高中数学建模教学

单龙

数学建模是对实际问题本质属性进行抽象而又简洁刻划的数学符号、数学式子、程序或图形，它或能解释某些客观现象，或能预测未来的发展规律，或能为控制某一现象的发展提供某种意义下的最优策略或较好策略。而应用各种知识从实际问题中抽象、提炼出数学模型的过程，我们称之为数学建模，它的灵魂是数学的运用。作为基础教育阶段――高中，我们不但要让孩子们储备应对新高考的知识，更应该重视数学应用意识的早期培养，提高他们将数学理论知识结合实际生活的能力，进而激发他们学习数学的兴趣和热情。我们教数学不仅要让他们知道“课本里有数学”，更要让他们知道“生活中也有数学”;不仅要让他们知道“数学是什么？”，更要让他们知道“数学有什么用？”;不仅让他们知道了“数学有什么用”，还要教会他们“数学可以用在哪里？”为此，我觉得十分有必要从基础教育阶段就将数学建模的思想、理念渗透到数学教学中去，打造一种和谐的良性循环：“学数学-用数学-再学数学”。

作为数学教师，必须在课前精心备课，在掌握基础知识的基础上，将例题，练习精心设计，能与实际生活相结合的，应尽量设计进去，突出应用理念，培养学生将课堂知识活学活用，从课堂上渗透数学建模思想。

以下举一些本人的教学案例加以说明：

例如在《数列》一章中，为了让学生进一步熟悉掌握等比数列的通项公式，我们会这样举一简例：

此题目的无非是让学生直接应用等比数列的通项公式，代入求解。

我们不防将此例进一步变形为：

例2：某城市2005年底有人口100万，已知人口年增长率为1%，求到2025年该市的人口数。

此例赋予例1一定的实际背景，将等比数列这个条件隐藏其中，其实质还是考察等比数列的通项公式，但具有一定的实际意义。

而作为渗透数学建模的课堂教学，我们可以让学生解决下面这一问题：

例3：某市2015年初有常住人口100万，流动人口20万，已知流动人口的年增長率为1%，常住人口的年增长率为0.5%，请你预测到2065年初该市拥有的人口数。

这样的问题涵盖了课本要求的知识点，但同时，在解决这类问题的过程当中，不知不觉使学生提高了动手能力，培养了学生应用数学的意识，激发了学生学习的兴趣和动机，有利于提高学生分析和解决问题的能力。从而真正体现了数学建模与课本知识的融合。

下面是一个生活中积累的建模实例：

例4（射门问题）国际足联规定世界杯决赛阶段，比赛场地长105米，宽68米，足球门宽7.32米，高2.44米，试确定边锋最佳射门位置（精确到1米）.

面对这样一个陌生的问题情境，大多数学生都束手无策，教师可以设计以下几个探究方向：

1、到球场实地观察，边锋在球场上如何运动，一般在何处起脚射门？

2、向踢球经验丰富的同学请教足球的有关知识;

3、到图书馆查阅有关材料;

4、认真思考本题所谓的最佳射门位置在数学上的具体含义;

5、在此基础上考虑如何利用数学方法来解决这一问题.

分析：设边锋所在位置为M，最佳射门位置为M对球门AB水平视角最大，确定M点位置，即O M的长度，与足球场长度和球门高度无关.（附图）

取最大值，即取最大值为最佳射门位置.

利用现行的数学教材，向学生介绍一些常用的、典型的数学模型.如几何模型、三角模型、方程模型、不等式模型、数列模型等.教师应研究在各个教学章节中可引入哪些数学基本模型问题，如讲立体几何时可引入正方体模型或长方体模型把相关问题放入到这些模型中来解决;又如在研究物理学、工程测量、航海航空等应用问题时可以转化为三角函数模型来解决. 教师应该扩大自己的视野范围，因地制宜地收集、编制、改造适合自身学生使用，贴近学生生活际的数学建模问题，同时注意问题的开放性与可扩展性，尽可能地创设一些合理、新颖、有趣的问题情境来激发学生的好奇心和求知欲，使学生掌握相关类型的建模方法，提高数学的意识及应用数学方法和手段处理问题的能力.

在数学建模的课堂教学过程中，教师的主导作用体现在创设好的问题环境， 激发学生自主地探索解决问题的积极性和创造性上; 学生的主体作用体现在问题的探索、发现、解决的深度和方式尽量由学生自主控制和完成.它体现了教学过程由以教为主到以学为主的重心的转移.教师把握教学目标时应立足于学生对问题的分析，对解决问题过程的理解，而不仅仅以有正确的解答为首要目标.要让学生充分体验问题、困难、挑战、挫折、取胜的建模过程，并养成选择、判断、协作、交流的学习习惯，经历一个个学数学、用数学， 进而发现问题， 走向新的学数学、用数学的过程，从而培养能力、激发兴趣、形成学生主动学习的良性循环.要尽可能地通过数学建模活动，为尽可能多的学生提供参与解决实际问题的机会，及时鼓励这种参与，尽可能使学生通过问题解决的过程获得成功感，即使问题尚未真正解决.数学建模的成果可以为学生建立一种更表现学生素质的评价体系，只有在充满生命活力与和谐气氛的教学环境中， 师生共同参与、相互作用，才能摩擦出智慧的火花.要容许学生发展、验证他们自己的猜想和结论，猜想不一定是正确的，证实和证伪同样有意义、有收获、也同样重要.要注意每个学生的特长领域，引导学生在解决问题的过程中学会合作、学会优势互补发挥各自的特长.教师要不断扩大自己的视野并努力寻找适宜于学生使用的数学建模问题，做好每个问题解决过程的记录，学生成功的经验和自己在挫折中得到的教训对于今后的数学建模的教学设计有重要的价值.

数学建模的教学使学生走出考纲，走出课本，走出传统的习题演练，使他们进入生活、生产的实际当中，进入一个更加开放的天地;使学生体会到数学的由来、数学的应用，体验到一个充满生命活力的教学，这对于培养学生应用意识和创造精神显然是一个很好的途径.