n维空间耦合高阶非线性Schrödinger方程组的整体解

郭翠花,王海龙

(山西大学 数学科学学院,山西 太原 030006)

其中a,b是实数,α,β >1,m是正整数。u=u(t,x),v=v(t,x),φ(x)及ψ(x)均为复值函数。

0 引言

非线性Schrödinger方程在量子力学、非线性光学以及流体力学的各种问题都得到了广泛的应用。由于它具有孤立子解的许多性质,引起了许多人的关注。文献[1-4]研究了两个波在通过3次非线性光学媒质时的相互作用,建立了非线性Schrödinger方程组模型。在研究两个波在一般的光学媒质相互作用时,在文献[1-4]建立的非线性Schrödinger方程组模型的基础上,文献[5-6]将非线性Schrödinger方程组变为

其中u=u(t,x)和v=v(t,x)分别表示非线性光学媒质中两个相互作用波的复振幅,a,b是实参数,α,β>1。文献[7]研究了这一方程组在Lp1×Lp2空间中整体解的适定性。对于低阶Schrödinger方程的研究结果非常多,高阶Schrödinger方程的研究也不少,文献[8]中,Guo等利用能量方法给出一类四阶Schrödinger方程在空间C(R;L2(Rn))与C(R;H2(Rn))的整体适定性。文献[9]中,Miao通过引入高阶Schrödinger方程容许对,利用时空估计及非线性函数的估计,证明了一类2m阶非线性Schrödinger方程在C(R;Hm(Rn))的整体解。文献[10]中Saanount利用能量方法得到了一类2n阶Schrödinger方程在C(R;Hn(R2n))整体解的适定性。文献[11]中Saanount利用Banach不动点定理证明了一类2k阶非线性Schrödinger方程在Lq((0,T*);Hk,r(Rn))中的解的局部存在唯一性,一些特殊情形下在C(R;Hk(Rn))空间中的整体存在性以及散射理论。文献[12]讨论了一类四阶五次非线性项的高阶Schrödinger方程的解析解。

本文在上述空间耦合非线性Schrödinger方程组Cauchy问题的基础上,证明了在n维空间中下述方程组(1)在Sobolev空间W1×p1×W1×p2中整体解的存在唯一性,同时得到了解关于初值的连续依赖性以及解的衰减估计:

(1)

其中a,b是实数,α,β>1,m是正整数。u=u(t,x),v=v(t,x),φ(x)及ψ(x)均为复值函数。

本文中我们还将用到空间参数指标p1>1,p2>1满足

(2)

以及另外两个满足下述条件的参数θ1,θ2，

(3)

问题(1)利用Fourier变换可以写成以下的等价积分方程形式

(4)

其中S(t)=ei(-Δ)mt=F-1(ei|ξ|2mtF·)是Schrödinger方程的自由群。

线性Schrödinger群S(t)=ei(-Δ)mt具有下列性质(见文[13]):

(5)

本文的主要结果有2个:

(6)

定理2 在定理1的前提下,如果初值φ1=(φ1,ψ1),φ2=(φ2,ψ2)满足定理1的条件,U1=(u1,v1),U2=(u2,v2)分别是方程组(1)或(4)满足初始条件φ1和φ2的解,则

tθ2‖v1(t)-v2(t)‖W1,p2}≤

(1-CMα+β)-1N(φ1-φ2)。

(7)

此外,初值φ1和φ2满足

(1+t)λN(φ1-φ2)<+∞ ,

(8)

则

tθ2‖v1(t)-v2(t)‖W1,p2}≤

(1-CMα+β)-1(1+t)-λ,

(9)

其中λ+θ1α+θ2(β+1)<1,λ+θ1(α+1)+θ2β<1,λ>0。

1 预备知识

引理1 假设α,β>1,p1>1,p2>1满足(2)式,θ1和θ2满足(3)式,则下列结论成立

(10)

1-θ1α-θ2(β+1)>0 ,

(11)

1-θ1(α+1)-θ2β>0 ,

(12)

(13)

(14)

证明由于α,β>1,所以(2)式中pi非空。

θ1α+θ2(β+1)=

所以(11)式成立。

所以(13)式成立。同理可证(14)式成立。引理1证毕。

下面给出非线性项的估计。

引理2 在引理1的条件下,同时u，v是复值函数,则

(15)

和

(16)

‖|u|α-1‖r1‖|v|β+1‖r2‖u‖p1=

其中

同理可得

因此有

即(15)式成立.与上面过程类似,可得

即(16)成立。引理2证毕。

引理3 在引理1的条件下,且u1,u2,v1及v2均为复值函数,则

(17)

‖|u1|α+1|v1|β-1v1-

(18)

证明根据定义,有

‖|u1|α-1u1|v1|β+1-

C{‖|u1|α-1|v1|β+1u1-

(19)

下面我们主要估计

‖|u1|α-1|v1|β+1u1-

而

‖|u1|α-1|v1|β+1u1-

‖|u1|α-1|v1|β+1(u1-u2)+

|u1|α-1(|v1|β+1-|v2|β+1)u2+

|v2|β+1(|u1|α-1-

(20)

所以我们将分别估计Ⅰ-Ⅲ。

‖|u1|α-1‖r1‖|v1|β+1‖r2‖u1-u2‖p1≤

其中r1,r2同引理2中的证明一样。

‖|v1|β+|v2|β‖r4‖u2‖p1≤

‖v1-v2‖W1,p2,

其中，

以及

C‖|v2|β+1|u1-u2|

|u2|α-2‖r6‖u2‖p1≤

其中，

把上述得到的三个结论代入(20)式得

‖|u1|α-1|v1|β+1u1-

(21)

同理可证

(22)

(23)

(24)

把(21)-(24)代入(19)式,得到结论(17)。

与上面证明过程类似可证(18)式成立。引理3证毕。

2 主要结果的证明

定义映射:Tφ(U)=(Fφ(U),Gφ(U))其中

Fφ(U)=S(t)φ-

Gφ(U)=S(t)ψ-

定义度量空间(XM,d)为XM={U∈X:‖U‖X≤M},距离d(U1,U2)=‖U1-U2‖X,U1,U2∈XM.

下证映射Tφ(U)是空间XM上的严格的压缩映射。

易证XM是完备的度量空间。

对任意的U∈XM,利用积分方程(4),由公式(5)及引理2,我们可以得到

‖S(t-τ)|u(τ)|α-1u(τ)|v(τ)|β+1‖W1,p1dτ,

‖|u(τ)|α-1u(τ)|v(τ)|β+1‖W1,p1dτ

≤tθ1‖S(t)φ‖W1,p1+

≤tθ1‖S(t)φ‖W1,p1+

其中B(·,·)是Beta函数,由引理1知tθ1‖Fφ(U)‖W1,p1≤tθ1‖S(t)φ‖W1,p1+CMα+β+1。

同理可得

tθ2‖Gφ(U)‖W1,p2≤

tθ2‖S(t)ψ‖W1,p2+CMα+β+1。

‖Tφ(U)‖X≤N(φ)+CMα+β+1≤M,

所以Tφ(U)是空间XM到自身的映射。

再对任意U1,U2∈XM,利用积分方程(4),公式(5)以及引理1和引理3,得

tθ1‖Fφ(U1)-Fφ(U2)‖W1,p1≤

|u2(τ)|α-1u2(τ)|v2(τ)|β+1)‖W1,p1dτ

u1(τ)|v1(τ)|β+1-

|u2(τ)|α-1u2(τ)|v2(τ)|β+1‖W1,p1dτ

‖U1-U2‖X≤CMα+β‖U1-U2‖X。

同理可得tθ2‖Gφ(U1)-Gφ(U2)‖W1,p2≤CMα+β‖U1-U2‖X,和‖Tφ(U1)-Tφ(U2)‖X≤CMα+β‖U1-U2‖X。

定理2的证明记Tφ1(U1)=(Fφ1(U1),Gφ1(U1)),Tφ2(U2)=(Fφ2(U2),Gφ2(U2))。

由定理1可知Tφ1(U1)=U1,Tφ2(U2)=U2。与定理1的证明类似,可得

tθ1‖Fφ1(U1)-Fφ2(U2)‖W1,p1≤

N(φ1-φ2)+CMα+β‖U1-U2‖X,

和

tθ2‖Gφ1(U1)-Gφ2(U2)‖W1,p2≤

N(φ1-φ2)+CMα+β‖U1-U2‖X,

所以‖Tφ1(U1)-Tφ2(U2)‖X≤N(φ1-φ2)+CMα+β‖U1-U2‖X,从而‖U1-U2‖X≤(1-CMα+β)-1N(φ1-φ2),即(7)式成立。

下证(9)式成立。

由(5)式和引理3得

|u2|α-1u2|v2|β+1)‖W1,p1dτ≤

CMα+β(1+t)λ‖U1-U2‖X×

其中B(·,·)是Beta函数。

由引理1以及条件λ+θ1α+θ2(β+1) < 1有

|u2|α-1u2|v2|β+1)‖W1,p1dτ≤

CMα+β(1+t)λ‖U1-U2‖X,

从而

(1+t)λtθ1‖Fφ1(U1)-Fφ2(U2)‖W1,p1≤

(1+t)λtθ1‖S(t)(φ1-φ2)‖W1,p1+

|u2|α-1u2|v2|β+1)‖W1,p1dτ≤

(1+t)λN(φ1-φ2)+CMα+β(1+t)λ‖U1-U2‖X。

类似的证明过程可得

(1+t)λtθ2‖Gφ1(U1)-Gφ2(U2)‖W1,p2≤

(1+t)λtθ2‖S(t)(ψ1-ψ2)‖W1,p2+

|u2|α+1|v2|β-1v2)‖W1,p2dτ≤

(1+t)λN(φ1-φ2)+CMα+β(1+t)λ‖U1-U2‖X,

所以(1+t)λ‖Tφ1(U1)-Tφ2(U2)‖X≤(1+t)λN(φ1-φ2)+CMα+β(1+t)λ‖U1-U2‖X。

(1-CMα+β)(1+t)λ‖U1-U2‖X≤C,

即‖U1-U2‖X≤C(1-CMα+β)-1(1+t)-λ,所以(9)式成立。从而我们得到了定理2的衰减性结论。定理2证毕。