自由来流中展向速度对流动稳定性的影响

李 佳

(唐山学院 基础教学部，河北 唐山 063000)

为了解决工程实践问题，学者们对二维平板边界层扰动的问题进行了研究，但对自由来流的速度不垂直于平板前缘时的三维边界层问题，如后掠翼和偏航翼等研究较少。三维边界层在自然界中是普遍存在的，因此研究三维边界层的流动稳定性特征具有重要的理论和实际意义。

流动稳定性是指流动对作用在其上的小扰动的响应问题，主要有两种解决方法：能量法和小扰动法。从1883年Reynolds在圆管流动中发现层流和湍流开始，稳定性理论逐步发展，并不断完善。19世纪有了无粘流的稳定性理论，但是无法解释边界层、槽道流中的转捩问题。20世纪初，Orr和Sommerfeld建立了粘性流体的小扰动O-S方程，Tollmien和Schlichting计算出了边界层中小扰动的T-S波。Brown[1]，Mack[2]，Malik等[3]先后采用数值方法求解O-S方程。目前二维边界层的研究比较成熟，Rist等[4]采用直接数值模拟的方法研究了平板边界层的控制转捩，结果与实验模拟的转捩过程一致；Markus[5]采用空间模式模拟了有压力梯度下的边界层转捩过程；Fasel[6]等对不可压边界层空间模式的转捩过程研究作出了很多贡献。在国内，唐洪涛等[7]基于时间模式，李宁[8]、李佳等[9-10]基于空间模式数值模拟了平板边界层的稳定性及转捩问题；赵耕夫等[11-12]针对三维边界层问题研究了旋转圆锥超音速三维边界层的横流不稳定性和壁面冷却对稳定性的影响，以及点源产生的孤立波包在后掠翼平板边界层中的演化特征，并计算了波包的增长路径；刘坤坤等[13]以NLF(2)-0415翼型为研究对象，计算了展向无限长后掠机翼的基本流场，对复杂构型进行了横流不稳定性转捩预测；沈露予等[14]研究了三维边界层内定常横流涡、无限长后掠平板边界层的感受性问题。本文将采用线性稳定性理论研究三维平板边界层的计算问题。

1 计算模型

平板边界层的计算域和坐标系如图1所示。自由来流的方向与平板是平行的，与平板前缘有一定的夹角，将速度分解为两个方向的速度，与平板前缘方向垂直的来流速度分量记为U∞，与平板前缘方向平行的来流速度分量记为W∞。流向x沿着平板的长度方向且与平板前缘垂直，法向y垂直于平板，展向z沿着平板的宽度方向且与平板前缘平行，流向、展向和法向的计算域长度分别为Lx，Ly，Lz，在x，y，z三个方向的速度分量分别用u，v，w来表示，x0为计算域的入口距离平板前缘的位置。

图1 平板边界层的计算域和坐标系

2 基本流

因来流的方向不垂直于平板的缘故，所以这是三维边界层问题。在这个问题中，对三维纳维斯托克斯方程(N-S方程)进行量级估计，可以得到如下结论[15]：关于y方向的动量方程中，得到的∂p/∂y很小，可以略去，压力只是依赖于x和z。关于x和z方向动量方程的各个摩擦项对流向x和展向z的导数与对法向y的导数相比，前二者可以略去不计。因此，三维定常不可压缩边界层方程为：

(1)

壁面和无穷远的边界条件是：

(2)

自由来流U∞=const；W∞=const，且自由流动不依赖于x和z，此时方程(1)可以进一步简化为：

(3)

16从方程(3)的形式上来看，将第二个式子中的w换成u后与第一个式子相同，且第三个式子中不含有w，因此在求解方程(3)时可以先联立方程的第一个和第三个式子，这两个式子为二维定常不可压缩边界层方程，可由布拉休斯相似性解(Blasius similarity solution)求解出基本流u和v，再由u(x，y)和w(x，y)的关系式w/u=W∞/U∞得到w(x，y)，就可以求解出三维的平板层流解。

采用FORTRAN编写程序，应用Tecplot数据软件进行后处理，针对自由来流速度W∞和U∞存在不同的比例关系计算了4种情况，分别为W∞/U∞等于0.1，0.5，0.8和1.0。图2给出了4种情况下入口处的基本流分布及其相应的一阶、二阶导数，以边界层的外缘速度U∞作为速度的尺度因子。

(a)W∞/U∞=0.1 (b)W∞/U∞=0.5

3 稳定性分析

针对W∞/U∞等于0.1，0.5，0.8和1.0这4种情况下的扰动进行流动稳定性分析。4种情况的计算参数见表1。

表1 4种情况的计算参数

图3和图4分别显示了4种情况下流向波数和增长率随着流向位置的变化，并与二维边界层相同参数扰动波的结果进行比较。图3中的αr为流向波数，三维边界层的αr均小于二维边界层，并随着W∞/U∞的增大，αr是逐渐减小的。图4中的-αi为扰动波的增长率，可以看出，在入口处二维边界层的增长率大于三维边界层的增长率，随着W∞/U∞的增大，增长率是逐渐减小的，在扰动演化的后期，后边的流向位置处三维边界层的增长率均大于二维边界层的增长率，并且随着W∞/U∞的增大，增长率是逐渐增大的。在整个流向位置，W∞/U∞越大，增长率变化的梯度越大，流动越不稳定。

图3 流向波数

图4 增长率

图5给出了4种情况的特征函数。可以看出，特征函数|u′|和|v′|的形状基本保持不变，而|w′|的变化比较显著，|w′|的形状基本没变，但是大小变化很大，随着W∞/U∞的增大，|w′|越来越大，当W∞/U∞=0.8和W∞/U∞=1.0时，|w′|超过了|u′|。

(a)W∞/U∞=0.1 (b)W∞/U∞=0.5

图6显示了4种情况下扰动波幅值随着流向位置的变化，并与二维边界层相同参数扰动波的幅值进行比较。扰动波的初始幅值均为1×10-4，随着扰动的演化，不稳定扰动波的幅值都增长起来，在所有流向位置，三维边界层扰动波的幅值均大于二维边界层扰动波的幅值；并且可以得到，随着W∞/U∞的增大，幅值增长得越快，在计算区域内，W∞/U∞=1.0时幅值增长得最快，最终增长为4×10-3，增大了40倍。

图6 扰动波的幅值比较

4 结论

本文采用线性稳定性理论研究了三维平板边界层中展向来流速度对流动稳定性的影响，基本流中给出了展向速度的大小，从特征值、特征函数和扰动波的增长幅值上显示不同展向来流速度的计算结果，并和无展向来流速度的二维边界层进行比较，得到了以下结论：①展向来流速度不同，流向波数不同，展向速度越大，流向波数越小；②展向来流速度不同，增长率不同，入口处的增长率随着展向速度增大而减小，但在演化后期，增长率随着展向速度增大而增大，均大于二维边界层增长率，即展向速度越大，增长的梯度越大，流动越不稳定；③展向来流速度不同，扰动波的幅值增长不同，展向速度越大，幅值增长的越大，流动稳定性越差。