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以问题为诱导,培养学生数学素养

2020-09-10王家强

教学博览 2020年29期
关键词:归纳法通项本题

王家强

数学解题教学中,如何培养学生数学素养?笔者以为以一个或几个典型问题展开教学,可以达到“举一反三,一点带面,全面发展”的效果。笔者在人教版必修五的第三章《数列》教学中,有关数列通项公式的求法进行专门介绍。讲授的内容立足于考纲,结合学情,决定采集的例题来自于课本内例习题或者高考题,不求面面俱到,但求重点突出,难点突破,注意在课堂上激发学生兴趣,积极思考,敢于发言。现把这堂课教学内容摘录如下:

师:在解决数列问题中,求通项公式往往是其中最为关键一步。这节课我们来学习常见求通项的方法

一、观察归纳法

例1、 写出下面数列的一个通项公式,使它的前四项分别是下列各数:

分析:(1)是个摆动数列,是符号函数,学生很容易写出 ;但也有些同学用三角函数式表示: ,用分段表示: ,

老师总结:本题答案竟然有这么多!其中,哪一个答案最简洁?显然是 。通过这一题,它告诉我们这么一个事实:数列的通项公式有时不是唯一的。学生听完了新奇,顿时兴趣盎然!也对后面问题跃跃欲试……课堂气氛也就被调动起来!

师:请看变式题:写出数列 ……的通项公式。(答案略)

(2)分析:

老师归纳:通过观察数列特征,找出各项共同的构成规律,横向看各项之间的关系,纵向看各项与项数n的内在联系,从而归纳出数列的通项公式,这种方法叫做观察归纳法。

感悟:一题多解,激发学生兴趣,开拓学生视野,培养学生发散思维,形成良好的数学素养!

二、利用公式 求

例2、已知数列 的前n项和 ,求这个数列的通项公式。

例3已知数列 的前n项和 ,求这个数列的通项公式。

例4、已知数列 的前n项和是 ,且 ,求数列 的通项公式 。

归纳:利用公式 求 有“三步走”:

(1) 当 时, =……

(2) 当 时, ,是否适合上式

(3) 综上,若适合,则用 表示;若不适合,则分段表示 。

三、构造法求通项

例5、已知数列 中, .求证: 是等比数列;(2)求通项公式 。

例6、已知数列 中, .求证: 是等差数列;(2)求通项公式 。

例7、已知数列 中, .求证: 是等差数列;(2)求通项公式 .

归纳:通过本题复习深化化等比数列、等差数列的概念理解及其运用于证明等差等比数列,学会转化思想——通過构造等比数列 ,等差数列 , ,进一步求出通项公式 。

在这个过程中,我们应该透过递推公式结构特点,采取相应措施构造特殊数列——等差或等比数列:

①待定系数法构造等比数列:递推关系是 ,可以变形为

②倒数法构造等差数列:递推关系是 ,可以变形为

③除法构造等差数列:两边同时除 ,得 ,得到 是等差数列

四、用累加法或累乘法求通项公式

例8、已知数列 中, ,求通项公式 ;

例9、已知数列 中, ,求通项公式 ;

归纳:(1)对于由形如 型的递推公式用累加法求通项公式 ;

(1) 对于由形如 型的递推公式用累乘法求通项公式 。

结束语:本节课主要从五个方面去探究数列通项的求法。在探究过程中,学生积极思考,敢于发言,敢于表现,营造良好的课堂氛围,大大地提高了教学效果,也很好地让学生形成良好的数学素养。

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