《反比例函数的应用》示范课案例解读

屈宗清

10月26日，我代表“国培计划”（2019）第五批项目县冷水滩区“送教下乡”培训团队在冷水滩区岚角山中学展示了一节示范课。本次送教下乡的对象是冷水滩区农村数学教师，主题是“课标指导下的教材单元整体教学设计及教学实践”。本节课以“送教下乡” 整体设计流程为模板，以单元整体教学设计为理念，历经三个月的时间，由送教下乡团队多位成员历经数稿共同打磨而成。

一、教材分析

（一）反比例函数章节是湘教版九年级上期第一单元。在此之前学生于八年级下期第三、四单元学习了《平面直角坐标系》和《一次函数》，对函数的基本概念、图象、作法、性质有了一定的认识，但函数的建模思想，数形结合的思想方法的体验与理解不够到位;而后九年级下期教材安排了《二次函数》章节。故此内容位于初中函数内容的中段，起着承上启下的作用。

（二）《反比例函数的应用》一课位于《反比例函数》一章的第三节第一课时。在此之前学生学习了反比例函数的概念、图象和性质、待定系数法求反比例函数的解析式等内容，但理解不甚透彻，运用不甚熟练，特别是对于现实生活中数学原理的运用，学生较为生涩。

教材分析部分分两部分：一、分析反比例函数单元在初中数学教学体系中的地位，承接前期的学习基础、为后续的学习提供的思维导向;二、分析《反比例函数的应用》一课在本单元中的地位。

二、学情分析

（一）本节课之前学生学习了反比例函数的概念、反比例函数的图象和性质、待定系数法求反比例函数的解析式。

（二）学生对反比例函数的性质的具体条件掌握不太熟练，用反比例函数进行说理的语言表达不严谨，逻辑不严密。

（三）在用函数思想解决实际问题时，学生对数学建模、数形结合、将反比例函数的建模思想进行类比推广等数学思想掌握不够。

学情分析部分主要预设学生在学习过程中可能出现的问题，为教学过程的具体实施提供导向。

三、教学目标

（一）知识与技能：能判断数量间的反比例函数关系;能求反比例函数的解析式;能运用反比例函数的图象和性质解决相关问题;能将反比例函数的建模思路推广至一次函数建模、二次函数（未来）、方程、不等式等建模问题。

知识与技能目标的设计着重体现本次“送教下乡”的主题，体现本堂课的建模思路在初中数学中的推广和应用。

（二）要素与素养：经历“实际问题——数学建模——拓展应用”的过程，提高学生发现问题、分析问题、运用反比例函数解决问题的能力;运用双曲线渗透数形结合的数学思想方法，培养学生将反比例函数知识应用于生活实际的数学思想。通过运用反比例函数知识解决实际问题的过程，体会数学来源于生活、服务于生活的应用数学的意识并加以推广。

（三）学习与发展：经历分析实际问题中变量之间的关系建立反比例函数模型进而解决实际问题的过程，体现数学的实用性，提高学习数学的意识。通过探究合作交流展示过程，提高学生探索精神和创新意识，养成良好的学习习惯。

四、教学重点

综合运用反比例函数的图象和性质解决有关问题

五、教学难点

能够分析实际问题中的数量关系，建立反比例函数模型，综合运用反比例函数的图象和性质解决实际问题。

六、教学过程

（一）复习导入

1.知识链接

⑴反比例函数的概念：一般地，形如 （K是常数K≠0）的函数叫做反比例函数。

⑵反比例函数的图象及其性质。

反比例函数的图象是双曲线

反比例函数：当k>0时，两支曲线分别在_________，在每一象限内，y的值随x的增大而______。当k<0时，两支曲线分别在_________，在每一象限内，y的值随x的增大而______。

（设计意图：从知识点角度复习反比例函数的概念和性质）

⑶甲乙两地相距200千米，一辆汽车从甲地驶往乙地，汽车的平均速度x（千米/小时）和所用的时间y（小时）之间的关系为

⑷请列举一个你喜欢的反比例函数，使它的图象的两支分别在第一、三象限。

⑸已知变量y与x成反比例函数，且其图象经过点（4，-5），则反比例函数的解析式为       ;已知点（2，a）在反比例函数的图象限上，则a=         。

（设計意图：从习题角度复习反比例函数的概念和性质）

⑹小结：

2.问题情境

求生专家埃德·斯塔福特在一次荒野求生中需要穿过一条冰封的河流。当行进到河流中央时，埃德发现脚下的冰面产生了裂纹。为了逃生，下列选择最恰当的处理方式是：

A.踮着脚，慢慢走向河岸

B.迅速平趴，张开双手双脚，爬向河岸

C.我有更好的建议

请结合物理学和数学相关知识说明你选择的理由。

（设计意图：通过观看视频导入新课，易于抓住学生的注意力，案例来源于生活，易于被学生接受。A、B选项具有对比性，用于切入本堂课的主题，C选项为思路活跃的学生留有余地，也保证了本堂课的发散性。）

（二）新知探究：

1.小组合作，推荐代表展示成果。

分析：（1）解决上述问题需用哪些物理学知识？它们之间有什么关系？你能写出它们三者之间的关系式吗？

（2）本题中A、B三种不同的逃生方式中上述哪种量近似不变？改变的是哪种数量？埃德·斯塔福特需要改变哪种量来保证自己的安全？

（3）你能用数学知识来解释这个物理学问题吗？

a、在压力不变的情况下（假定压力为400牛顿），压强和受力面积是什么函数关系？

b、请画出这个函数的图象。（设计意图：通过画图，进一步培养学生的函数观念，以及用变化的角度来解决问题的思维方式。）

c、你能用反比例函数的相关性质结合图形来解释这个物理学问题吗？

（4）小组讨论方案A的可行性。（提示：注意运用函数知识说明理由）

（5）总结归纳：

生活实践——数量关系——函数建模——解决问题

（设计意图：以上为本堂课的核心内容，着重训练学生由生活实例抽象出数量关系，由数量的定、变量关系概括出函数关系，再运用函数关系解决实际问题的思维方式，以后续的课堂练习、推广应用打下基础。）

2.知識迁移：

你能根据玻意耳定律（在温度不变的情况下，气体的压强p与它的体积V的乘积是一个常数k（k>0），即pV=k）来解释，为什么使劲踩气球时，气球会爆炸？

先由学生小组讨论，然后由小组代表回答，最后教师引导总结：

由pV=k可得， ，p是V的反比例函数，当使劲踩气球时，随着气球体积减小，气体的压强p增大，所以气球会爆炸。

（设计意图：由上述的总结归纳进行推广应用，借以培养学生语言表达能力及表述时的思维的严密性。）

（三）课堂练习

下表为九年级一班物理实验中测量的电流（I）与电阻（R）的对应数据表。观察下表，回答问题：

（1）猜想电流（I）和电阻（R）的关系，并写出电流I关于电阻R的表达式。

（2）完成上表。

（3）怎样调整电路中的电阻R，使电路中的电流I增大？

（四）反馈内化

1.知识网络构建

生活情境——数量关系——函数建模——解决问题

（设计意图：利用此环节将本堂课建立的模型推广到其他函数、方程、不等式等其他数学模型，增强本课思维模型的普适性。）

2.收获与疑惑

本节课我们学到了什么？启发学生谈谈本节课的收获。

⑴利用反比例函数的知识解决实际问题，首先找出数量关系，再转化为函数关系式，利用待定系数法求出解析式，再根据解析式解得。

⑵反比例函数与实际问题紧密相联，了解了数学在其他学科中的应用，特别是为讨论一些物理量之间的关系打下良好的基础。

⑶从埃德·斯塔福德身上学习勇于面对困难、珍爱生命等精神。

（五）学海拾贝

1.下列各点在反比例函数y= 上的是

A.（3，2）   B.（-3，2）  C.（3， ）  D.（- ，3）

2.已知y与2（x+1）成反比例，且 x=1时y=3，那么当x=0时y=      。

3.教师节来临之际，班委会用500元购买同种鲜花送给各位科任老师，试写出鲜花支数y（支）与单价x（元/支）之间的函数关系式。

4.日常生活中的许多现象应用了反比例函数，下列现象应用了反比例函数的有（   ）

（1）刀越磨越锋利;（2）台灯的亮度可以调节;（3）汽车负载越重，行驶得越慢;（4）气球可以飞上天。

A.1个    B.2个    C.3个    D.4个

5.在埃德冰面求生的问题中，本节课我们从增大受力面积的角度用反比例函数知识解决了问题，请问能否换个角度来达到求生的目的呢？

（设计意图：照应前文，进一步深化本堂课的思维模型的拓展，用正比例函数的性质解决问题。）

（六）必做作业P16 A组：1

（七）选做作业：

如图A是反比例函数y= （x>0）图象上任意一点，AB平行于 x轴交反比例函数y=- （x<0）的图象于点B，P为x轴上一点，求三角形ABP的面积。

七、板书设计

综上所述：

课前，我花费大量心思备学生，力求创造师生共同学习，以学生为主体教师适时点拨的自主学习课堂。由于是异地授课，又是农村学生，我担心学生没见过几十位老师在现场听课的大场面，会因为紧张而冷场，于是我课前分组时加入了一个小游戏——听组号站立、坐下，并为激励学生，准备了一套《数学奥赛题解》作为奖品送给表现突出的小组。现场反馈，这种方式效果不错，值得我今后继续完善使用。

本课由复习——情境导入——新知探究——课堂练习——反馈内化——学海拾贝——作业几个环节组成。本堂课采用视频导入的方式切入课题，在农村中学中并不常见，实践中效果不错。而后的问题抛出，既紧密贴合视频，又充分体现本堂课的主题，是本堂课设计中的一个亮点。由于课前准备充分，预案考虑周到，学生的各种回答均在我掌控之中，故此环节既体现了学生的主体作用，又很好地把握住了本堂课的实质（没有跑马），此环节自我较为满意。

本节课作为此次“送教下乡”的示范课，目的是为了示范“反比例函数的应用”这一课时在《反比例函数》这一章及初中数学中的地位。故我在本堂课的“反馈内化”环节设置了将本堂课的思想拓展为——“函数建模”可以变换为“一次函数建模”“方程建模”“不等式建模”“二次函数建模”等，提升了本堂课作为应用课的“建模”作用。学生学习了本堂课之后，可以将此课的模式推广到其他数学模型，增强了本堂课的普适性。