初谈以进为退的数学解题策略

郭培俊

摘  要：以进为退作为一种解题策略，与以退为进逆向。其策略机制是联想，由局部联想到整体。在《高等数学》解题中以进为退策略归纳为8种递进方式：个别到普遍、静态变动态、局部变整体、离散到连续、特殊到一般、具体到抽象、单一到无限、常量到变量。策略体现了形而上向形而下相互转变的辩证哲学思想。解题从整体出发，高屋建瓴，视野更宽阔，思维起点高，指导性更强。以进为退，小题大做，似难实简，能使问题迎刃而解。

关键词：以进为退;高等数学;解题策略;联想机制

中图分类号：O13;G712                      文献标识码：A               文章编号：1672-0105（2020）04-0089-05

Discussion on the Strategy of Solving Mathematical Problems with Taking Advance as Retreat

GUO Pei-jun

（Zhejiang Industry &Trade Vocational College， Wenzhou， 325003， China）

Abstract：  Taking advance as retreat is a kind of problem solving strategy， it' s the opposite of taking retreat as advance. Its strategic mechanism is association， which means from the local to the whole. In solving problems in Advanced Mathematics， the strategy of advance as retreat can be summarized into eight progressive ways： individual to universal， static to dynamic， local to whole， discrete to continuous， special to general， concrete to abstract and single to infinite， constants to variables. The strategy shows the dialectical philosophy transition from the metaphysical to physical. The strategy starts from the whole， builds high-rise buildings， so the vision of strategy is wider， the starting point of the strategy is high， and the guidance is stronger. Taking advance as retreat， storm in a teacup， making real simple can solve the problems.

Key Words： taking advance as retreat; Advanced Mathematics; problem solving strategy; association mechanism

2019年浙江省专升本《高等数學》试卷中有一道关于级数的题目，其解答过程涉及到和函数的首项[s（0）]，好多学生认为是[s（0）=0]，而对正确答案[s（0）=1]却不甚理解。其实，只需写出级数的前三项[1， 1/2x， 1/3x2]，便不难得出正确结论。像这种由抽象的通项写出具体的前几项寻找答案，所采用的解题思路为“以退为进”策略，是把一般化为特殊、抽象化为具体、复杂化为简单的一种策略，中学数学解题应用比较多，《高等数学》解题也会用到。本文要介绍的却是与之相反的一种策略——“以进为退”策略，它在《高等数学》解题中比之于“以退为进”更重要。

一、以进为退解题策略研究现状

以进为退本是一种战略思想，与以退为进意思相反。《孙子·行军》篇说：“辞卑而益备者，进也;辞强而进驱者，退也”，译成“敌人派来的使者措词谦恭却正在加紧战备的，是准备进攻;使者措词强硬而摆出前进姿态的，是准备后退。”直白地说“退是为了进、进是为了退”。

以退为进，作为一种解题策略，在中小学数学考试和竞赛中屡见不鲜，备受青睐。学者王开荣把以退为进的数学解题策略归纳为“由整体向局部退;由一般向特殊退;由特殊进到一般，再向特殊退;巧法向通法退;由动向静退;由多向少退”等6种[1]。王锡宁也有相似观点，并增加一种“从高维、高次退到低维、低次”具体方法。近期，广州市海珠区教育发展中心的陈永耀研究员组织研究了初中数学学困生的思维提升策略，得出提升成绩为40--60分的初中数学学困生的思维的一种有效策略是“分类指导、以退为进的精当转化”[2]。这些都是可效可取的。然而，以进为退的策略也是一种非常重要的思想方法，特别是在《高等数学》教学和解题中不可缺或的、学生应知的一种重要思想和应会能力，可惜为许多教师所忽略，导致学生没机会感受这一重要思想或感觉很难学习，干脆就省掉放弃。就中国知网、维普资源网、万方期刊全文数据库、龙源期刊网等学术期刊网搜索，还没学者发表此类文章。虽然检索到杨元金发表的《以进为退借助特殊到一般》其实谈的还是以退为进策略。从论文发表角度审视，研究以进为退策略解题还处于零状态。

正如解题方法有分析与综合一样，以退为进和以进为退是两种并存策略，本文拟对以进为退解题策略进行初次归纳，并用《高等数学》举例来说明。

二、以进为退解题策略机制

事物是联系的、统一的。事物往往由多种层次和多样结构组成，却以不同的层面、局部展现，而其他层面和局部总是隐藏其中。同一事物，当人们已经认识透彻了，即使它仅呈现冰山之一角，只要露出了端倪，人们便可做出肯定判断，其他隐藏部分也就能推知出来。可用如下合情推理模式表示：

联想，是以进为退解题策略机制。著名数学教育家G·波利亚在《怎样解题》一书中提到：“题目的变化必不可少，这个事实可以用不同的方式进行解释。我们记忆事情是通过一种叫做“思维联想”的联系活动来进行的。----我们记忆中现存的东西往往使我们回忆起在以前某种情况下与它有联系的东西。变化题目时，我们引入新的内容，从而建立了新的联系，产生联系与我们的题目有关的各元素的新的可能性。”[3]波利亚在遵循数学严密性同时，也非常注重合情推理在数学解题中的应用，并为此专门写了二卷《数学与猜想》来推介他的解题模式。

我国数学教育家朱华伟研究员在《数学解题策略》第6章“从整体上看问题”中写道：解数学题，常常化整为零，使问题变得简单，以利问题的解决。不过，有时则反其道而行之，需要由“局部”到“整体”，站在整体的立场上，从问题的整体考虑，综观全局研究问题，通过研究整体结构、整体形式来把握问题的本质，从中找到解决问题的途径。注意从整体上看问题，即着眼于问题的全过程，抓住其整体的特点，往往能达到化繁为简、变难为易的目的，促使问题的解决[4]。

三、以进为退解题策略递进方式

根据上述解题机制，解题遇到特殊问题，可以先进到一般情况，用一般性的规律和知识去认识处理问题，得到更广泛意义下的结果，进而得到一类问题的解题通法，然后再退回到特殊情况，这样处理问题，思维起点高，指导性强，可以真正做到举一反三，触类旁通。这就好比一块石头，自己很难动起来，但把它置于或遇到滚滚洪流（如泥石流），它便随流而动。在《高等数学》解题过程中，以进为退策略初步归纳为以下6种递进方式。

（一）由数上升为式——个别到普遍

[ 0 1x（1-x）50dx]题目中出现个别具体的数字，这个数字过于狭隘，其实没有代表性，不如进而扩大至一般化，用字母代替是最好的方法，形成强势攻略。各个击破，不如一网打尽。

[例1]  计算

分析：观察被积函数，两个因式相加为1，与积分区间也有关联。并且因式[（1-x）]配50次幂，而简单因式[x]则只有1次幂，联想到证明题

[ 0 1xm（1-x）ndx= 0 1xn（1-x）mdx]

这里，两式[xm（1-x）n]与[xn（1-x）m]对应方幂交换以后积分结果不变，由此可进行简化计算。先把题目扩展至一般情况并证明之。

证明：设[1-x=t]，则[x=1-t， dx=-dt]

于是

[ 0 1xm（1-x）ndx=- 1 0（1-t）mtndt= 0 1（1-t）mtndt= 0 1xn（1-x）mdx]

所以当[m=1，n=50]时，应用上式便得

[ 0 1x（1-x）50dx= 0 1x50（1-x）dx= 0 1（x50-x51）dx=151x51-152x5210=151-152=12652]

（二）由代数动化为函数——静态变动态

字母、代数式都是静止的，代表的几何意义往往是一点。而函数却是用来描述运动的量，代表的几何意义是动点的轨迹。运动包含了静止，静止是运动的特殊状态。比较两个数（式）的大小，把它们作为兩个不同的函数值而纳入到同一函数的轨道中，再运用函数的单调性很容易进行函数值的比较。

[例2]  设当[b>a>e]，证明[ab>ba]

证明：将不等式[ab>ba]两边取对数：[lnab>lnba]，即[blna>alnb]，亦即[lnaa>lnbb]。如设[f（x）=lnxx]，归结证明[f（x）]单调减少，即证[f′（x）<0]

事实上，当[x>e]时，有[f′（x）=1-lnxx2<0]，于是[f（x）]单调减少。

由[b>a>e]得[f（b）<f（a）]，即[lnbb<lnaa]，从而[ab>ba]。

本题还有两种构造函数的方法，也即两种进攻策略：

[f（x）=xlna-alnx， f（x）=blnx-xlnb]

证明过程留给读者。

（三）由数项级数扩展成函数项级数——局部变整体

数项级数可看成是自变量取1的幂函数的结果。而幂函数有许多数项级数所没有的好性质，所以先在幂级数环境下进行研究，再把结论应用到对应的数项级数中，使纯粹的数项级数问题迎刃而解。明朝大学士杨溥的一幅拆字联“四口同圖，内口皆归外口管;五人共傘，小人全仗大人遮。”表达的意境类比这里的意图非常贴切——对整体成立的规律，对局部当然成立。

[例3]  计算[11！+12！+13！+…+1n！+…]

解：函数[f（x）=ex]展开成关于[x]的幂级数为：

[ex=1+1+12！x2+…+1n！xn+…       -∞<x<+∞]

在上面公式中，取[x=1]，则有

[e1=11！+12！+13！+…+1n！+…]

从而：[11！+12！+13！+…+1n！+…=e-1]。

（四）由指定数换成任意数——特殊到一般

某小区间是另一大区间的子集，对大区间内数字存在的规律，在子区间内固然也存在。把特殊现象提升为一般现象，针对一般现象视野更广阔，反而容易找到规律。

[例4]  有编号从1到88的88个球，甲乙轮流取。每次可以取一个球或相连编号的2个球。甲先取，规定：谁取到最后一把赢。甲应该如何取才能赢？

一般地，解决自然数问题可以通过以下四大步骤来完成：（1）问题一般化;（2）问题特殊化;（3）猜测规律;（4）证明结论。

以这个问题为例来说明四个步骤的具体应用：

步骤一，问题一般化：设有n个球。

把问题中88个球抽象提升为n个球。

步骤二，问题特殊化：

[n=1]时，只有1个球<G：＼学报排版＼2020-04＼2020年第四期黑白版＼image48_B_1.JPG>，甲直接取走，甲方赢;

[n=2]时，有两个球<G：＼学报排版＼2020-04＼2020年第四期黑白版＼image49_B_1.JPG>，且1、2两号相连，甲可直接取走这两球，甲赢;

[n=3]时，有三个球<G：＼学报排版＼2020-04＼2020年第四期黑白版＼image50_B_1.JPG>，甲抓2号球，剩下1、3号两球留给乙，还是甲赢;

[n=4]时，有四个球<G：＼学报排版＼2020-04＼2020年第四期黑白版＼image51_B_1.JPG>，甲抓中间2、3号两球，剩下1、4号两球留给乙，還是甲赢;

[n=5]时，有五个球<G：＼学报排版＼2020-04＼2020年第四期黑白版＼image52_B_1.JPG>，甲抓中间3号两球，剩下1、2、4、5号四球留给乙，…还是甲赢;

[n=6]时，有六个球<G：＼学报排版＼2020-04＼2020年第四期黑白版＼image53_B_1.JPG>，甲抓中间3、4号两球，剩下1、2、5、6号四球留给乙，…还是甲赢。

……

步骤三，猜测规律：

当n为奇数时，先取中间的那一个球;当n为偶数时，先取中间相连编号的两个球。

步骤四，证明猜测：利用数学归纳法。

（1）当n=1时，只有1个球，甲方取走即赢;

（2）假设当n=K时，若K为奇数时，甲先取中间的那一个球，剩下（K-1）偶数个球，无论乙怎么取，甲都采用对称原理，取走关于中心点对称的球，最后一把必归甲取，甲赢。

则当n=K+1时，（K+1）为偶数，甲方先取中间的两个球，剩下（K-1）还是偶数，由（2）则还是甲赢。

若K为偶数时，甲方先取中间的两个球，剩下（K-2）个球还是偶数个球，由上述，甲赢;则当n=K+1时，K+1为奇数，甲先取走中间的一个球，剩下K个球是偶数，由上述，则甲赢。

因此，对于任何自然数，若有奇数个球，则甲先取走中间一球;若有偶数个球，则甲先取走中间的两个球，都是甲赢。

利用上述结论，现在的问题中n=88，n为偶数，所以甲应该先取中间相连编号的两个球，即44号球和45号球，就可以取胜。

当n=99时，甲取何种策略就一定会获胜？读者分析试试。

（五）无穷级数升华为定积分——离散到连续

有些关于无限项和的极限问题，用两边夹法则不会成功，但若用定积分的定义法，却会有完美收官之作。级数和定积分都是关于无限项求和问题，通过求极限，把离散性问题转化为连续性问题。

[例5]  [limn→∞n[1（n+1）2+1（n+2）2+…+1（n+n）2]]求

分析：若用两边夹法则，构造如下不等式：

[14←n2（n+n）2i=1ni（n+i）2n2（n+1）2→1]

只能得到原极限介于[[14， 1]]之间，而得不到准确结果，解题失败。

若构造定积分定义式，则有：

[limn→∞n1（n+1）2+1（n+2）2+…+1（n+n）2=limn→∞i=1nn（n+i）2=limn→∞i=1n1（1+in）2⋅1n= 0 11（1+x）2dx=-11+x10=12]

（六）具体初等函数提炼成复合抽象函数——具体到抽象

三角函数有很多诱导公式，当它与线性函数结合在一起组成复合函数时，会形成新的性质，产生意想不到的简化效果。

[例6]  求[0πxsin3x1+cos2xdx]

分析：联想到题目：设[f（x）]在[[0，π]]连续，证明：

[0πxf（sinx）dx=π20πf（sinx）dx]

先证明之，再应用之[5]。

（1）证明：令[x=π-t]，则[t=π-x]

[0πxf（sinx）dx=0π（π-t）f[sin（π-t）]d（π-t）=0π（π-t）f（sint）dt=π0πf（sint）dt-0πtf（sint）dt=π0πf（sinx）dx-0πxf（sinx）dx]

移项得

[0πxf（sinx）dx=π20πf（sinx）dx]

（2）应用

[0πxsin3x1+cos2xdx=π20πsin3x1+cos2xdx=-π20πsin2x1+cos2xd（cosx）=-π20π1-cos2x1+cos2xd（cosx）=π20π（1-21+cos2x）d（cosx）=π2（cosx-2arctan cosx）π0=π22-π]

（七）由通项扩充成多项和——单一到无限

若整体具有某性质a时，构成整体的单元必具备性质b。于是要证明单元具有性质b，只要证明（1）整体具有性质a;（2）单元是整体的一部分。

[例7]  证明[limn→∞2nn！nncos2nπ5=0]

分析：利用级数[n=1∞un]收敛的必要条件[limn→∞un=0]，先证明级数[n=1∞un]收敛[6]。

证明：设[un=2nn！nncos2nπ5]只须证明正项级数[n=1∞un]收敛。因为

[un=2nn！nncos2nπ5≤2nn！nn=Vn]

又[limn→∞Vn+1Vn=limn→∞2n+1（n+1）！（n+1）（n+1）⋅nn2nn！=2e<1]

由比值判别法知[n=1∞Vn]收敛，又由比较判别法知[n=1∞un]收敛，再由收敛的必要条件得：

[limn→∞2nn！nncos2nπ5=0]

（八）由常数变易成函数——常量到变量

若结论中同时出现[f（ξ）， f′（ξ）]（或[ξ， f′（ξ）]）时，一般用微分方程思想，先作替换[f（ξ）y， f′（ξ）=y′， ξ=x]构造微分方程，求出通解，从通解中解出常数C，再直接把C改写成函数F（x），函数即构造成功。这种方法叫常数C法，也叫常数变易法。

[例8]  设函数[f（x）]在[0，1]上连续，在（0，1）内可导，且[f（1）=0]。证明：至少存在一点[ξ∈（0，1）]，使[（2ξ+1）f（ξ）+ξf′（ξ）=0]。

分析：把[（2ξ+1）f（ξ）+ξf′（ξ）=0]转换成[（2x+1）f（x）+xf′（x）=0]

进一步转换成微分方程：[（2x+1）y+xy′=0]。

由公式法解此微分方程得：[y=ce-2x-lnx]，即：[y=cxe2x]

變形：[yxe2x=c]，其中，[y=f（x）]。

其中用到微分方程[y′+P（x）y=Q（x）]的通解公式：

[y=e-P（x）dxQ（x）eP（x）dx⋅dx+c]

证明：设辅助函数为：[F（x）=xf（x）e2x]，由于

（1）[F（0）=0， F（1）=f（1）e2=0     （已知f（1）=0）]

（2）函数[f（x）]在[0，1]上连续，在（0，1）内可导，由初等函数连续性和可导性易知，函数[F（x）]在[0，1]上连续，在（0，1）内可导。

根据罗尔定理，至少存在一点[ξ∈（0，1）]，使[F′（ξ）=0]，

而[F′（x）=（xf（x）e2x）′=e2x（xf′（x）+f（x）（1+2x））]

所以：[xf′（x）+f（x）（1+2x）=0]

即：[（2ξ+1）f（ξ）+ξf′（ξ）=0]

以进为退策略，其实是辩证哲学思想的体现，包含了从具体到抽象，又从抽象到具体的辩证转换;是从形而上到形而下的转变。解答某些数学题时要从整体出发，高屋建瓴，把握全局，从远处着眼，从近处着手，把具体题目引伸、扩充、延展到更高、更宽、更泛领域，视野更宽阔，理论更充分，力量更强大。把小题大做，貌似变难，其实变简，把不能解决的问题迎刃而解，有效提升大学生分析问题解决问题的能力。

参考文献：

[1]王开荣.浅说数学解题中以退为进策略的几种情形[J].数学大世界（高中版），2003：43-44.

[2]陈永耀.以退为进 精当转化——群研初中数学学困生的思维提升策略[J].中国数学教育，2018：47-52.

[3]G·波利亚.怎样解题[M].涂弘，冯承天，译.上海：上海科技教育出版社，2011.11（2019.7重印）：192.

[4]朱华伟，钱展望.数学解题策略（2版）[M].北京：科学出版社，2015：72.

[5]毛纲源.考研数学（数学二）常考题型及其解题方法技巧归纳[M].武汉：华中科技大学出版社，2004：232.

[6]金桂堂，杨俊萍.高等数学[M].北京：北京出版社，2014：227.

（责任编辑：王积建）