“后练习”：数学课堂练习新思考

吉祥

摘  要：分析小学数学课堂练习的三个教学案例，环顾当前数学课堂练习中存在“碎”“小”“单”“假”等问题，提出一个泛概念——“后练习”。寻找“后练习”的心理机制，提出“后练习”内容追求多变，让学生内省反思;“后练习”方式多样，让学生体验过程;“后练习”层次多级，让学生爬坡生长;“后练习”时间多轮，让学生沉浸问题。

关键词：后练习;案例;心理机制;实践建构

先看以下三个教学案例：

案例1：在教学“小数的初步认识”时（苏教版三年级下册），某教师在练习环节中出示了这样一道问题：“下面哪些图可以用0.3表示？”约占全班人数70%的学生认为，①③④号图的涂色部分用0.3都可以表示，这个选择结果超过了教师们的预想。一道简单的“小数的初步认识”的选择题，学生的出错率如此之高，分析原因是学生对小数概念的本质未充分认识。授课教师一步一步追问：“你们是怎么想的呢？”发现学生仅仅考虑到了大小相等的三份，却忽略了平均分成10份这一前提条件，简单理解为“涂几份就是零点几”。

案例2：在进行两位数乘一位数“24×3=”的练习时，统计了一下学生的答案，得到“24×3=92”的学生并不少。教师误认为学生计算粗心，反复强调计算要细心，可下次计算学生仍然出现相同错误，为什么？还是要分析更深层次的原因：一种可能是“三四十二，写二进一，十位的2加上进位的1等于3，三三得九，变成了92”;另一种可能是“三四十二，写二进一，二四得八，加上进位的1，得9”;还有一种可能是算成了“23×4”;等等。一道问题的错误背后总是有原因的，原因也可能是多种多样的，这也是教学的不确定性。教学时直面学生的各种问题和错误，基于学生，尊重学生，让学生大胆地表达自己的真实想法，而不是教师用自己的教代替学生的想。教学需要多一些這样的声音：“你是怎么想的？”

案例3：两位教师设计的“24时计时法”练习题完全不同。一位教师直接提问：“5时，用普通计时法如何表示？”学生回答：“上午5时。”另一位教师创设情境：“老师和几个朋友相约外出游玩，买好了几张汽车票（电脑出示，车票上标明开车时间为5：00），老师打电话通知几位朋友，应该怎样说呢？”学生说：“（依照老师语气）喂，明天5时的汽车票，不要迟到噢！”（众笑）另一学生提醒道：“不能这样说，老师的朋友有可能认为是下午5时。应该说明天上午5时。”教师补充说：“想得真周到，日常生活中多用普通计时法。”学生补充说：“车票上没有说是上午、下午，两者都是有可能的。”“有这样的可能吗？”学生回答：“不可能！因为车票用的都是‘24时计时法，5时一定表示上午5时。”创设一个具体情境，让学生主动交流，大胆发表见解，未知的学生得到了补充，错误的认知得到了修正。

分析上述三个教学案例：一是练习要对教学漏洞进行有效补充。案例1中，教师在教学时未充分关注到一位小数是把图形平均分成十份，表示这样的几份，练习时学生暴露的问题正是对教学漏洞的填补，进一步完善学生对小数概念的本质认识。二是练习要对学情进行剖析。案例2中，若教师粗心大意地理解学生的计算问题，未对学情分类辨析，学生的学习问题可能永远存在。因而，练习时教师要提供更多的平台和舞台，多追问“你是怎么想的？”让学生真实展示思考历程，发现认知盲点，才能有效解决问题。三是练习要帮助学生完善经验。案例3中，第一位教师的方法简单，为教知识而讲知识，机械单调，练习无趣;而另一位教师创设了一个简单的生活情境，让学生在情境中自觉运用了“24时计时法”，感受到了计时法的生活元素，既让学生灵活运用了计时法，又帮助学生积累了生活经验。

一、“后练习”价值追求

环顾当前小学数学课堂“练习”，又何止上述缺位、失位、空位的现象，还存在“碎”“小”“单”“假”等问题。“碎”：练习以碎片化的方法传授，一个个碎碎的问题，不能引发学生深度思考，看不到问题背后的数学方法和数学思考。“小”：每一个具体的问题仅仅是一个“单质细胞”，缺少前后联系，未进行整体化练习设计。“单”：练习是直白的表述，简单机械式的知识记忆，只追求问题的答案化，缺少情境化的生活元素，学生感到枯燥无味。“假”：练习是优等学生配合教师的表演，后进学生只是“旁观者”。练习的情境性、思辨性、挑战性、实效性令人堪忧，看不到学生数学高水平能力的发展、思维的拔节、数学素养的提升。

我们倡导“后练习”：（1）从练习内容上看，练习内容既包括课前预学单，课中问题解决，课后练习提升，教师根据所学内容的前后联系设计有价值的、发展数学思维的题组。（2）从练习方式上看，学生的练习不单在动笔写字上，更重在练习过程中进行主体活动、同伴对话、自我建构，在互动、互讲、互评过程中进行深度的思维碰撞。（3）从练习层次上看，学生的认知是有差异的，我们应当尊重他们的认知特征，设计有层次的练习，让每一位学生在已有基础上得到生长和延续，指向学生数学核心素养的发展。（4）从练习时间上看，它不仅包括每节课的课堂练习时段，更广泛地考虑一节课的课前、课中及课后的学习时段。

二、“后练习”心理机制

心理学家奥苏伯尔提出学习的三种类型“运用”“问题解决”“创造”之时，他认为“运用”这种学习类型其实就是我们通常所讲到的“练习”，练习本身就是一种学习。

心理学家加涅更是强调练习在学习中的作用。他阐述学习的八个阶段当中便有一个专门的阶段留给练习——作业阶段。学习过程需要有作业阶段似乎是不言而喻的，因为只有通过作业才能反映学生是否已习得了所学习的内容。

认知心理学家邵瑞珍先生认为程序性知识，包括智慧技能、认知策略等。从陈述性形式向程序性形式转化的最重要教学条件是在相似的情境和不同的情境中练习。练习还必须有变化，只有经过在变化的情境中练习，认知策略等才能获得迁移，才能灵活应用。

皮连生教授认为，技能的获得一定要经过练习这一个阶段，他甚至将技能定义为“在练习基础上形成的按某种规则或操作程序顺利完成某种智慧任务或身体协调任务的能力”。

美国认知心理学家安德森认为技能的获得分为陈述性知识编码和程序性知识编码两个阶段。这一观点得到了普遍认可，根据这一理论，我们提出了一个泛概念——“后练习”，试图重新构筑一个学生程序性知识学习的模型，将练习分为三个阶段：第一阶段称为练习匹配阶段，当环境刺激进入工作记忆时，学生进行浅层练习后直接进入长时记忆中储存;第二阶段是一般练习阶段， 或称为匹配练习阶段，当学生熟悉的相似环境刺激进入工作记忆，同时激活长时记忆中已储存的上阶段知识，解决问题;第三阶段是练习的后期阶段，或称为提升能力阶段，当学生能够进行相似环境的问题解决后，教师需要进行问题“升级”，使得长时记忆系统能够辨别相似编码，区分不同问题类型，进一步形成数学问题解决的能力。

三、“后练习”实践建构

1. “后练习”内容多变，让学生内省反思

“后练习”内容追求多变。练习题设置要呈现题组，考虑练习的目的，统筹练习的过程，突显学生的主体地位，经历练习前的活动、练习中的参与及练习后的内省。比如，贲友林老师在“圆的认识”练习时，安排学生画一组圆。出示方格纸，提出第一个要求：在方格纸上画圆，过A点任意画一个圆。展示学生作品时，学生介绍：“我过A点画了3个圆，有大有小。”教师追问：“都能画3个吗？”学生说：“还有很多呢，我画了5个。”贲老师：“过A点能画多少个圆？”学生补充道：“无数个。”

贲老师接着提出第二个要求：过A和B两点画圆。学生展示作品并交流：“过A、B两点，画了3个圆。”另一个学生补充说：“我还有不同的画法。”还有一位学生在下面嘀咕：“那过A、B两点可以画多少个圆呢？”很快有学生举手说：“能画无数个，这些圆好像在一条线上。”另一个学生补充道：“这些圆的圆心在一条线上。”

贲老师提出第三个要求：过A、B、C三点画一个圆。邀请学生展示作品，学生展示作品时交流发现：“过A、B、C三点，只能画一个圆。”学生思考：怎么只能画一个圆呢？有学生自言自语：好像只能画一个圆。

在学生自我追问、自我内省的基础上，贲老师继续追问：“通过这三次画圆，你们有什么发现？”学生回答：“过一点可以画无数个圆。”“过两点也可以画无数个圆，但这些圆的圆心在一条直线上。”“过三点也可以画圆，但只能画一个。”贲老师说：“你们还有什么问题吗？”学生提出：“这些点在任意位置时都可以画圆吗？”“过四点能画圆吗？”……“后练习”的内容追求多变，在变化过程中让学生自然感悟、内省反思。

2. “后练习”方式多样，让学生体验过程

“后练习”贯穿于教学的全过程，练习需要在活动中体验，在情境中感悟，在比较中发现，倡导练习方式的多样：看一看、辨一辨、画一画、推一推、查一查、写一写……

看一看：一年级的“多（少）一些、多（少）得多”练习中，对于多一些与多得多的具体界限是难以明说的，很难用一个具体的百分比或具体数量来界定的。练习要化无形为有形，借助数射线这一直观图来帮助理解，在直观的比较中让模糊的界限在学生心中逐步“清晰”起来：（1）在数射线上找到幸运数“25”，然后逐渐向右移动，问26、27……这些数与25相比怎样？（2）逐步向右移动下去，与25相比会怎样？停至40时，观察25与40这两个数点，问40与25相比，感觉怎样？（3）找到25、28与40这三个点，问28比25怎样？40比28又怎样？这样的直观比较，过程体验性强，练习中思考，化无形为有形。

辨一辨：学习了几种相似的概念后，学生就会产生知识点混淆，作业的正确率降低，这就需要设计对比性练习，让学生将多种相似但又有所不同的知识点进行比较，找它们的联系与区别，形成良好的结构。例如，学习了奇数、偶数与质数、合数后，一下子集中了这么多的数论概念，学生难以完全消化，设计必要的辨析题：什么是奇数？什么是偶数？什么是质数？什么是合数？奇数一定是质数吗？偶数一定是合数吗？什么数既是偶数又是质数？哪些数既是奇数又是合数？让学生通常辨一辨，理一理，想一想，对不同概念进行区别与联系，形成自我独特的认知结构。

画一画：数学练习中许多问题表面看相近，仔细分析大有不同，借助画图可以有效地促进学生对其本质的把握。如在教学“分数乘法”时：（1）第一根绳子长12米，比第二根绳子多■，第二根绳子长多少米？（2）第一根繩子长12米，比第二根绳子多■米，第二根绳子长多少米？两题看上去几乎无差别，仅一字之差，借助画线段图，寻同求异，分析具体量与分率的各自内涵，达到了深化理解的目的。“后练习”借助画线段图、示意图、韦恩图等，让学生独自面临问题，有更好的思考“拐杖”，学会用数学的方法解决问题。

推一推：练习经常设计一些判别题，让学生推理判断，培养学生初步的逻辑推理能力，同时也培养了思维的深刻性。例如，学习了“平均数”后，出示判断题：（1）第一小组男同学的平均体重是34千克，说明每一位同学的体重都是34千克。（2）小明的身高是1.5米，他去平均水深是1.2米的池塘里游泳，肯定没有危险。（3）三年级5个班平均每班捐书42本，有的班捐的本数可能比42本少。让学生一一判断、推理每道题的正误，说出自己判断的依据和想法，以此来检测学生是否真正理解了平均数的统计学意义，而不是简单地会算平均数，真正发展学生推理的数学素养。

查一查：数学要学会实践性练习，走进工厂车间，了解家庭日常收支，调查了解数学知识在生产和实际生活中的运用，使学生真正体会到数学来源于生活。比如，农村各地正在进行产业结构调整，组织学生到农户进行调查、收集数据，分析产业结构调整带来的经济效益;组织学生收集某段时间马路交通的车流量，制成“车流量统计表”;收集不同商店的商品价格，制成“商品价格对比表”;组织学生收集乡镇企业近年来产值和利润情况，制成折线统计图。让学生能根据自己制成的统计图表，提出一些实际问题。

写一写：写“数学日记”“数学故事”“数学心得”等，让学生运用自我语言表达数学学习的新思考、新发现，深化他们对问题的理解，找到成功的感觉，增加学习自信心。例如，在学习了自然数、整数之后，学生对“数”产生了兴趣，他们会把观察学习的收获写进日记里。“今天最高温度是15度，用自然数‘15表示，那么零下15度怎样表示呢？前进了‘500米与后退了‘500米又是什么联系呢？查阅资料我发现，有些数可以在它的前面加个‘-，它可以表示负数。真想不到，看起来很枯燥的数原来有这么多奥秘！”此外，还可以组织学生进行“数学日记”评比，讲数学故事，演数学情景剧等。

3. “后练习”层次多级，让学生爬坡生长

“后练习”追求练习的层次性。创设一个整体的学习过程，从课前的预学练、课中基础练、对比练、提升练、分层练，课后的补充练、拓展练，通过设计有价值的数学问题，发展学生的数学思维能力，培养他们解决复杂问题的水平。以苏教版小学数学四年级下册“乘法分配律”教学为例。

课前预学练：用两种方法解答下列问题（列综合算式），思考每一题两道算式之间有什么关系。

（1）一种童装，上衣每件55元，裤子每条45元，买这样的4套要用多少元？

（2）下图中大长方形的面积是多少平方厘米？

课中基础练：独立完成教材第63页“练一练”的第1、2题。

课中对比练：在横线上填上恰当的运算符号或数。

（1）56×7+56×13 =（          ） ×

（2）（7    13）×56=7×（13×56）。

学生思考填空并说明依据。对比“乘法分配律”与“乘法结合律”的异同。练习前后让学生辨一辨：这两道题有什么联系？有什么区别？

课中提升练：采用“男女生大PK”创设情境，第一轮出示：64×8+36×8（男），（64+36）×8（女）。练习后男生感觉不公平，表达诉求，得出有时借助括号可以使计算简便。教师顺势进行第二轮比赛：25×4+25×40（女），25×（4+40）（男）。练习后男生仍觉得不公平，引导学生讨论思考。在学生所感所悟的基础上，教师出示第三轮练习，不计算让学生自主选择问题，顺应学生自觉“求简”的学习需要，运用乘法运算律进行简便运算成为学生的主动追求。

课中分层练：主要体现学生练习水平的差异，教师在口袋中常常放一些“小纸条”，根据学生的练习进度及理解水平，适时适当地递给部分优秀学生一张“小纸条”，保证优秀学生吃饱吃好。

课后补充练：补充练习常以课堂中出现错误最多的问题作为样题，给学生修补认知漏洞;也可结合下一节课需要学习的新问题编制，体现实践性、精简化。

“后练习”时间多轮，要让学生课前、课中及课后全身心沉浸于问题研究。“后练习”倡导练习中的深度学习，让学生在课堂不同练习阶段都得到提升。“后练习”既对学习内容的引发、探究、巩固，還对知识学习的生长和延伸，更让学生在学习过程中内省、提升和发展。数学以“问题”为核心的，在课堂教学中，抓住核心问题、提炼关键问题、解决重要问题是数学教师的必修课。杜威认为儿童的学习就是问题解决的过程。设置数学练习不只是关心问题本身，解决问题的过程伴随着如何寻找解决问题的思路，如何培养高层次的思考技能，这些对学生的后继学习和未来发展更加重要。