毕达哥拉斯与第一次数学危机

2020-09-10

语数外学习·高中版上旬 2020年2期

数学史上一共发生过三次危机，今天我们来说说第一次危机，这次危机的出现，冲击了一直以来在西方数学界占据主导地位的毕达哥拉斯学派，同时标志着西方世界关于无理数的研究的开始。

一、毕达哥拉斯学派的起源

毕达哥拉斯生于爱琴海东部萨莫斯岛一个家境殷实的家庭，自幼聪明好学，曾在名师门下学习几何学、自然科学和哲学，是古希腊伟大的数学家、哲学家。

毕达哥拉斯除了钻研出直角三角形的边长关系外，还在数论上贡献巨大，他将自然数分为奇数、偶数、素数、完全数、平方数、三角数等，当时的毕达哥拉斯被大家认为是神话人物赫尔墨斯的转世，拥有某种神秘的力量，在公元前580～前568年之间的古希腊，他建立了毕达哥拉斯学派，这是一个集政治、学术、宗教三位一体的神秘主义派别，也是一个唯心主义流派。

二、毕达哥拉斯的成就

毕达哥拉斯研究出，以直角三角形的两短边为边长作方形，其面积之和正好等于以斜边为边长的方形面积，简单的来说就是我们现在的勾股定理，

虽然古巴比伦人早就有所记载，不过毕达哥拉斯却给出了系统的证明，这算是一个伟大贡献，

作为一个唯心主义派的领头人，毕达哥拉斯在发现这个定理后，还杀了100头牛来祭祀缪斯女神，以敬谢神灵的启示，因此这个定理又被称作“百牛定理”，除去在数学方面的成就，在音乐上，毕达哥拉斯也颇有造诣，他发现琴弦的长度反比于琴弦的频率，两个长度呈简单整数比的琴弦能够发出和谐的声音，例如一组长度比为2的琴弦同时弹奏发出的声音就特别的和谐，但是，这样的组合过于和谐以至于失去了一些变化，于是毕达哥拉斯想出了新玩法，他以一根固定长度的琴弦为基础，以3：2或4：3这样的比值制作了其它的琴弦。

毕达哥拉斯用这种方法创造了一套互相有明确数学关系的音律，被称作五度相生律，这套定律不仅成为了毕达哥拉斯学派各种艺术活动中的基石，也流传至后世一直影响着现代的音乐理论。

三、第一次数学危机

毕达哥拉斯学派中有一个成员叫希帕索斯，是毕达哥拉斯的忠实崇拜者，有一天，爱学习的希帕索斯打算再研究研究毕达哥拉斯定理，他先是假设了一个边长为1的正方形，准备运用老师所教授的知识算出对角线。

经过计算，他发现有一个解决不了的问题：对角线的长度既不能用整数表示，也不能用分数表示，而只能用一个新数来表示。

但根据毕达哥拉斯的观点，这个数字是不存在的，希帕索斯兴奋地把这个发现告诉了毕达哥拉斯，

毕达哥拉斯知道这件事情后，让希帕索斯不要把这件事告诉其他人，希帕索斯感到不解，认为这是一个重大的发现，但毕达哥拉斯对此没有作任何解释，其实毕达哥拉斯早就知道这个无法表示的数字的存在，但是为了面子，他选择沉默，希帕索斯在询问老师而未得到解释后，更加好奇，最后他将这个消息传了出去，结果当然是引得毕达哥拉斯勃然大怒，称希帕索斯是叛徒，有意破坏学派的和谐，于是毕达哥拉斯派出其他的门徒捉拿希帕索斯，并准备将其处以极刑——活埋，希帕索斯听到了一些风声，打算连夜乘船流亡他乡，可没想到还是被毕达哥拉斯的门徒追上，他们将希帕索斯五花大绑，溺人了冰冷的地中海之中，

小小根号2的出现，在当时的数学界掀起了一场巨大风暴，它直接动摇了毕达哥拉斯学派的数学信仰，使毕达哥拉斯学派为之大为恐慌。

虽然倒下了一个希帕索斯，但是还有千千万万个希帕索斯站出来，毕竟真理是无法被淹没的，

人们为了纪念希帕索斯这位为真理而献身的可敬学者，就把不可通约的量取名为“无理数”（irrationalnumber），之前毕达哥拉斯所认为是宇宙全部的数（整数和两个整数之比），称为有理数。

在约公元前490年～前425年，古希腊著名哲学家芝诺又提出了四条著名的悖论。

1.二分法

运动着的东西在到达目的地之前须先完成行程的一半，而在完成行程的一半后，还须完成行程的一半的一半……如此分割，乃至无穷，因而它与目的地之间的距离是无限的，永远也达不到目的地。

2.阿基里斯永远追不上乌龟

阿基里斯是希腊跑得最快的英雄，而乌龟则爬得最慢，但是芝诺却证明，在赛跑中跑得最陕的永远赶不上最慢的，因为追赶者与被追赶者同时开始运动，而追赶者必须首先到达被追赶者起步的那一点，如此类推，他们之间存在着无限的距离，所以被追赶者必定永远领先。

3.飞矢不动

任何物体都要占有一定的空间，离开自己的空间就意味着失去了它的存在，飞矢通过一段路程的时间可被分成无数个瞬间，在每一个瞬间，飞矢都占据着一个与自己大小相同的空间，由于飞矢始终在自己的空间之中，因而它是静止不动的。

4.运动场

有两排物体，大小相同，数目相等，一排从终点排到中间点，另一排从中间点排到起点，当它们以相同的速度作方向相反的运动时，就会在时间上出现矛盾，芝諾认为这可以证明一半的时间等于一倍的时间，