以问题为诱导，培养学生数学素养

王家强

数学解题教学中，如何培养学生数学素养？笔者以为以一个或几个典型问题展开教学，可以达到“举一反三，一点带面，全面发展”的效果。笔者在人教版必修五的第三章《数列》教学中，有关数列通项公式的求法进行专门介绍。讲授的内容立足于考纲，结合学情，决定采集的例题来自于课本内例习题或者高考题，不求面面俱到，但求重点突出，难点突破，注意在课堂上激发学生兴趣，积极思考，敢于发言。现把这堂课教学内容摘录如下：

师：在解决数列问题中，求通项公式往往是其中最为关键一步。这节课我们来学习常见求通项的方法

一、观察归纳法

例1、 写出下面数列的一个通项公式，使它的前四项分别是下列各数：

分析：（1）是个摆动数列，是符号函数，学生很容易写出 ;但也有些同学用三角函数式表示： ，用分段表示： ，

老师总结：本题答案竟然有这么多！其中，哪一个答案最简洁？显然是 。通过这一题，它告诉我们这么一个事实：数列的通项公式有时不是唯一的。学生听完了新奇，顿时兴趣盎然！也对后面问题跃跃欲试……课堂气氛也就被调动起来！

师：请看变式题：写出数列 ……的通项公式。（答案略）

（2）分析：

老师归纳：通过观察数列特征，找出各项共同的构成规律，横向看各项之间的关系，纵向看各项与项数n的内在联系，从而归纳出数列的通项公式，这种方法叫做观察归纳法。

感悟：一题多解，激发学生兴趣，开拓学生视野，培养学生发散思维，形成良好的数学素养！

二、利用公式 求

例2、已知数列 的前n项和 ，求这个数列的通项公式。

例3已知数列 的前n项和 ，求这个数列的通项公式。

例4、已知数列 的前n项和是 ，且 ，求数列 的通项公式 。

归纳：利用公式 求 有“三步走”：

（1） 当 时， =……

（2） 当 时， ，是否适合上式

（3） 综上，若适合，则用 表示;若不适合，则分段表示 。

三、构造法求通项

例5、已知数列 中， .求证： 是等比数列;（2）求通项公式 。

例6、已知数列 中， .求证： 是等差数列;（2）求通项公式 。

例7、已知数列 中， .求证： 是等差数列;（2）求通项公式 .

归纳：通过本题复习深化化等比数列、等差数列的概念理解及其运用于证明等差等比数列，学会转化思想——通過构造等比数列 ，等差数列 ， ，进一步求出通项公式 。

在这个过程中，我们应该透过递推公式结构特点，采取相应措施构造特殊数列——等差或等比数列：

①待定系数法构造等比数列：递推关系是 ，可以变形为

②倒数法构造等差数列：递推关系是 ，可以变形为

③除法构造等差数列：两边同时除 ，得 ，得到 是等差数列

四、用累加法或累乘法求通项公式

例8、已知数列 中， ，求通项公式 ;

例9、已知数列 中， ，求通项公式 ;

归纳：（1）对于由形如 型的递推公式用累加法求通项公式 ;

（1） 对于由形如 型的递推公式用累乘法求通项公式 。

结束语：本节课主要从五个方面去探究数列通项的求法。在探究过程中，学生积极思考，敢于发言，敢于表现，营造良好的课堂氛围，大大地提高了教学效果，也很好地让学生形成良好的数学素养。