例谈求函数值域的三种方法

彭慧

求函数的值域问题是高考试题中非常常见的一种题型，此类型问题的难度不大，主要考查的是对函数解析式的变形及其转化.求函数值域的常见方法有配方法、数形结合法、换元法、分离常数法、判别式法等.本文将重点对数形结合法、换元法、判别式法等三种方法进行分析.

一、数形结合法

在求分段函数或者容易作出图象的函数的值域时，我们可以利用数形结合法来解题，首先，根据函数的解析式作出函数的图象，然后观察函数图象在定义域内的变化情况，再重点讨论函数的最高、最低点，求出函数的值域.

這里首先将函数变形为 的形式，把y看作参数，变形后的函数看作是关于x的一元二次方程.显然方程有解，所以方程的根的判别式大于或等于0，解出不等式即可求出函数的值域.

通过上述分析，同学们可以发现，这类题目相对简单，解题的关键在于对函数解析式进行变形、转化.这三种方法均有各自的特点和应用范围，数形结合法适用于解答方便绘制函数图象的题目;换元法适用于解答含有根式的题目;判别式法适用于解答二次函数问题.同学们要注意区别，根据解题需求选择合适的方法.

（作者单位：江苏省苏州市吴江中学）