“奇偶性”教学设计

王琦 雷晓莉

摘  要：奇偶性是继学生学习单调性之后的又一重要的函数性质. 本节课类比函数单调性的研究过程、研究方法和表达方式，从特殊的偶函数入手，让学生通过作图、观察函数图象，归纳出偶函数的图象特征，再将图象特征用自然语言进行描述，进而转化为符号语言，从而得到偶函数的定义，然后类比偶函数对奇函数进行研究. 通过对定义中的关键词进行再认识，加深对定义的理解. 通过学生举例和教师追问的方式，帮助学生掌握判断函数奇偶性的方法，并体会利用奇偶性可以简化函数的研究过程.

关键词：函数;奇偶性;对称性;数形结合

一、内容和内容解析

1. 内容

函数的奇偶性.

2. 内容解析

（1）内容的本质.

奇偶性是函数的重要性质之一，从“形”的角度，揭示了函数图象整体的对称性;从“数”的角度，刻画了自变量与函数值之间的一种特殊的数量关系. 函数的奇偶性对于简化函数图象和性质的研究过程具有事半功倍的作用.

（2）蕴涵的思想和方法.

本节课的研究过程，体现了从特殊到一般、从具体到抽象的思想方法. 用数量关系刻画函数图象对称性的过程，体现了类比的方法和数形结合的思想. 函数的奇偶性在简化函数研究方面的应用体现了数学的求简意识和转化与化归思想.

（3）知识的上下位关系.

函数的奇偶性既是函数概念的延续和拓展，又是后续研究幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等函数图象和性质的基础，在研究各种具体函数的性质和应用、解决与对称相关的问题中有着广泛的应用.

（4）育人价值.

本节课对函数奇偶性的学习从具体函数到一般函数，学生在作图、观察等操作中经历了归纳、发现、概括规律的过程，在从形到数逐步抽象出数学概念的过程中感受了数学的严谨、准确，在类比单调性得到偶函数的刻画方法及类比偶函数的研究过程探究奇函数定义的过程中体会了数与形的联系与转化，这些都有利于培养学生发现问题、提出问题、分析问题和解决问题的能力，能够有效提升学生的直观想象、数学抽象和逻辑推理素养.

基于以上分析，確定本节课的教学重点为函数奇偶性概念的探究和理解.

二、目标和目标解析

1. 目标

（1）经历由特殊函数的作图、观察，归纳、抽象出一般结论，并逐步运用图形语言、自然语言、符号语言进行表达的过程，理解函数奇偶性的图象特征和形式化定义，体会特殊与一般、数形结合的数学思想，发展直观想象、数学抽象和逻辑推理素养，提高数学表达能力.

（2）掌握判断具体函数奇偶性的方法.

（3）理解函数的奇偶性对简化函数研究的作用，体会转化与化归的数学思想方法.

2. 目标解析

达成上述目标的标志如下.

（1）学生能通过列表、描点、作图，发现偶函数图象的共同特征——关于y轴对称;能通过列表发现当自变量互为相反数时函数值相等的规律，并用符号语言准确表达;能理解一般函数的图象对称性与相应符号表达之间的等价关系;能类比偶函数的定义过程得到奇函数的定义.

（2）能通过图象或定义判断函数的奇偶性，掌握运用定义判断具体函数奇偶性的步骤.

（3）对于具体的奇函数或偶函数，能根据其奇偶性将函数图象补充完整，并得到函数的相关性质.

三、教学问题诊断分析

学生在初中已经学习了轴对称图形、中心对称图形，以及它们的性质，对二次函数、反比例函数图象的对称性也非常熟悉. 但学生对对称性的认识只是几何角度的描述，对代数角度的刻画比较陌生.

通过函数的概念和表示及单调性的学习，学生接触到了[y=x，y=x+1x]等图象具有对称性的函数，为本节课的学习增加了素材. 此外，通过函数单调性的学习，学生经历了由图象特征到自然语言描述再到符号语言刻画的过程，具备了用数量关系刻画函数图象上升或下降趋势的基本活动经验. 但学生对符号语言的理解，尤其是独立完成图形语言到符号语言的转化还存在困难.

从学生的思维发展来看，高一年级学生的思维能力正在由形象经验型向抽象理论型转变，但分析、归纳、抽象的思维能力还比较薄弱. ？

基于以上分析，确定本节课的教学难点为函数奇偶性概念的探究.

四、教学过程设计

1. 回顾研究方法，引入新课主题

问题1：函数单调性定义的研究过程是怎样的？

师生活动：在学生回答的基础上，教师结合PPT帮助学生回忆并总结：以单调递增为例，我们通过观察一些函数的图象，归纳出他们在整体或局部上都具有从左至右持续上升的图象特征，然后用“函数值随自变量增大而增大”的自然语言来描述这样的图象特征，进而将自然语言用更为精确的符号语言表达为“当自变量满足[x1<x2]的关系时，函数值满足[fx1<][fx2]的关系”，最后再对研究范围加以明确，就得到了单调递增的定义. 这个过程可以由如图1所示的框图表示.

教师点明这是一个从形到数、从定性到定量的过程，帮助学生提升.

进而，教师提出本节课将类比函数单调性的研究过程、研究方法和表达方式，学习函数的另一种基本性质——奇偶性，从而引入新课.

【设计意图】用符号语言精确刻画函数图象的对称性是本节课的难点，可以通过类比函数单调性的符号化过程来突破这个难点. 因此，在新课之前复习单调性的研究过程和结论是对后续突破本节课教学难点的铺垫.

问题2：看到奇函数、偶函数这样的名称，大家能联想到什么？

师生活动：看到奇函数、偶函数这样的名称，学生容易联想到奇数和偶数. 教师由此引出数学史的介绍：奇函数和偶函数的概念最早是由著名的数学家欧拉提出的. 欧拉举出的一类典型的偶函数是[y=x2n，n∈Z，] 如[y=x2，y=x0，y=x-2]等;一类典型的奇函数是[y=x2n-1，][n∈Z，] 如[y=x，y=x-1]等.

【設计意图】在上一环节开门见山地引出本节课的课题后，学生难免会好奇：“奇偶性”这种性质为什么用“奇偶”来命名？是不是与奇数、偶数有什么联系？这里索性把学生感兴趣的问题抛出来，再通过对数学史的介绍，使学生了解到指数为奇数和偶数的幂函数是奇函数和偶函数中典型的一类. 这样的设计有助于学生认同奇函数、偶函数的名称，也符合数学史上对函数奇偶性的认知过程. 此外，后面可以以这两类特殊的函数作为奇函数和偶函数的代表观察图象的特征.

2. 类比单调性，定义偶函数

问题3：类比函数单调性的定义过程，我们先来观察几个偶函数的图象，看看偶函数具有怎样的图象特征.

师生活动：学生描述[y=x2]和[y=x0]的图象. 教师用PPT展示出这两个函数的图象，要注意[y=x0]的图象不含点[0，1，] 此处应提醒学生研究函数时首先要关注定义域. [y=x-2]的图象学生并不熟悉，需要列表描点作图，进而观察图象、归纳共性.

【设计意图】强调类比和从特殊到一般的研究方法，使学生进行有目的、有步骤的探究，同时体会这样的数学思想和方法，在一次次应用的过程中逐渐提升分析问题和解决问题的能力.

追问1：如何作出[y=x-2]的图象？

师生活动：学生根据负整数指数幂的定义分析出[y=x-2=1/x2，] 并根据以往的作图经验回答“列表、描点、作图”.

追问2：你准备描出哪些点？

师生活动如下.

预设1：学生对自变量[x]取-2，-1，0，1，2这5个值. 此时教师可以询问其他学生的意见，大家指出这位学生忽略了函数的定义域，再一次强调研究函数要先关注定义域.

预设2：学生对自变量[x]取-3，-2，-1，1，2，3这6个值. 此时教师可以追问学生不取0的原因，根据学生的回答强调定义域的重要性.

学生对点的选取没有其他意见后，在笔记本上进行作图. 教师提醒学生注意作图的规范性，并巡视指导，选择有代表性的进行展示.

追问3：有些学生描完点后，仍然观察不出图象走势，该怎么办？

师生活动：学生经过思考回答多取一些点. 教师引导学生在判断不清函数图象走势的区间多取一些点.

【设计意图】函数[y=x-2]的图象的绘制，不仅是为了观察归纳偶函数的图象特征，也是为了通过列表、描点的过程，使学生更容易发现自变量与函数值的对应规律.

追问4：这三个函数的图象有什么共同特征？

师生活动：学生观察发现这三个函数的图象都关于[y]轴对称. 教师肯定学生的发现，并板书记录偶函数的图象特征.

【设计意图】设置问题3的目的是使学生通过作图、观察，归纳出偶函数的图象特征. 其中，列表描点总结规律的过程是学生探索发现的过程，有助于培养学生发现问题和提出问题的能力.

问题4：如何用自变量与函数值的语言来描述这种图象特征？（当自变量满足怎样的关系时，对应的函数值又有着怎样的规律？）

师生活动：学生通过观察作图时列出的表格或函数图象，用自然语言归纳出：当自变量互为相反数时函数值相等.

【设计意图】自然语言是图形语言与符号语言之间的过渡. 此处根据需要可以引导学生类比单调性的表达，寻求自变量与函数值之间的变化规律.

追问1：你是怎么发现这个规律的？

师生活动：大部分学生会回答从列表描点的过程中发现了这个规律.

追问2：只有列表列出的这些点满足这样的规律吗？

师生活动：学生经过思考回答所有点都满足这个规律.

追问3：什么范围内的所有点？

师生活动：学生思考后回答定义域内的所有点. 教师解释：事实上，“自变量互为相反数，函数值相等”说的是点关于y轴对称，而函数图象是点的集合，要描述函数图象关于y轴对称，只要函数图象上的所有点都满足这种对称性就可以了.

【设计意图】对自然语言的完善是为下一步将其准确转化为符号语言做准备. 图形语言与自然语言等价性的说明对学生而言是一个难点，如果强化理论上的证明容易影响本节课教学重点的突出. 因此，这里选择较为直观的方式对此进行简单解释.

问题5：你能用符号语言表示这个规律吗？

师生活动：学生将自然语言转化为符号语言. 教师帮助学生将符号语言表达得更加简洁、准确.

【设计意图】锻炼学生使用符号语言和数学表达的能力，发展学生的数学抽象素养. 符号语言是简洁而准确的，我们用符号语言作为偶函数的定义.

板书偶函数的定义：一般地，设函数[fx]的定义域为[I，] 如果对于[？x∈I，] 都有[-x∈I，] 且[f-x=fx，] 那么函数[fx]就叫做偶函数.

3. 类比偶函数，定义奇函数

问题6：你能类比偶函数的研究过程、方法和表达方式，给奇函数下个定义吗？先独立思考，有想法后，可以和你周围的同学进行讨论.

师生活动：学生类比偶函数的定义过程，作出函数[y=x]和[y=x-1]的图象，分析图象特征，转化为自然语言，进而转化为符号语言得到奇函数的定义.

一般地，设函数[fx]的定义域为[I，] 如果对于[？x∈I，] 都有[-x∈I，] 且[f-x=-fx，] 那么函数[fx]就叫做奇函数.

【设计意图】定义奇函数完全可以类比定义偶函数的过程进行，此处让学生模仿偶函数定义的探究过程，独立地去经历发现规律和几种数学语言之间的转化过程，并由此建立奇函数的概念. 在这个过程中，调动并强化学生的基本活动经验，在实践中深化学生对类比、由特殊到一般、数形转化等数学思想方法的理解.

4. 挖掘概念，加深理解

问题7：认真阅读定义，画出定义中你认为关键的词.

师生活动：学生画出关键词，师生共同对关键词进行再认识.

【设计意图】通过对定义中关键词的再认识，不仅可以进一步加深对定义的理解，也可以练习对符号语言的解读.

追问1：怎么理解关键词“任意”？在哪儿学过“任意”？能否举出一个因为不满足任意性而不是奇函数的例子？

师生活动：学生回忆起在常用逻辑用语部分学习过“任意”这个全称量词，通过全称量词命题的否定，发现判断一个函数不是奇函数的方法. 学生可以利用PPT上还保留着的两个奇函数的图象来构造反例. 在上述过程中，教师适度启发引导.

追问2：单调性是在定义域的一个子区间内研究的函数性质，而奇偶性是对“[？x∈I]”具有的规律，这说明奇偶性是一个怎样的性质？

师生活动：可能会有学生对比单调性和最值的表述，得到“整体性质”的结论. 如果学生说不出这样的语言，只要学生理解其中的含义，教师就可以帮助给出“整体性质”的表述.

追问3：“[？x∈I，] 都有[-x∈I]”说明什么？定义域关于原点对称是函数为奇函数或偶函數的什么条件？

师生活动：学生不难回答出“定义域关于原点对称”. 但充分必要性的分析对学生来说是一个小难点，需要教师根据学生的反馈给予引导.

【设计意图】对“定义域关于原点对称”这个必要条件的揭示，为总结利用定义判断奇偶性的步骤奠定基础.

问题8：你还能举出其他的奇函数或偶函数吗？

师生活动：学生举例，并说明判断方法. 学生短时间内进行举例，容易选择从图象就能观察出对称性的熟悉的函数，如[y=x]和[y=x+1x]等.

【设计意图】一方面，考查学生对概念的理解，帮助学生认识到除了整数指数的幂函数以外，还有大量其他类型的奇函数和偶函数;另一方面，希望通过这个问题总结判断函数奇偶性的方法，梳理定义法判断（证明）奇偶性的步骤.

追问1：你是怎么判断出这个函数的奇偶性的？

师生活动：学生短时间内进行举例，容易选择从图象就能观察出对称性的熟悉的函数.

【设计意图】得到判断函数奇偶性的第一种方法——图象法.

追问2：对于我们不熟悉图象的函数，如函数[fx=x3+x，] 作图需要花费很多时间，而且作图和观察的过程都会存在误差. 有没有其他方法可以准确判断这个函数的奇偶性？

师生活动：学生不难想到用定义来进行判断. 教师引导学生回顾定义，严格按照定义判断函数[fx]的奇偶性，并梳理定义法判断（证明）函数奇偶性的步骤，如图2所示.

【设计意图】对学生而言，想到用定义来判断奇偶性并不困难，但定义中的很多细节是学生容易忽略的，学生对于需要严格满足条件才能推出结论这一点的认识还不够深刻. 依照定义梳理判断（证明）函数奇偶性的步骤. 一方面，为今后解决此类问题理清思路;另一方面，再次强化对定义的认识.

问题9：图3的图象是函数[fx=x3+x]的图象的一部分，你能画出它在y轴左侧的图象，并说说函数的性质吗？

[O][x][y][图3]

师生活动：学生根据前面的讨论知道[fx=x3+x]为奇函数，由奇函数的图象关于原点对称，可以得到函数的完整图象，从而得到函数[fx=x3+x]的性质. 教师通过信息技术用追踪对称点的方法演示补充图象的过程.

【设计意图】通过具体实例，帮助学生体会函数的奇偶性对于简化函数图象和性质的研究的作用. 教师通过追踪对称点的方法补充函数图象，可以帮助学生理解奇函数图象上任意一点关于原点的对称点仍在函数图象上.

追问：你能用一个成语来形容奇偶性对研究函数图象与性质的作用吗？

师生活动：学生在教师引导下答出“事半功倍”这个成语. 教师指导学生今后在作函数图象前可以优先判断函数的奇偶性.

【设计意图】在后续幂函数、三角函数等具体函数的学习中，都可以利用函数的奇偶性来简化研究过程，这里揭示奇偶性的这个价值，是对奇偶性的进一步认识，也是为后续课程所做的铺垫.

问题10：一个函数不是奇函数，就是偶函数吗？

师生活动：学生由前面的讨论不难想到还存在非奇非偶函数.

追问1：有没有既是奇函数又是偶函数的函数呢？

师生活动：学生从形或数上经过分析得出既是奇函数又是偶函数的函数的解析式应为[fx=0.] 教师引导学生关注定义域的要求，发现既是奇函数又是偶函数的函数有无穷多个，解析式均为[fx=0，] 定义域只要关于原点对称就可以了.

追问2：你能用Venn图表示这几种函数的关系吗？

师生活动：师生共同完成图4.

【设计意图】此问题从函数分类的角度使学生进一步认识函数的奇偶性.

5. 课堂小结

函数的奇偶性是集数和形于一体的数学概念. 它在几何上的表现是函数图象关于y轴或关于原点对称的性质;在代数上的表现是当自变量互为相反数时，函数值相等或互为相反数的规律. 几何表现出的性质直观，代数表示出的规律精确，希望大家课下认真体会、合理应用.

最后，借用我国著名数学家华罗庚的一首词来结束我们今天这节课.

数与形，

本是相倚依，

焉能分作两边飞.

数缺形时少直觉，

形少数时难入微.

数形结合百般好，

隔裂分家万事非.

切莫忘，

几何代数统一体，

永远联系，

切莫分离！

五、目标检测设计

1. 已知[fx]是偶函数，[gx]是奇函数，试将图5补充完整.

[O][x][y] [O][x][y][（1）][（2）][图5]

【设计意图】考查学生对函数奇偶性几何意义的理解和应用.

2. 判断下列函数的奇偶性.

（1）[fx=2x4+3x2;]

（2）[fx=x3-2x;]

（3）[fx=x2+1;]

（4）[fx=xx2+1.]

【设计意图】考查学生应用定义判断函数奇偶性的步骤和方法.

3. 对于定义在[R]上的函数[fx，] 下列判断是否正确？

（1）若[fx]是偶函数，则[f-2=f2;]

（2）若[f-2=f2，] 则函数[fx]是偶函数;

（3）若[f-2≠f2，] 则函数[fx]不是偶函数;

（4）若[f-2=f2，] 则函数[fx]不是奇函数.

【设计意图】考查学生对函数奇偶性概念的理解.

参考文献：

[1]中华人民共和国教育部制定. 普通高中数学课程标准（2017年版）[M]. 北京：人民教育出版社，2018.

收稿日期：2020-11-02

作者简介：王琦（1983— ），女，中学一级教师，主要从事中学数学教学研究.