发挥数学模型在解决数学问题中的作用
2020-09-15谢爱菊
谢爱菊
摘 要:数学模型是解决同类问题的法宝,能从常规问题中发现数学模型,构造数学模型。K字型全等模型的应用及构造。十字架模型的构造及应用。
关键词:数学模型;K字型全等(相似)型;正方形中“十字架模型”;矩形中“十字架模型”
随着中考的临近,很多同学在做着大量的模拟题,以提高适应中考题型的能力,争取考一个优异的成绩,考上自己心仪的学校。这里我总结了两类数学模型,期望对同学们的复习备考起到做一道会一类,让同学们从题海里跳出来,真正提高数学成绩的作用。
一、K字型全等。
条件:∠B=∠ACE=∠D=90°,AC=CE;
结论:△ABC≌△CDE
适用条件:等腰直角三角形,两条线段垂直且相等(或一条线段旋转90°),出现45°
例1、如图,正方形ABCD的边CD在正方形ECGF的边CE上,连接DG,过点A作AH∥DG,交BG于点H.连接HF,AF,其中AF交EC于点M.
求证:△AHF为等腰直角三角形.
分析:要证△AHF为等腰直角三角形,只要证明△ABH≌△CGF,可以先证出四边形AHGD为平行四边形,证得AB=HG,BH=GF,再加上∠B=∠HGF=90°,可以证明△ABH≌△HGF。
例2、如图,△OAP是等腰直角三角形,∠OAP=90°,点A在第四象限,点P坐标为(8,0),抛物线y=ax2+bx+c经过原点O和A、P两点.
(1)求抛物线的函数关系式.
(2)点B是y轴正半轴上一点,连接AB,过点B作AB的垂线交抛物线于C、D两点,且BC=AB,求点B坐标;
分析:(1)先根据△OAP是等腰直角三角形,∠OAP=90°,点P坐标为(8,0),
得点A(4,﹣4),利用顶点式求得抛物线的表达式为:y=x2﹣2x;
(2)设点B(0,m),过点C作CH⊥y轴于点H,过点A作AQ⊥y轴于点Q,则有△CHB≌△BQA(AAS),
∴AQ=BH=4,CH=BQ=4+m,故点C(m+4,m+4),将点C的坐标代入抛物线的表达式抛物线的表达式并解得:m=8,m=﹣4(舍去)
故点B(0,8)。
例3、如图,在平面直角坐标系中,一次函數y=2x-1的图象分别交x,y轴于点A,B,将直线AB绕点B按顺时针方向旋转45°,交x轴于点C,求直线BC的函数达式。
分析:本题的题点为旋转45°,把45°放在等腰直角三角形中构造K字型全等模型,可以过点A作AB的垂线交BC于点F,再由点F作FE垂直x轴于点E,则K字型全等模型构造成功。求出点F的坐标,即可求直线BC的函数表达式。
二、十字架模型
(一)正方形中“十字架模型”结论:
在正方形的对边分别取点并相连,所得两条线段
①垂直,则相等;②若相等,则垂直。
例4 如图,将边长为2cm的正方形纸片ABCD折叠,使点D落在BC边的中点E处,点A落在点F处,折痕为MN,求线段MN的长。
分析:本题先连接DE,根据折叠对称的性质,则有DE⊥MN,就会有DE=MN,求出DE的长即可。DE在直角三角形DEC中利用勾股定理可求。
(二)矩形中“十字架模型”结论
在矩形ABCD中对边分别取点并相连,所得两条线段EG⊥FH,
结论为:EG/HF=AD/AB
例5 如图,矩形ABCD由两个全等的正方形组成,点E,H,F,G分别在矩形ABCD的边AB,BC,CD,DA上,EF,GH交于点O,∠FOH=90°,EF=4,则GH 的长为多少?
分析:本题为矩形中十字架模型,因为∠FOH=90°,所以有GH/EF=AB/AD=2,GH=2EF=8
参考文献:
[1]刘广平,崔伟.数学模型建构在小学数学中的作用[J].华夏教师,2017(10):26.
[2]陈莹.数学建模与应用数学的结合探析[J].智能城市,2017,003(005):130,132.