几何初步中角度问题的典型错误及对策研究*

于春艳 魏宝军 孙 丹

(1.重庆师范大学涉外商贸学院, 数学与计算机学院 重庆 合川 401520)(2.重庆市潼南实验中学校 重庆 潼南 402660)

1.引言

几何问题是初等数学中的重要研究对象，对培养学生的发散性思维能力、空间想象能力、逻辑思维能力、推理判断能力等数学素养有很大的作用，所以无论是在中考数学，还是高考数学中都将其作为重要考点。而作为考点的几何问题随之变成了难点，很多基础很好的学生也在几何问题上遇到困难或者无从下手，仅仅根据课标的要求，根据课本上的内容去教学、去学习是不够的，因此对几何问题的解题以及错题的研究就变得至关重要。

罗增儒在《解题分析——谈错例分析》一文中提出"解题错误的产生总有其内在的合理性"，所以教师能够弄清楚其中的合理成分，然后有针对性的、巧妙的引导学生避免错误是非常重要的。本文以2011年修订的全日制义务教育课程标准为依据，以真实性为原则，以还原学生的实际思维过程为基本，以找到解决对策为目标，对七年级数学几何初步中的角度问题进行错例研究。通过收集学生的平时作业以及考试中的几何初步错题，对在此部分内容学习过程中存在困难的学生进行访谈，与代课老师进行交流研究，发现学生在解决此类问题的过程中，出错的一大原因是解题过程中存在很大的审题障碍，这种审题障碍是具有普遍性的，这种读题、审题障碍对后续几何知识的学习造成了很大的负面影响。本文对主要的几种出错原因与障碍进行分类，给出了相应的解决对策。

2.错例分析

将教学过程中发现的错误答案和易出错问题进行整理，针对几何初步中的角度问题提出四种类型的错误，分别为审题障碍型错误、基础过程型错误、习惯性滥用条件型错误和心理暗示性增加条件型错误。针对以上四种具体的错误类型，本部分给出具体的例子，并对产生此种错误的原因进行了细致的分析与解剖。

2.1 审题障碍型错误。审题障碍性错误是指在审题的过程中发生的理解上的缺失和障碍，从而导致的解题错误。此种错误形成的因素往往很简单，对于基础较好的错题者来说，大多数情况下，只要能引导他读懂题目中的隐含条件，往往整个问题都迎刃而解。所以说，此种错误一旦出现，就是致命的。

几何问题本身就具有复杂性与综合性强等特点，将碎片化的已知条件进行筛选整合是解决此类问题的 关键。对于七年级学生来说，智力发展水平处于较低的层次，具体表现为逻辑能力比较差、知识迁移能力不足，不能够很好的把题目中给定的条件转化为解决问题需要的量与关系，对于稍加变动的题目条件与隐含的条件没有理解应用的能力，不能够将各种零散的信息加工处理，使其变为可被自己所使用的解决问题的工具。比如以下几种常见的情况：

情况1. 未发现题目隐含条件。很多学生在解一些有几何图形的角度问题时有一个疑问，明明题目中没有给出与角度有关的已知条件，但是却要求解某个角的具体度数，造成解题时无从下手。如：在解题时已知AB是线段，O是线段AB的中点，却反应不出隐含条件∠AOB=180°.

情况2. 找不到几何图形中的关键角。面对一些图形比较复杂的几何题目，很多学生看不清题目，不能有效的筛选关键信息，很难有效利用题目中已知条件，找到解题的突破口。例如，在求解图形中的角的度数的时候，复杂一点的几何图形中会包含多个角，有些学生因为找不到关键角，所以将每个角度都逐一讨论分析，浪费了解题时间，消耗了解题自信,导致最终的解题失败。如下例

将两副锐角分别为45°,45°和30°,60°的两个三角板的两个顶点如图重叠放在一起．

如在图1，当∠DAC=4∠BAD时， 求∠CAE的度数；

如图2，当∠ACE=3∠BCD时，求∠ACD的度数．

解 (1)因为∠BAD+∠DAC=90°,∠DAC=4∠BAD,

所以5∠BAD=90°,即∠BAD=18°.

所以∠DAC=4×18°=72°.

又因为∠DAE=90°,

所以∠CAE=∠DAE-∠DAC=18°.

(2)因为∠BCE=∠DCE-∠BCD=60°-∠BCD,∠ACE=3∠BCD,

所以∠ACB=∠ACE+∠BCE=3∠BCD+60°-∠BCD=90°.

解得∠BCD=15°.

所以∠ACD=∠ACB+∠BCD=90°+15°=105°.

这道题目的难度并不高，题目条件也比较明显，但是这道题目的得分率很低，大多数学生都能够写出一些分析过程，但是仔细研究他们写出的分析过程就会发现，解题过程中有很多用不上的多余结论，并没有紧紧围绕关键条件与关键问题进行分析讨论。犯了这种错误的一部分学生表示自己做错的原因是看不清图形，不知道题目条件怎么用，对他们来讲，这么多的题目条件并没有为解题提供便利，反而让自己找不到突破口。这种现象主要针对此类比较复杂、涉及的角比较多的几何图形问题。

正确的审题是解题成功的一半, 但是仍然有很多学生在成功审题之后的解题过程中犯了严重的错误导致解题失败。

2.2 基础过程型错误。解题是一个复杂的认知反馈活动，即使能够保证在审题时不出现以上几种错误，也不能保证一定能够得到完全正确的步骤与解题结果。因为在解题过程中也可能由于知识点掌握不牢固，逻辑思维混乱，心理状况等情况导致解题失败或错解。在进行学习情况分析时，我们经常听到的一种措词就是"粗心"，需要引起大家注意的是"粗心"绝对不是指心粗，不是说学生性格等方面的问题。一般情况下，粗心所代表的其实就是学生在解题过程中犯的一些简单错误的行为，这些错误往往比较低级，很多学生可能很容易就能发现或者能纠正这类错误，所以比较容易忽视，事实上，任何错误都有其内在的合理性，这些划分到"粗心"类中的错误往往就是因为知识点掌握不牢固、逻辑思维能力差、心理素质不稳定等原因。

2.3 习惯性滥用条件型错误。准确的理解并使用题目条件是解决几何问题的关键，对于初步接触复杂的几何问题的学习者，在解题过程中容易出现下述两种错误情况:

情况3. 错用多问题题目的条件与结论。面对多问题的题目，学生不理解多问题之间的关系，乱用错用题目条件导致解题失败。多问的几何问题，每个问题之间的关系可以是相关的，即前面问题中的条件有可能也是下一问题的条件，前一问题的结论也有可能可以作为下一问题的条件直接使用，但是在很多情况下，前一问题的条件与结论可能与后续问题没有直接联系或者毫无联系。初一学生第一次接触较为复杂的几何问题，很多人对于多个问题之间的关系是模糊的，混淆的，不清楚的，导致解题时相当盲目.

情况4. 心理暗示性增加题目条件。面对复杂的几何图形，很多学生会臆想题目中未给出的一些条件，比如将题目中未给出角度且没有直角符号标识的某个角度视为直角，将视觉上观察到的某两条线段当成相等线段，某两个角度当成相等角。受这些臆想的本不存在的条件的影响，得到一些错误的结论导致解题结果的错误。

情况5. 忽略作图的不唯一性。对于未给出图形的问题，会忽略作图的不唯一性，往往只考虑其中一个方面，忽视另一种可能，造成解题不完整不全面的问题。

例2 已知∠AOB=75°,∠AOC=2/3∠AOB,OD平分∠AOC，求∠BOD的大小。

解 因为∠AOB=75°，∠AOC=2/3∠AOB，

所以∠AOC=2/3×75°=50°.

因为OD平分∠AOC,

所以∠AOD=∠COD=25°.

如图1，∠BOD=75°+25°=100°;

如图2，∠BOD=75°-25°=50°

此题的易错点就是∠AOC的作图有两种可能的情况，一种是在线段OC的左侧，另一种是在线段OC的右侧。很多学生在做题的时候由于思维定势等原因会忽略线段OC的唯一性。

当然，上述几种错误情况并没有涵盖所有可能的错误情况，还有一些出现频率比较低，或简单的计算错误等不作为本文的研究重点。

3.归因分析及对策研究

本部分我们针对以上几种类型的错误情况进行归因分析，并针对不同的情况与原因给出比较具体，可实施的对策。

我们发现，对于情况1，如果让此问题单独存在，即不与其他因素与条件进行结合，几乎所有的学生都能够看出∠AOB=180^。这一结论，但为什么只需要稍微增加一些条件与问题，很多学生就理解不到这一点呢？对于情况2，在复杂的几何图形中，学生往往不能够准确找到题目中的关键角,但是如果在教师的引导或者提醒下却可以完整的解题。以上几种情况代表的审题障碍型错误的原因有以下几点：(1)基础知识理解不扎实。对所学的基础知识没有完全熟练掌握，在被动的情况下，通过老师同学的引导、暗示、提醒等，可以得到想要的结果，但是在没有人引导的情况下，具有很低的判断与分析能力，这都应该归因于对于基础知识的掌握与理解不扎实。 避免把数学教学当成解题的教学，要注重学生对基础知识，基础概念的的理解与掌握，增加教学评价方式的多样化，在讨论、探究、辩论的过程中可以更好地反映学生对具体问题的理解与思考，教师在教学过程中可以利用这个优势，通过讨论、探究、辩论等更加灵活的方式考查学生对基本概念、基本理论的理解程度。(2)在解题状态中缺乏高度集中的注意力。解数学题是一个需要高度精确的工作，所以在解题过程中需要解题者保持身心合一的状态,很多学生在解题的过程中并没有达到思维高度集中的状态，注意力分散，容易被别的事情干扰，这样的话，很容易在审题过程中发生错用、忽视题目条件，或者在解题过程中发生一些低级的过程性、结果性错误。培养或提高解题过程中的注意力不是单一的工作，通过提高学生对数学的理解与认识，形成良好的解题感觉可以保持注意力的集中。

对于情况3，情况4，情况5中解题条件的理解上存在的问题，形成的原因主要有以下几点(1)缺乏综合性几何问题的解题经验。对多问题题目的各个条件理解不到位，导致错用乱用条件与结论导致解题失败。 多问题几何题目中前面的问题是否可以作为其他问题的条件取决于第1个问题除了题目中的大条件之外有没有其他的附加条件，如果有附加条件，就要考察其他问题是否有完全一致的附加条件，否则不能作为条件与结论应用在其他问题的解答过程中。(2)思维定势不利于解决开放性几何问题。在长期解题或作图过程中会形成自己的解题与作图习惯，比如做角，有些学生习惯于在已知线段的左侧作图，那么对于很多开放性问题，他可能就想不到针对既有线段，既可以在左侧，也可以在右侧做出角。对于题目中没有给出图形，但是解题过程需要结合图形完成的这类题目，必须要考虑作图的不唯一性。(3)感知分析力差导致各条件的整合存在问题。在解决几何问题的过程中，很多学生把题目条件以及图形中的所有隐含条件都能够找到，但是却找不到各个条件之间的联系以及这种联系与解决题目核心问题之间的关系。感知分析力差往往与学情基础有很大的关系，可以通过先解决基础题目，再尝试复杂题目，先解决单问题题目再解决多问题题目等由简单到复杂的学习、教学模式，提升对各个知识点的感知分析力。