高三数学单元复习课的设计初探

初元微

摘 要：数学复习课的目的是梳理知识体系，强化知识间的联系与沟通，理解知识的内涵，并形成认知新的网络。要想帮助学生取得数学学习的最佳效果，教师必须向学生提供充分经历数学活动的机会，激发学生学习的积极性，并引导他们在自主探索和合作交流的过程中真正理解和掌握数学知识和技能、数学思想和方法。

关键词：高三复习;知识梳理;融合贯通

高三二轮数学复习过程，是培养学生的思维能力的关键时期，我设计了《数列及数列的极限》主题单元复习课。在课堂上我创设了一些有效的情景教学，引导学生进行反思、总结，情景教学可以着重于学生学习的难点，使学生在学习中能够发现问题，提出问题并解决问题。在这个体验问题解决问题的过程中，可以有效发展他们的知识结构，锻炼他们概括、提炼思想方法，提高问题解决的能力。

《数列及数列的极限》一章历来是高考的重点，也是学生学习的难点。数列作为一类特殊的函数，既有函数研究的思想蕴含其中，又有因n∈N*带来的挑战。根据二轮复习的特点和学生的情况，我进行如下设计，希望学生能通过“理解概念本质——构建系统的知识框架”的过程逐步达到“发展数学能力”的目标。

一、回顾知识，深化概念理解

《数列》一章的主要概念包括：数列、通项公式、递推公式、等差（比）数列、数列的前n项和、数列的极限以及无穷等比数列各项的和等。其中尤为重要的是对等差（比）数列的概念、数列的前n项和的概念、数列的极限的概念和无穷等比数列各项的和的理解，在历年高考中，多有体现。为此，在复习过程中，我先选择与“概念理解”有关的例题和练习题，引导学生抓住概念的本质，加深对相关概念的理解，如例1和例2：

例1. （1）（07.上海.文14）数列{an}中， ，则数列{an}的极限值为（      ）

A.等于0 B.等于1 C.等于0或1 D.不存在

本例题是对极限定义中“在n无限增大的变化过程中，an无限趋近于一个常数A”的辨析，需要学生深刻理解极限的定义。

例2.（2016.上海.文14，理11）无穷数列{an}由k个不同的数组成，Sn为{an}的前n项和. 若对任意n∈N*，Sn∈{2，3}，则k的最大值为                 。

本例题是考察学生对“数列前n项和”的理解，只是将此概念与 “集合元素的互异性”的性质结合起来，特别要注意前n项和要从S1=a1开始，结合分类讨论的思想，就可以比较顺利地解决。

以上两道例题在当年的高考试卷中的试题位置都表明它们属于中高档题目，得分情况也确实不乐观。这说明有相当一部分同学对概念的理解是浮于表面的，仅仅达到“识记”的层次，碰到问题时不能进行有效的理解和转换，也就无从谈应用。实际教学中，我们发现，学生对概念的理解不到位在高中阶段各章节都有体现，但若想进行更深层次的学习，理解概念、抓住概念本质是必不可少的准备。因此，在高三数学复习教学中，教师应善于引导学生加深对概念本质的理解，这会起到事半功倍的效果。

二、合理联系，构建系统性知识结构

经过系统的一轮复习，学生已了解和掌握了大量的知识、技能和方法，只是很多知识都局限于一个主题单元内部，或只能进行浅层次的勾连。高三年级二轮复习阶段，要引导学生从单一的主题单元跳出来，更具有宏观意识，培养深层次构建知识体系的能力。“数列”作为一类特殊的函数，它的很多研究方法与函数类似，如对数列单调性、周期性和最值的研究都是类比函数的研究方法。另外，作为数列中的两大典型题目：求数列的通项公式和求数列的前n项和则有许多约定俗成的方法，这些方法也往往可以与函数、三角、二项式定理等等联系起来。这就要求学生不能孤立地掌握“倒序相加”、“错位相减”、“累加（乘）法”等方法，而是要有意识地与其他知识相结合。如下面两例：

1.（2018奉贤二模15）已知正数数列{an}是公比不等于1的等比数列，且，若，则f（a1）+f（a2）+…+f（a2019）=（    ）。

A.2018 B.4036 C.2019 D.4038

解析：利用對数运算的性质“logaM+logaN=loga（M·N）（M>0，N>0）”可知“”，这种首末位置的提示让人自然联想到“当时，是否为定值”，经求证检验后再利用“倒序相加求和”即可。

2.（2019.崇明一模12）已知数列{an}满足：①，②对任意的n∈N*，都有an+1>an成立.函数满足：对任意的实数，总有两个不同的根，则{an}的通项公式是               。

解析：对函数，它是一个的周期函数，又因为“对任意的实数，总有两个不同的根”可知，，再由“叠加法求通项公式”即可得到。

此题对学生来说应是一道比较有难度的题目，因不但涉及到对三角函数、分段函数、含有绝对值的函数的理解，还有数列中用“累加法”求通项公式的掌握，以及细微处对给定区间上解的个数的把握。教学中，可通过学生讨论、教师关键处点拨等方式，带领学生体验“认真读题、合理联系、层层抽丝剥茧、最终解决问题”的过程。

从以上几个例题可以看出，高三阶段的很多问题都具有典型的综合性，从单一模块来看往往都难以解决，这时候要学会利用已有的经验进行类比、联想和迁移，问题才能得到较好地解决。因此，教师要善于在复习过程中引导学生对知识间的联系进行构建，帮助学生形成数学的整体意识。当然，在题目的设计和选择上，要符合维果茨基的“最近发展区”原理，题目的条件之间的联系是学生“跳一跳”就能达到的水平，而不是跨越过大，否则题目虽然解法巧妙，但并不利于学生数学逻辑思维的培养。

三、正向迁移，关注核心素养

数学学科核心素养包括：数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算和数据分析。学生数学学科核心素养水平的达成不是一蹴而就的，具有阶段性、连续性、整合性等特点。

正所谓“无招胜有招”，在我的理解，数学核心素养就是学生对于新的数学问题，根据已经掌握的基本知识、基本技能、数学的基本思想方法去探索、去假设、去推断验证，用逻辑推理方法的规则去厘清各种关系、找出一个可以解决问题的途径。下例就是这样一道典型的题目。

（2010.闵行二模23）对于无穷数列{an}，若对于任意的n∈N*，满足且（M是与n无关的常数），则称数列{an}为T数列.

（1）若，判断数列{an}是否为T数列，说明理由;

（2）设，求证：数列{bn}是T数列，并求常数M的取值范围;

（3）设数列，问数列{cn}是否为T数列？说明理由。

解析：本题是一道陈题，但不失为一道好题。第（1）、（2）两小题主要是考察学生学习新事物的能力，即根据定义，做出正确地理解，并能利用已有经验解决问题。定义中，数列是T数列需要满足两个条件实际上是“有最值”和以往接触过的“凸函数”，第（1）题具体考察的是数列中一类常用的“分类讨论n的奇偶”的方法，以及“举反例”的证明方法;第（2）题考察的是数列中“利用定义法求最值”的思想，也属于常规题。第（3）题看似要求较高，但实际上可有如下两个可能：一是联系“凸函数”的图像，瞬间就能理解只有当时，数列{cn}才可能是“凸函数”，而且必须保证，得出;二是即使不能理解“凸函数”，只要数据分析和处理的能力够，通过常规思路，去掉“绝对值”，再由数列中常用的“检验有限项——归纳——猜想——验证”的过程，也可以解决。

核心素养的最终目标是“教会学生学习”，“新定义题”就是对“学会学习”的考察。在这个过程中，学生不但要能较好地理解“新的定义”的内涵与外延，更要学会利用已有知识解决相关问题。

总结

总之，数学复习课应具有重复性、概括性、系统性、综合性和反思性的特征。通过复习，学生更好地把握知识间的联系、理解知识的内涵，扩展原有的知识网络，体验到掌握数学思想方法的必要性。教学中，教师要精心设计，在有限的时空下，有计划、有层次地开展丰富的教学活动，为学生搭建思维的阶梯，学生才能充分经历解决问题——模仿运用——归纳反思——形成能力的过程，让学生在体验、思考和发展中获得成功的快乐。“多一点思考，少一点复杂计算;多关注数学本质，少一些高超技巧”是近年来上海高考题的主要特征，这是对学生理解数学的核心概念和结构、掌握通式通法的解题技能、发展优秀的思维品质的考察，我在教學过程中努力围绕这个理念进行设计和题目的选择。

参考文献：

[1]普通高中数学课程标准修订组（2018年版）[M].北京：高等教育出版社，2018.5：59-69.

[2]何玲，黎加厚.促进学生深度学习[J].现代教学，2005（5）：29-30.