平面六杆机构的运动仿真研究

2020-09-14张聚涛

唐山学院学报 2020年3期

关键词：子程序曲柄示意图

张聚涛，王庚

(唐山学院教务处，河北唐山 063000)

连杆机构在实际生产、生活中有着广泛的应用，其传统的设计方法繁琐复杂，通过计算机辅助设计可以实现连杆机构运动和连杆曲线动画演示[1]，对提高设计速度和质量有重要意义。

1 平面六杆机构模型的创建

图1为平面六杆机构，此六杆机构是在五杆机构的基础上，加入杆2，再在杆1与杆2之间加入一对齿轮，其他各杆采用铰接传动。要想对图示的六杆机构进行运动仿真，首先要分析其杆1，杆2和杆5在运动时曲柄的存在条件。

图1 平面六杆机构示意图

2 平面六杆机构中曲柄的存在条件

2.1 曲柄存在的充分条件

六杆机构首先要满足其装配条件[2]。当图1的六杆机构运动到极端位置时，杆3和杆4组成的三角形CDE只要满足三角形构成的边长定理，六杆机构即可满足装配条件。

l3+l4≥lmax，

|l3-l4|≤lmin。

其中，l3，l4分别为杆3和杆4的长；lmax，lmin分别为CE两点间的最大距离和最小距离。

只要图1六杆机构在不同极端位置时CE两点之间的最大距离lmax和最小距离lmin满足装配条件，即可确保杆1，杆2和杆5都为曲柄。

设图1六杆机构中杆1，杆2，杆5，杆6的长分别为l1，l2，l5，l6，杆5的旋转半径为R=l5，杆1和杆2的最大旋转半径为R1=l1+l2，杆1和杆2的最小旋转半径为R2=|l1-l2|。下面分情况讨论六杆机构运动到极端位置时，lmax和lmin的大小。

2.1.1 当l1+l2≤|l5-l6|时

情形1

lmax=l1+l2+l5+l6，lmin=l6-l1-l2-l5。

情形2

lmax=l1+l2+l5+l6，lmin=l5-l1-l2-l6。

2.1.2 当|l5-l6|≤l1+l2≤l5+l6时

情形3

lmax=l1+l2+l5+l6，lmin=0。

情形4

lmax=l1+l2+l5+l6，lmin=0。

2.1.3 当l1+l2≥l5+l6且|l1-l2|≤|l5-l6|时

(1)max(l1，l2)

情形5

lmax=l1+l2+l5+l6，lmin=l1+l2-l5-l6。

情形6

lmax=l1+l2+l5+l6，lmin=l1+l2-l5-l6。

(2)max(l1，l2)>max(l5，l6)

情形7

lmax=l1+l2+l5+l6，lmin=l6+|l1-l2|-l5。

情形8

lmax=l1+l2+l5+l6，lmin=l5+|l1-l2|-l6。

2.1.4 |l1-l2|≥|l5+l6|且l1+l2≥l5+l6时

情形9

lmax=l1+l2+l5+l6，lmin=0。

情形10

lmax=l1+l2+l5+l6，lmin=0。

2.1.5 |l1-l2|≥(l5+l6)时

情形11

lmax=l1+l2+l5+l6，lmin=|l1-l2|-(l5+l6)。

情形12

lmax=l1+l2+l5+l6，lmin=|l1-l2|-(l5+l6)。

将上述12种情形的极值代入到装配条件公式，综合分析可得杆3和杆4的取值范围。杆3和杆4满足这个取值范围，可保证杆1，杆2与杆5为曲柄，即六杆机构曲柄存在充分条件为：

(1)l1+l2≤|l5-l6|时，l1+l2+l5+l6≤l3+l4，|l5-l6|-(l1+l2)≥|l3-l4|。

(2)|l5-l6|≤l1+l2≤l5+l6时，l1+l2+l5+l6≤l3+l4，|l3-l4|≤0。

(3)l1+l2≥l5+l6且|l1-l2|≤|l5-l6|时，(a)max(l1，l2)max(l5，l6)，则l1+l2+l5+l6≤l3+l4，|l5-l6|-|l1-l2|≥|l3-l4|。

(4)|l1-l2|≥|l5-l6|且l1+l2≥l5+l6时，l1+l2+l5+l6≤l3+l4，|l3-l4|≤0。

(5)|l1-l2|≥|l5-l6|时，l1+l2+l5+l6≤l3+l4，|l1-l2|-(l5+l6)≥|l3-l4|。

2.2 曲柄存在的必要条件

平面六杆机构夹角情况如图2所示。

图2 平面六杆机构夹角示意图

C，E两点的坐标为：

Cx=l1cosα1+l2cosα2，Cy=l1sinα1+l2sinα2；Ex=l6+l5cosα5，Ey=l5sinα5。

则杆1与杆5两原动件按一定规律运动时，CE之间的距离l满足：

l2=(Cx-Ex)2+(Cy-Ey)2=l12+l22+l52+l62+2l1l2cos(α1-α2)-2l1l5cos(α1-α5)-2l2l5cos(α2-α5)+2l6l5cosα5-2l6l1cosα1-2l6l2cosα2。

3 平面六杆机构的动态演示

依据连杆机构组成原理，可把图1六杆机构拆解为一级杆组和二级杆组(如图3所示)，通过确定一级杆组和二级杆组端点位置坐标之间的函数关系，来确定六杆机构各端点的位置[3]，然后编制一级杆组和二级杆组的程序进行解析计算，求得D点坐标轨迹。

图3 平面六杆机构的结构分析

3.1 一级杆组子程序Crank_w的解析计算

一级杆组示意图如图4所示。

图4 一级杆组示意图

设杆长pq为l，求得杆长在X，Y轴上的投影方程为：

c(i)=lcosθ，s(i)=lsinθ。

P点坐标为：

x(q)=x(p)+c(i)，y(q)=y(p)+s(i)。

3.2 二级杆组子程序Crank_w的解析计算

二级杆组示意图如图5所示。设杆CD的长度为li，杆DE的长度为lj，C点的位置为(xc，yc)，E点的位置为(xe，ye)，求D点的位置(xd，yd)。

图5 二级杆组示意图

内运动副D的矢量方程在X，Y轴上的投影方程为：

xd=xc+licosφi=xe+ljcosφj，

yd=yc+lisinφi=ye+ljsinφj。

或写成：

ljcosφj=licosφi-(xe-xc)，

ljsinφj=lisinφi-(ye-yc)。

将上两式两边分别平方后相加整理得：

Aocosφi+Bosinφj-Co=0。

连杆机构能够装配，必须同时满足曲柄存在条件公式。

又因为：

则原式化为：

实际中杆1和杆5旋转时有逆时针和顺时针两种运动情况，因此φi有正负两种取值，上式得：

(Ao+Co)。

当C，D，E为顺时针排列时，取m=+1；当C，D，E为逆时针排列时，取m=-1。

为了求出构件lj的角位置，可先求出D点的坐标值。

xd=xe+licosφi，

yd=ye+lisinφi。

于是便得到：

φj=arctan[(yd-ye)/(xd-xe)]。

3.3 仿真演示

通过给定各杆的长度l1，l2，l3，l4，l5，l6，初相位角φi，φj和角速度ω，以及编制的一级杆组和二级杆组子程序Crank_w可得各端点的位置，调用子程序DRAWLINE可以画出各杆的位置和D点的一个轨迹点，然后用Delphi编程的TIMER控件产生等时长的脉冲，不断地重绘直线和点，从而产生动画效果，并得到D点的轨迹，如图6所示。