杆件弯矩图在教学与工程上差异及快速绘制画法

王磊

摘要：文章对材料力学经典教材中弯矩图的画法与实际工程的规定的差异进行分析，帮助初学者更好的理解现有结构分析软件中的内力图。同时根据学习经验，提出了快速绘制弯矩图的画法。

关键词：材料力学;弯矩图;差异;结构力学求解器;画法

0  引言

拉压、剪切、扭转和弯曲是材料力学中的四种基本变形。相比而言，弯曲变形内容更加丰富，弯曲内力，特别是弯矩图的绘制是学习中的重点，也是一大难点。但笔者发现材料力学经典教材中弯矩图的画法与实际工程规定（如土建行业）并不相同，比如清华大学所研发的结构力学求解器[1]。通过经典教材和行业规定及实际变形效果出发，分析两者差异原因。其次对复杂的钢架结构，笔者根据自身的学习体会，提出叠加处理和利用坐标方向来判断受压方向的技巧可以快速绘制弯矩图。最后讨论利用坐标方向的方法，存在不同走向对绘制的弯矩图的影响，得出不同走向所绘制的弯矩图相同的结论。进一步证实利用坐标方向来判断受压方向的合理性。

1  外力符号的规定

材料力学教学中，结合剪力和弯矩的符号规定，直接来判定外力的符号：截面左侧梁上向上作用的横向外力或右侧梁上向下作用的横向外力在该截面上产生的剪力为正，反之产生的剪力为负;截面左侧梁上的横向外力（或外力偶）对截面形心的力矩为顺时针转向或截面右侧梁上的横向外力（或外力偶）对截面形心的力矩为逆时针转向时，在该截面上产生的弯矩为正，反之产生负弯矩。即“外力左上右下，剪力为正;外力矩左顺右逆，弯矩为正”。[2]（图1）

土建行业规定：使微段产生左端向上而右端向下的相对错动时，剪力为正;使微段的弯曲向下凸时，弯矩为正。

从这里我们可以看出。无论是土建行业还是材料力学教学，对杆件剪力和弯矩正负号的规定是相同的。但在弯矩图的绘制规定上刚好相反。首先先看剪力图的画法，在定义好杆件坐标系后，正的剪力位于X轴上方，反之位于X轴下方，且是关于截面位置的函数Fs（x）。但弯矩图恰恰相反，可以这样理解：材料力学教学中弯矩图为正时画在梁轴线受压一侧，但按建筑工程的习惯，弯矩图画在梁轴线受拉一侧。具体分析：横坐标表示梁各截面的位置，纵坐标表示弯矩大小。正弯矩画在X轴上方，负弯矩画在X方轴下方，便画在横坐标正上方，实质就是画在梁凹的那一面，即受压的一侧。

2  荷载与剪力图、弯矩图的关系的差异

按建筑工程的习惯，弯矩图画在梁轴线受拉一侧时，弯矩图具体有哪些不同呢？首先我们必须指出其分布荷载、剪力、弯矩微分关系是不变的。

下面我们用表1说明。

通过表1可以清晰看出区别：

①在梁的某一段内，若分布载荷q（x）向上，则弯矩图为向上凸的曲线（碗口朝下），这与材料力学中刚好相反，反之相同。

②当存在集中力时，其对弯矩图的变化趋势影响也相反。

这是当弯矩图画在受压一侧时，可以看出当存在集中力时（即中间支点获集中载荷），对M图是有“阻止”进一步增大的趋势，即与弯矩图“开口方向”相同。而由图2发现其与“开口”相反。

③当弯矩图形是斜直线，剪力图为水平线。当弯矩（M）的图形（＼），剪力为正值;当弯矩（M）的图形（/），剪力为负值。这就没有教学中弯矩图上某点切线的斜率恰好等于该点相应截面上的剪力更容易记忆了。这可能是教学为便于理解而与实际工程差异的原因之一。

下面这个例子展示教学与实际软件弯矩图的差异。（图3）

3  快速绘制弯矩图

3.1 基本依据[3]

利用荷载集度、剪力和弯矩之间的微分关系式（1）、式（2）（3）得到一些规律作图。该方法根据这些量之间的微分关系来确定各段内力图，本文重点在于弯矩图大致趋势的绘制。

3.2 绘图方法

3.2.1 建立坐标轴确定钢架受压侧[4]

教材规定，绘制弯矩图时又给出了一个新规定：规定把弯矩图画在弯曲变形凹入的一侧，亦即画在受压的一侧。这让很多初学者感到困惑，在水平杆部分，可以判断出杆上方部分为受压段，即弯矩为正时，应绘制在上部，但竖直杆部分，就难以判断了，并不知道是竖直杆左侧还是右侧为受压部分。因此笔者提出将整根杆看作水平杆，以左方自由端作为X轴起点，这样便可效仿的水平杆，将正弯矩绘制在梁轴线上方，刚好符合绘制在受压一侧的规定。关于选择不同走向对弯矩图影响的谈论，在下面会详细述明。由上面方法，若以杆左端自由端点为X轴起点，则水平杆上部和竖直杆右部为弯矩正方向，绘制图形如图3（b）所示。

3.2.2 “右端分析法”

根据弯矩图上某点切线的斜率等于该点相应截面上的剪力F（x），以及截面右侧梁上的横向外力（或外力偶） 对截面形心的力矩为逆时针转向时弯矩为正的规律，就可以知晓弯矩的正负和趋势，从而完成弯矩图。这对杆件左侧也是同样适用的，只是杆件左侧有时并不是自由端，还需进行额外的内力分析，较为麻烦。同时也需要指出，我们这里的杆件并不仅仅是直杆，大部分情况是曲杆。

3.2.3 钢架叠加分析法

指的是在分析钢架各段弯矩时，其他段对该段的影响可以当仅做对端点的作用，包括作用力和力矩，在每段分析时，依旧参照上述规律，存在分布载荷时，弯矩图为抛物线;存在集中力时，弯矩图存在“转折”，最后将弯矩图进行叠加。

3.2.4 最后讨论将钢架看做水平杆时，选取不同起点及受压方向对最后绘制的弯矩图的差异

如图3（a）所示，当以A为水平杆左端，则AB杆上侧，BC杆右侧为Y轴正方向，即杆受压一方，那如果以C结点为水平杆左端点，根据左手定则，此时AB杆下侧，BC杆左侧为Y轴正方向，那绘制的弯矩图会有怎样的不同呢？

答案是相同的。此时A端为截面的右侧部分，对AB段任一截面分析，F产生的力矩为顺时针，故截面剪力为正值，其产生的弯矩为负的，此时应绘制Y轴负方向，即杆件上方，沿BA弯矩依次增大，故和前面绘制的相同。

原因是剪力正负判断与选取端点无关，无论左侧还是右侧，都是以横向力或力矩产生对截面順时针弯矩为正，这保证了弯矩图的走向不变;其次，弯矩方向的判别在左右两侧的规定刚好相反，这就使不同的选取角度得到的弯矩图一致的根本原因。

这进一步证明将钢架看做是水平杆来决定受压侧的合理性。

4  结语

了解和掌握材料力学弯矩图的绘制依据和规定，并熟练掌握弯矩图绘制的技巧，便可结合当下各种结构分析软件，快速分析各种静定梁（包括钢架）的内力分布，为后续应力及变形分析奠定坚实基础。

参考文献：

[1]袁驷，叶康生，袁征.《结构力学求解器》的算法与性能——第十届全国结构工程学术会议特邀报告[C].中国力学学会.第十届全国结构工程学术会议论文集第Ⅰ卷.中国力学学会：中国力学学会，2001：197-204.

[2]肖建清.材料力学弯曲内力的教学思考[J].职业教育（下旬刊），2015（02）：93-96.

[3]张春玲.基于杆件内力分布规律速绘刚架剪力、轴力图[J].黑龙江生态工程职业学院学报，2013，26（06）：20-21.

[4]田燕萍.材料力学弯矩图画法中值得商榷的问题[J].科技创新与应用，2014（35）：32.