不等式选讲的题型特点及解题策略

廖静

摘 要：不等式选讲部分是高考的重要考点。通过分析近年来的高考习题可知，相关习题的难度不大，但仍有部分学生未能得全分。为保证学生在考试不失分，教学中应结合教学实践分析相关题型特点，讲解相关解题策略，更好的提高学生的解题能力。

关键词：不等式;题型特点;解题;策略

不等式选讲部分相关习题主要考查学生灵活运用不等式性质、定理、分类讨论等知识，解题时需要注重考虑问题的全面性。为给学生的学习带来良好启发，提高学生学习的针对性以及解答相关题型的能力与水平，应注重优选精讲例题，使学生更好的掌握相关题型特点以及解题策略。

一、含绝对值不等式的解题策略

解含绝对值不等式是最为基本的题型，主要考查学生分类讨论，灵活转化能力。解答该题题型时应注重不等式的恒等变形，并找到正确的讨论边界，做到讨论的不重不漏。另外，应具备灵活的头脑，部分习题运用绝对值的几何意义，采用数形结合法解题，可获得事半功倍的解题效果，因此，解题时应具体问题具体分析，避免思维定势。

例1，已知函数f（x）=|2x+4|+|x-a|。

（1）若a<-2时，f（x）的最小值为1，求实数a的值;

（2）当f（x）=|x+a+4|时，求x的取值范围。

该题目属于常规题型，难度并不大，解题时需要找到不同定义域下函数的正确表达式，并灵活应用绝对值不等式的性质进行恒等变形。对于问题（1）可通过分类讨论去掉绝对值符号，再根据其具体的表达式进行分析。根据已知条件不难得出f（x）=|2x+4|+|x-a|=。当x=-2时，f（x）取得最小值1，即，f（-2）=-a-2=1，解得a=-3。问题（2）中f（x）=|2x+4|+|x-a|≥|（2x+4）-（x-a）|=|x+a+4|。只有当（2x+4）（x-a）≤0时等号成立，则当a<-2时，x的取值范围为{x|a≤x≤-2};当a=-2时，x的取值范围为{x|x=-2};a>-2时，x的取值范围为{x|-2≤x≤a}。

二、含绝对值不等式恒成立问题的解题策略

含绝对值不等式恒成立问题是高考中的热门题型。该类题型常转化为求不等式的最值问题。解答该类习题时应牢记含绝对值不等式的定理，并深入理解其本质，实现灵活应用，尤其注重等号成立的条件。另外，注重正确应用恒成立结论，避免与存在性问题混淆在一起，如f（x）>a恒成立等价于f（x）min>a;而f（x）>a有解等价于f（x）max>a。

例2，已知函数f（x）=|x|+|x+1|。

（1）若对任意的x∈R，恒有f（x）≥λ，求实数λ的取值范围。

（2）若存在m∈R，使得m2+2m+f（t）=0成立，求实数t的取值范围。

两个问题一个是恒成立问题，一个是存在性问题，搞清楚两者的区别是正确解题的基础。问题（1）较为简单，只需求出f（x）的最小值，只要λ≤f（x）min即可。∵f（x）=|x|+|x+1|≥|x-（x+1）|=1，因此，λ的取值范圍为（-∞，1]。对于问题（2）由题干可知f（t）=要想满足题意，对于m2+2m+f（t）=0，Δ=4-4f（t）≥0，即，f（t）≤1，即，，或，或，解得-1≤t≤0，因此，实数t的取值范围为[-1，0]。

三、不等式证明题的解题策略

不等式证明习题给出的已知条件不多，题干较为简洁，但却比较抽象，常考查学生灵活应用基本不等式性质、定理的能力。解答该类习题时应明确常用的证明思路，如作差、作商，运用基本不等式等，尤其应用基本不等式时应注重相关的变形公式，明确不等式取等号时满足的条件。同时，还应充分利用题干给出的已知条件，进行巧妙的转化，以实现顺利求解。

例3，已知a，b，c为正数，且满足abc=1。证明：

（1）≤a2+b2+c2;（2）（a+b）3+（b+c）3+（a+c）3≥24

该题目为2019年全国一卷理科数学中的题目。题目难度并不大，学生只要能够熟练应用基本不等式知识都能得全分。问题（1）应用完全平方式进行证明，即，∵a2+b2≥2ab，b2+c2≥2bc，a2+c2≥2ac，即，a2+b2+c2≥ab+bc+ac，又∵abc=1，则ab+bc+ac=，当且仅当a=b=c=1时等号成立，即，≤a2+b2+c2;对于问题（2）由（a+b）3+（b+c）3+（a+c）3≥3=3（a+b）（b+c）（a+c）≥3×（2）×（2）×（2）=24abc，当且仅当a=b=c=1时取等号，又∵abc=1，∴（a+b）3+（b+c）3+（a+c）3≥24。

四、总结

总体来看，不等式选讲部分的题型难度并不大，主要考查学生灵活应用基础知识的能力，因此，教学中应抓住这一特点，为学生深入细致的讲解不等式的性质、相关定理，使其牢固记忆，深入理解。同时，还应结合具体例题为学生讲解相关解题策略，并鼓励学生在联系中多进行总结，积累不同题型的解题经验与技巧，进一步提高解题效率。

参考文献

[1]王贵江.高中数学不等式教学要点分析[J].课程教育研究，2020（08）：127.

[2]李建波，刘英.浅谈高中不等式恒成立的解题策略[J].数学学习与研究，2018（24）：94.

[3]戴凌峰.高中数学不等式的解题技巧[J].农家参谋，2018（19）：174.