浅谈高中数学教材中“1”的七十二变

叶其基

摘 要：高中数学教材中，许多题目的解答离不开“1”的身影，“1”就像孙悟空会七十二变，灵活掌握这些“1”的变化，给我们解题带来极大的方便，本文就从指对函数，三角函数，不等式，二项式定理四个方面来寻找“1”的七十二变。

关键词：高中数学;“1”;指对函数;三角函数;不等式;二项式定理

一、指对函数中“1”的妙用

在指数函数和对数函数中，“1”在解决比较大小，过定点等题目中起到一个十分巧妙的作用。用上了“1”这个桥梁，许多问题就会迎刃而解。

例1（必修一p57）比较的大小

解：因為   所以

方法小结：因为1.7和0.9不相等，所以这两个函数的大小不能直接利用单调性来判断大小，故要找到一个桥梁，把这两个值连接起来，通过这个桥梁“1”分别和这两个数分别比较大小，然后确定这两个函数值的大小。这里利用了“”这个变化。

例2（必修一p82）比较 的大小

解：因为   所以>

方法小结：这两个对数不是同底，故也是不能用单调性来解决，这个时候用上了“”这个变化，顺利地把这两个函数值的大小比较出来。

例3函数的图像恒过定点p，点p的坐标为

解：令 x-3=0，这时x=3，则，故函数的图像过定点（3，3），即点 P的坐标为（3，3）

方法小结：指数函数的图像过定点（0，1），据此可解决形如的函数图像过定点问题，即令，函数图像过定点，这里就要抓住这个变化。

例4.函数的图像恒过定点

解：令x+3=1，这时x=-2，则，故函数的图像恒过定点（-2，-1）

方法小结：对数函数的图像恒过点（1，0），据此可解决形如的函数过定点问题，即令x+c=1，即x=1-c，得y=b，函数图像过定点（1-c，b），这里就要抓住这个变化。

二、三角函数中“1”的变化

在三角函数中，“1”也是一个多面手，常见的变化是同角三角函数在的平方关系和tan45°=1，这些变化对我们解决相关的问题是很关键的。

例5.（必修四 p69）已知tanα=3，计算sinαcosα

解：原式====

方法小结：在三角函数当中经常要用上，但是题目往往不会直接给出，要像例5那样要无中生有，利用“”的性质，变出个“1”来。所以在解题的时候一定要找准方法，留意这个“1”的妙用。

例6.（必修四p130）计算

解： =

方法小结：在正切函数当中往往隐藏着tan45°=1这个条件，许多时候用上了“1”这个变化在求解中马上就可以把非特殊值的角度算成特殊值的角度，从而达到解题的目的。

三、“1”在基本不等式中的灵活变化

例7.（选修4-5p35）设，，求证：

证明：因为 所以=（a+b）（） = ≥ =4

当且仅当时，即时，等号成立。

方法小结：在不等式证明或者求最值的时候，需要我们来创造这个条件“”。这里“1”的这个变化就能给我们创造“定值”，但是有些题目中并没有直接给出“1”，我们就要把“1”变出来或者挖掘题目当中隐含的“1”出来，所以在解题中我们一定要多留意题目中数据的特点，多积累一些常用的变化，这给我们解题会带来意想不到的效果。

四、不等式证明中“1”的代换。

例8（选修4-5p22）已知是正数，求证：，当且仅当时，等号成立。

证明：将两边不等式相除，得

根据要证的不等式的特点（交换的位置，不等式不变），不妨设>0，于是 所以  当且仅当时，等号成立，故

方法小结：在不等式证明中一般用“作差比较法”和“作商比较法”，其中一个“作商比较法”往往就是要借助“1”的代换来证明证明一些比较复杂的不等式证明题.即：当时，

五、“1”在二项式定理中的妙用

例9（选修2-3p40）用二项式定理证明5555+9能被8整除

证明：因为5555+9=（56-1）55+9=

由于各项都含有因数8，故能被8整除，即5555+9能被8整除

方法小结：面对一些高次方的多项式整除问题，我们就可以考虑把这个高次方的数变成一个数与“1”的运算，即：，从而变成二项式定理的应用，通过二项式定理的展开运算来达到我们解题的目的。

高中数学教材中“1”的七十二变在解题中起着许多神奇的作用，借助“1”的变化来达到“化难为易，化繁为简”的目的，重视“1”的灵活运用，会找到解题的“1”想不到的方法，会起到“1”点通的妙效。当然，“1”在教材中还有许多变化，需要我们在平时的教学当中不断总结和归纳。

参考文献：

[1]普通高中课程标准实验教科书数学必修1 4 [M].北京.人民教育出版社