杀”。如二年级认识除法，有老师会根据找关键字词让学生找出哪个是“每份数”，哪个是“份数”，哪个是“总数”。然后根据问题，求“每份数”用除法，用上“总数÷份数=每份数”，或求“份数”用除法，关系式是“总数÷每份数=份数”去解决问题。只要学生会找出“每份数”、“份数”和“总数”，知道求每份数和份数都用除法计算，能把题目做对就可以了。可是，学生真正掌握除法的意义了吗？长期下去，学生只会养成套公式的习惯，而不是根据运算意义去解决问题。这对于学生来说是百害而无一益的。那特别在刚认识运算的时候，怎样的教学能有助于学生理解意义呢？今天，就新教材二年级的认识《除法》谈一谈自己的做法和感受。

现在新教材的教学内容，是配合2011版新课程标准的制定来编写的。在《标准（2011年版）》里，新增加了“几何直观”这一核心概念。里面指出：幾何直观主要是指利用图形描述和分析问题。借助几何直观可以把复杂的数学问题变得简明、形象，有助于探索解决问题的思路，预测结果。因此，我们在教学除法的时候，也可以借助“几何直观”来帮助学生理解除法的意义。

一、借助“几何直观”，生动形象，理解本质

借助几何直观，是脱离实物认识事物的进一步提升。在认识除法之前，学生要先理解什么叫“平均分”，并且明白什么叫“均分”和“包含”的意义。这些都是认识除法的基础。在新教材的例题里，创设了很多情境，如分橘子、分酸奶、分果冻等让学生通过动手分一分，甚至还有些练习可以通过直接在图上画一画、圈一圈等方法去理解“均分”和“包含”的意义。可是有些情境，特别是“均分”的意义，直接在原图上很难体现“平均分”的过程，而且，每次都要借助实物来摆，也不很科学。因此，我会让学生尝试把实物抽象为几何图形，通过画圆圈或小棒来代替实物，画出等分的过程。如练习二第3题“把12个风车平均分成3份，每份（ ）个。”我会让学生画出12个圆来代替风车，然后带箭头在下面画上3个大圆圈表示平均分成3份。如图：

每次选取3个平均分到3个大圆圈里，每份保证分得1个，接着再拿3个再进行平均分，一直分到没有为止。这样，学生就能对“平均分”这个过程有了一个充分的认识。并通过多次运用这种“几何直观”的实践活动，逐步掌握“均分”的本质意义。

二、借助“几何直观”，找准联系，避免混淆

我们都知道，除法有两种意义。一种是“等分除”，即“把总数平均分成几份，求每份是多少”。另一种是“包含除”，表示“总数里面包含了几个几。”教材的编排，是先认识“平均分”，然后通过画线、画一画、圈一圈、摆一摆等方法认识“均分”的意义，和“包含”的意义，再去运用“等分除”和“包含除”去解决问题。但是在教学中发现，学生若脱离了动手操作，分一分或圈一圈的形式，对用除法解决问题，特别是当只有纯文字的时候，学生可能只会列式（可能跟整个单元都是除法的知识有关），但被问到“为什么要用除法算？”学生却说不出个所以然，或者是对“等分”还是“包含”的概念很模糊或者混淆。再到后面若同一道题，既出现用乘法解决，又出现用除法解决问题的时候，能力较差的学生就会无所适从。因此，借助“几何直观”来分析题目尤为重要。步骤主要有一下三点：1.找出题目中相关的信息和问题，分别用尺子和波浪线画下来;2.用画图的方法来整理条件和问题，学会表达题意;3.根据图意列式计算，并检查。

如书本第27页第4题，这是一道综合性非常强的一道题。（1）每个花瓶插5根羽孔雀毛，4个花瓶可以插多少根？（2）每个花瓶插6根孔雀羽毛，24根孔雀羽毛可以插几个花瓶？（3）有10根孔雀羽毛，平均插在2个花瓶里，每个花瓶插几根？（4）有10根孔雀羽毛，插在2个花瓶里，一个花瓶插6根，另一个花瓶里插几根？

像这样，简单的几何图形，简单的符号，就能直观地解释了数学知识的本质与关系。长期培养学生运用这种几何直观地方法来进行学习，可以帮助学生把困难的数学问题变得容易。

三、借助“几何直观”，能力提升，学以致用

通过一段时间的画图训练，绝大部分的学生都能基本掌握好解决问题的方法及分清了数量之间的关系，能根据意义运用正确的方法去解决问题。如在教学第四单元42页：“56元能买几个8元的地球仪？”大部分学生都基本能独立通过画图想到实际是求“56里面包含了（ ）个8”的数量关系，并找到解决问题的方法。因此，借助几何直观，能帮助学生直观地理解数学，使学生在解决问题的能力、动手操作的能力及自学的能力等方面都得到了显著的提升。

对于低年级的小学生来说，他们的思维水平正处于具体运算阶段向形式运算阶段过渡，离不开具体事物的支持。几何直观凭借图形的直观性特点将抽象的数学语言与直观地图形语言有机地结合起来，抽象思维和形象思维结合起来，充分展现问题的本质，能够帮助学生打开思维的大门，开启智慧的钥匙，突破数学理解上的难点。我们作为教师，应该重视它，让学生充分认识几何直观在解决问题过程中的作用和价值，在整个数学学习过程中发挥着重要作用。