高考中函数与导数热点问题的分析与研究

高震

摘 要：本文从解答题的角度，分别以2019年全国3卷理科、2019年全国1卷理科和2019年浙江卷理科导数题为实例，针对2019年高考中的函数与导数的三类热点问题进行分析和研究，形成了一定的规律，总结了高考中函数与导数热点问题的解决方法和套路。

关键词：函数与导数;不等式

1.问题的综述

众所周知，高考中函数与导数是要考查的核心内容，是历年高考的重点、热点，在新课程改革后的高考试卷中经常以选择题、填空题和解答题的形式命题，有基础题，也有中档题，更多的时候是以难题的位置来考查，能力要求高，是各地高考卷常见的压轴题，综合程度高，难度较大，分值占比多，因此探究此类问题的处理策略时，找到解题套路是获取高分的必要途径。高考中函数与导数涉及的问题形式多样，常见的热点问题有：研究函数的性质（如单调性、求切线方程、单调区间、极值、最值等）;研究函数的零点问题（方程根的个数、曲线的交点个数等）;利用导数求解不等式问题（证明不等式、不等式的恒成立问题、存在性问题或者求解参数的取值范围等等）.

2.三种常见热点问题的举例

2.1热点一 利用导数研究函数的性质

以含参数的函数为背景，结合具体函数与导数的几何意义，研究函数的性质，本热点主要有三种考查方式：

1.讨论函数的单调区间

2.讨论函数的极值或最值情况

3.利用函数的单调性求参数的取值范围

（2019年全国3卷理科）

已知函数f（x）=2x3-ax2+b.

（1）讨论f（x）的单调性;

（2）是否存在a，b，使得f（x）在区间[0，1]最小值为-1且最大值为1？若存在，求出a，b的所有值;若不存在，说明理由.

【点睛】这是一道常规的函数导数综合题，题目难度比往年降低了不少。考查的函数单调性，最大值最小值这种基本概念的计算。思考量不大，由计算量补充。

2.2热点二研究函数的零点

函数与方程思想一直是高考考查的重点，函数的零点或者方程的根是近几年高考命题的热点，常常转化为研究两个函数图像的交点问题，通过研究函数的极值的情况，数形结合解决问题，本热点主要有两种考查方式：

i1j讨论函数的零点个数

（2）已知函数的零点个数求参数的取值范围

（2019年全国1卷理科）

已f（x）=sinx-ln（1+x），函数f'（x）为f（x）的导数.证明：

（1）f'（x）在区间存在唯一极大值点;

（2）f（x）有且仅有2个零点.

【点睛】本题考查导数与函数极值之间的关系、利用导数解决函数零点个数的问题.解决零点问题的关键一方面是利用零点存在定理或最值点来说明存在零点，另一方面是利用函数的单调性说明在区间内零点的唯一性，二者缺一不可.

2.3热点三利用导数求解不等式问题

不等式实际上是高考要考查的一个非常重要的内容，高考试卷中虽然很少直接考查，但几乎每年都会渗透在函数与导数的综合应用中进行考查。本热点主要有三种考查方式：

i1j解不等式

i2j证明不等式

i3j已知不等式成立（恒成立问题或存在性问题）求参数的取值范围

（2019年浙江卷科）

已知实数a≠0，设函

（1）当时，求函数f（x）的单调区间

（2）对任意均有求a的取值范围.

【点睛】本题考查利用导数这一工具研究函数的单调性，从而求解不等式的恒成立问题，求得参数的取值范围。

3.小结

导数是研究函数的单调性、极值（最值）最有效的工具，而函数是高中数学中最重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：考查导数的几何意义，例如求函數在某点处的切线方程;利用导数讨论函数的单调性，求单调区间、极值和最值等等;已知带有参数的函数的单调性，反过来求参数的取值范围;求解函数的零点问题、方程根的问题或者两个函数图像交点的个数问题;证明函数不等式;证明数列不等式;利用导数解决生活中的优化问题…从历年高考题中我们可以总结以下规律：

对我们广大的考生而言，目标决定态度，心态影响高度。目标不能仅仅停留在第一问必拿。这样你对第一问的难度就会期望降低。一旦第一问比较复杂，你就拿不到第一问的满分。第二问也不是难的不能去啃，往往第一问复杂了，第二问就会在此基础上有法可寻。广西地区2019年全国3卷理科的导数满分人数有近900人，满分人数的增多，激励我们增强信心，做好准备。100%的准备。80%的期望。

笔者是从事了三届完整高中数学教学的一名一线教师，从这些年对高考试卷中函数与导数热点问题的分析与研究把高考的函数与导数解答题归为四大模型：模型一恒成立问题、存在性问题和零点问题的模型。解题的关键套路：独立参量、分类讨论和数形结合。模型二函数不等式的模型。解题的关键套路：通过构造函数转化为模型一。模型三数列不等式的模型。解题的关键套路：通过对带参数的函数不等式进行赋值得到一个没有参数的函数不等式，然后在对自变量进行赋值得到一个基本的数列不等式，最后通过累加等数列变形技巧得到最终的数列不等式。模型四极值点偏移问题的模型。解题的关键套路：直接构造极值点偏移函数或者先对条件进行变形再构造函数。

参考文献

[1]张鹏丽《基于全国卷的函数与导数教学研究》陕西师范大学，2017-05-01，硕士论文

[2]吴宝树《全国高考统一命题视角下的函数与导数复习策略研究》福建师范大学，2017-03-22，硕士论文

[3]刘伟伟《高考函数与导数解答题的研究与思考》河北师范大学，2017-03-20，硕士论文

[4]孙维《新课程背景下高考函数与导数解答题命题研究及分析》青海师范大学，2015-04-01，硕士论文

[5]郭慧清《2017年高考函数与导数专题命题分析》中国数学教育，2017-08-15，期刊